第01章灰色關(guān)聯(lián)

第三章灰色關(guān)聯(lián)分析模型東北農(nóng)業(yè)大學工程學院主講教師：王吉權(quán)第一節(jié)灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集第二節(jié)灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度第三節(jié)廣義灰色關(guān)聯(lián)度第四節(jié)關(guān)聯(lián)序第五節(jié)優(yōu)勢分析04二月20232第三章灰色關(guān)聯(lián)分析模型

系統(tǒng)可分為灰色系統(tǒng)、白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)。白色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)白內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是完全充分的。黑色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內(nèi)部信息對外界來說是一無所知的，只能通過它同外界的聯(lián)系來加以觀測研究?；疑到y(tǒng)內(nèi)的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系統(tǒng)內(nèi)各因素間具有不確定的關(guān)系。04二月20233第一章灰色關(guān)聯(lián)分析模型

數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析、方差分析、主成分分析等都是用來進行系統(tǒng)分析的方法。這些方法都有下述不足之處：04二月20234第一章灰色關(guān)聯(lián)分析模型

（1）要求有大量數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)量少就難以找出統(tǒng)計規(guī)律。

（2）要求樣本服從某個典型的概率分布，要求各因素數(shù)據(jù)與系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)之間呈線性關(guān)系且各因素之間彼此無關(guān)。這種要求往往難以滿足。

（3）計算量大，一般要靠計算機幫助。

（4）可能出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符的現(xiàn)象，導致系統(tǒng)的關(guān)系和規(guī)律遭到歪曲和顛倒。

尤其是我國統(tǒng)計數(shù)據(jù)十分有限，而且現(xiàn)有數(shù)據(jù)灰度較大，再加上人為的原因，許多數(shù)據(jù)都出現(xiàn)幾次大起大落，沒有什么典型的分布規(guī)律。因此采用數(shù)理統(tǒng)計方法往往難以奏效。04二月20235第一章灰色關(guān)聯(lián)分析模型

灰色關(guān)聯(lián)分析方法彌補了采用數(shù)理統(tǒng)計方法進行系統(tǒng)分析所導致的缺憾。它對樣本量的多少和樣本有無規(guī)律都同樣適用，而且計算量小，十分方便，更不會出現(xiàn)理化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符的情況。

灰色關(guān)聯(lián)分析的基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯(lián)系是否緊密。曲線越接近，相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小。04二月20236第一章灰色關(guān)聯(lián)分析模型

對一個抽象的系統(tǒng)或現(xiàn)象進行分析，先要選準反映系統(tǒng)行為特征的數(shù)據(jù)序列，稱為找系統(tǒng)行為的映射量，用映射量來間接地表征系統(tǒng)行為。

例如，用國民平均接受教育的年數(shù)來反映教育發(fā)達程度，用醫(yī)院掛號次數(shù)來反映國民的健康水平等。有了系統(tǒng)行為特征數(shù)據(jù)和相關(guān)因素的數(shù)據(jù)，即可相應(yīng)地繪制各個序列的拆線圖，從直觀上進行分析。

例如，某地區(qū)農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值X0、種植業(yè)總產(chǎn)值X1、畜牧業(yè)總產(chǎn)值X2和林果業(yè)總產(chǎn)值X3，1997-2002年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：04二月20237第一章灰色關(guān)聯(lián)分析模型

X0=(18,20,22,35,41,46)，X1=(8,11,12,17,24,29)X2=(4,3,5,6,11,7)，X3=(6,6,5,12,6,10)

各序列Xi(i=0,1,2,3)的曲線如圖1所示。圖1Xi曲線04二月20238第一章灰色關(guān)聯(lián)分析模型從直觀上看，與農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值曲線最相似的是種植業(yè)產(chǎn)值曲線，而畜牧業(yè)產(chǎn)值曲線和林果業(yè)產(chǎn)值曲線與農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值曲線在幾何形狀上判別較大。因此可以說該地區(qū)的農(nóng)業(yè)仍然是以種植業(yè)為主的農(nóng)業(yè)，畜牧業(yè)和林果業(yè)還不夠發(fā)達。根據(jù)實際問題的需要，還可以進一步進行量化研究分析。

進行系統(tǒng)分析，選定系統(tǒng)行為特征的映射量后，還需進一步明確影響系統(tǒng)主行為的相關(guān)因素。如果系統(tǒng)行為特征映射量和各個相關(guān)因素的意義、量綱完全相同，可以直接據(jù)以對它們之間的關(guān)系進行分析。當系統(tǒng)行為特征映射量和各個相關(guān)因素的意義、量綱不同時，如要作進一步的量化研究分析，則需對系統(tǒng)行為特征映射量和各個相關(guān)因素進行適當處理，通過算子作用，使之化為數(shù)量級大體相近的無量綱數(shù)據(jù)，并將負相關(guān)因素轉(zhuǎn)化為正相關(guān)因素。04二月202393.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集

定義1

設(shè)

Xi

為系統(tǒng)因素，其在序號k

上的觀測數(shù)據(jù)為xi(k)，k=1,2,…,n，則稱Xi=

(xi

(1),xi(2),…,xi

(n))為因素Xi的行為序列。04二月2023103.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集

若k為時間序號，xi(k)為因素

Xi

在k

時刻的觀測數(shù)據(jù)，則稱Xi=

(xi

(1),xi

(2),…,xi

(n))為因素Xi的行為時間序列。04二月2023113.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集

若k為指標序號，xi(k)為因素

Xi

關(guān)于第k

個指標的觀測數(shù)據(jù)，則稱Xi=

(xi

(1),xi

(2),…,xi

(n))為因素Xi的行為指標序列。

若k為觀測對象序號，xi(k)為因素

Xi

關(guān)于第k

個對象的觀測數(shù)據(jù)，則稱Xi=

(xi

(1),xi

(2),…,xi

(n))為因素Xi的行為橫向序列。04二月2023123.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集例如，當Xi

為經(jīng)濟因素時，若k為時間，xi(k)為因素Xi

在時刻k

的觀測數(shù)據(jù)，則Xi=

(xi

(1),xi

(2),…,xi

(n))是經(jīng)濟行為時間序列；若k為指標序號，則Xi=

(xi

(1),xi

(2),…,xi

(n))是經(jīng)濟行為指標序列；若k為不同經(jīng)濟區(qū)域或經(jīng)濟部門的序號，則Xi=

(xi

(1),xi

(2),…,xi

(n))為經(jīng)濟行為橫向序列。

無論是時間序列數(shù)據(jù)、指標序列數(shù)據(jù)還是橫向序列數(shù)據(jù)，都可以用來作關(guān)聯(lián)分析。04二月2023133.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集

定義2

設(shè)Xi=

(xi

(1),xi

(2),…,xi

(n))為因素Xi的行為序列，D1為序列算子，且XiD1=(xi(1)d1,xi(2)d1,…,xi(n)d1)其中Xi(k)d1=xi(k)/xi(1),xi(1)≠0,k=1,2,…,n則稱D1為初值化算子，XiD1為Xi在初值化算子D1下的像，簡稱初值像。（3-1）04二月2023143.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集

例1

設(shè)序列X=

(3.2,3.7,4.5,4.9,5.6)，求其初值像序列。

根據(jù)式（3-1），有x(1)d1=x(1)/x(1)=1,x(2)d1=x(2)/x(1)=3.7/3.2=1.5625同理可以求得x(3)d1=1.40625,x(4)d1=1.53125,x(5)d1=1.75因此有XD1=(x(1)d1,x(2)d1,x(3)d1,x(4)d1,x(5)d1)=(1,1.156,1.40625,1.53125,1.75)04二月2023153.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集

定義3

設(shè)Xi=

(xi

(1),xi

(2),…,xi

(n))為因素Xi的行為序列，D2為序列算子，且XiD2=(xi(1)d2,xi(2)d2,…,xi(n)d2)其中則稱D2為初值化算子，XiD2為Xi在均值化算子D2下的像，簡稱均值像。（3-2）04二月2023163.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集

例2

設(shè)序列Xi=

(3.2,3.7,4.5,4.9,5.6)，求其均值像序列。

根據(jù)式（3-2），有同理可求得x(3)d2=1.03,x(4)d2=1.12,x(5)d2=1.28因此有XD2=(x(1)d2,x(2)d2,x(2)d2,x(2)d2,x(2)d2)=(0.73,0.84,1.03,1.12,1.28)04二月2023173.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集

定義4

設(shè)Xi=

(xi

(1),xi

(2),…,xi

(n))為因素Xi的行為序列，D3為序列算子，且XiD3=(xi(1)d3,xi(2)d3,…,xi(n)d3)其中則稱D3為區(qū)間值化算子，XiD3為Xi在區(qū)間值化算子D3下的像，簡稱區(qū)間值像。（3-3）04二月2023183.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集

例3

設(shè)序列X=

(3.2,3.7,4.5,4.9,5.6)，求其區(qū)間值像序列。

顯然有根據(jù)式（3-3）可以求得x(1)d3=0,x(2)d3=0.208,x(3)d3=0.542,

x(4)d3=0.0.708,x(5)d3=1因此有XD3=(x(1)d3,x(2)d3,x(3)d3,x(4)d3,x(5)d3)=(0,0.208,0.542,0.708,1)193.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集（3-4）04二月2023

203.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集

命題2

任意行為序列的區(qū)間值像有逆化像。

事實上，區(qū)間值像中的數(shù)據(jù)皆屬于[0,1]區(qū)間，故可以定義逆化算子。

定義6

設(shè)Xi=

(xi

(1),xi

(2),…,xi

(n))為因素Xi的行為序列，D5為序列算子，且XiD5=(xi(1)d5,xi(2)d5,…,xi(n)d5)其中xi(k)d5=1/xi(k),xi(k)≠0，k=1,2,…,n則稱D5為倒數(shù)化算子，XiD5為行為序列Xi在倒數(shù)化算子D5下的像，簡稱倒數(shù)化像。（3-5）04二月2023213.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集

命題3

若系統(tǒng)因素Xi與系統(tǒng)主行為X0呈負相關(guān)關(guān)系，則Xi的逆化算子作用像XiD4和倒數(shù)化算子作用像XiD5與X0具有正相關(guān)關(guān)系。

定義7

稱D5={Di|i=1,2,3,4,5}為灰色關(guān)聯(lián)算子集。

定義8

設(shè)X為系統(tǒng)因素集合，D為灰色關(guān)聯(lián)算子集，稱(X,D)為灰色關(guān)聯(lián)因子空間。04二月2023223.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度

定義1

設(shè)X0=

(x0(1),x0(2),…,x0(n))為系統(tǒng)特征行為序列，且X1=(x1(1),x1(2),…,x1(n))……Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))……Xm=(xm(1),xm(2),…,xm(n))為相關(guān)因素序列。給定實數(shù)γ(x1(k),xi(k))，若實數(shù)04二月2023233.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023滿足

（1）規(guī)范性0<γ(X0,Xi)≤1,γ(X0,Xi)=1X0=Xi

（2）整體性對于Xi,Xj∈X={Xs|s=0,1,2,…,m;m≥2}，有γ(Xi,Xj)≠γ(Xj,Xi),i≠j

（3）偶對對稱性對于Xi,Xj∈X，有243.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

（4）接近性|X0(k)-xi(k)|越小,γ(x0(k),xi(k))越大則稱γ(X0,Xj)為Xi與X0的灰色關(guān)聯(lián)度，γ(x0(k),xi(k))為Xi與X0在k點的關(guān)聯(lián)系數(shù)，并稱條件(1)~(4)為灰色關(guān)聯(lián)四公理。在灰色關(guān)聯(lián)公理中，γ(x0(k),xi(k))∈(0,1]表明系統(tǒng)中任何兩個行為序列都不可能是嚴格無關(guān)聯(lián)的。

整體性則體現(xiàn)了環(huán)境對灰色關(guān)聯(lián)比較的影響，環(huán)境不同，灰色關(guān)聯(lián)度也隨之變化，因此對稱原理不一定滿足。253.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023偶對對稱性表明，當灰色關(guān)聯(lián)因子集中只有兩個序列時，兩兩比較滿足對稱性。

接近性是對關(guān)聯(lián)度量化的約束。

定理1

設(shè)系統(tǒng)行為序列X0=(x0(1),x0(2),…,x0(n))X1=(x1(1),x1(2),…,x1(n))……Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))……Xm=(xm(1),xm(2),…,xm(n))263.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023對于ξ∈(0,1)，令則γ(X0,Xi)滿足灰色關(guān)聯(lián)四公理，其中ξ稱為分辨系數(shù)。稱γ(X0,Xi)為X0與Xi的灰色關(guān)聯(lián)度?；疑P(guān)聯(lián)度γ(X0,Xi)常簡記為γ0i,k點關(guān)聯(lián)系數(shù)γ(x0(k),xi(k))簡記為γ0i(k)。（3-1）（3-2）273.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023按照定理1中定義的算式可得灰色關(guān)聯(lián)度的計算步驟如下：

第1步求各序列的初值像(或均值像)。令

第2步求差序列。記

第3步求兩極最大差與最小差。記283.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

第4步求關(guān)聯(lián)系數(shù)

第5步計算關(guān)聯(lián)度

例12001～2005年，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值及第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)、第三產(chǎn)業(yè)數(shù)據(jù)(單位:千億元)如下：國內(nèi)生產(chǎn)總值為X1=(x1(1),x1(2),x1(3),x1(4),x1(5))=(109.7,120.3,135.8,159.9,183.1)293.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023第一產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為X2=(x2(1),x2(2),x2(3),x2(4),x2(5))=(15.5,16.2,17.1,21.0,23.1)

第二產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為X3=(x3(1),x3(2),x3(3),x3(4),x3(5))=(49.5,53.9,62.4,73.9,87.0)

第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為X4=(x4(1),x4(2),x4(3),x4(4),x4(5))=(44.6,50.2,56.3,65.0,73.0)

資料來源：2006中國統(tǒng)計年鑒。303.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023以國內(nèi)生產(chǎn)總值為系統(tǒng)特征序列，計算X2,X3,X4與X1的灰色關(guān)聯(lián)度。

求解過程以X1為系統(tǒng)特征序列計算關(guān)聯(lián)度。

第1步求初值像。由Xi’=Xi/xi(1)=(xi’(1),xi’(2),xi’(3),xi’(4),xi’(5)),i=1,2,3,4得X1’=(1,1.0966,1.2379,1.4576,1.6991)X2’=(1,1.0452,1.1032,1.3548,1.4903)X3’=(1,1.0889,1.2606,1.4929,1.7576)X4’=(1,1.1256,1.2623,1.4574,1.6368)313.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

第2步求差序列。由Δi(k)=|x1’(k)-xi’(k)|,i=2,3,4得Δ2=(0,0.0514,0.1347,0.1028,0.1788)Δ3=(0,0.0077,0.0227,0.0353,0.0885)Δ4=(0,0.02920,0.0244,0.0002,0.0323)第3步求兩極差323.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

第4步求關(guān)聯(lián)系數(shù)。取ξ=0.05，有從而r12(1)=1,r12(2)=0.6346,r12(3)=0.3989,

r12(4)=0.4652,r12(5)=0.3333r13(1)=1,r13(2)=0.9203,r13(3)=0.7976,

r13(4)=0.7168,r13(5)=0.5026r14(1)=1,r14(2)=0.7555,r14(3)=0.7855,

r14(4)=0.9976,r14(5)=0.7344333.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

第5步求灰色關(guān)聯(lián)度因此，第三產(chǎn)業(yè)與國內(nèi)生產(chǎn)總值關(guān)聯(lián)度最大，第二產(chǎn)業(yè)關(guān)聯(lián)度次之，第一產(chǎn)業(yè)關(guān)聯(lián)度最小。343.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

（3-1）353.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023由增長序列、衰減序列、振蕩序列的定義及積分的性質(zhì)，上述命題的成立是顯然的。如圖1所示，(a)為單調(diào)增長序列，(b)為單調(diào)衰減序列，(c)為振蕩序列?？梢灾庇^理解本命題。12…nkxi(k)(a)12…nkxi(k)(b)12…nkxi(k)(c)圖1增長序列、衰減序列、振蕩序列示意圖363.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

373.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

383.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

12…nkxi0(k),xj0(k)(a)(b)圖2折線關(guān)系示意圖xi0(k)xj0(k)12…nkxi0(k),xj0(k)xi0(k)xj0(k)

393.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

403.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

定義3

設(shè)序列X0和Xi的長度相同，s0,si如命題1中所示，則稱為X0和Xi的灰色絕對關(guān)聯(lián)度，簡稱絕對關(guān)聯(lián)度。

這里僅給出長度相同序列之灰色絕對關(guān)聯(lián)度的定義，對于長度不同的序列，可采取刪去較長序列之過剩數(shù)據(jù)或用灰色系統(tǒng)的GM(1,1)模型進行預(yù)測，補齊較短序列之足數(shù)據(jù)等措施使之化成長度相同的序列，但這樣一般會影響灰色絕對關(guān)聯(lián)度的值。413.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

定理1

灰色絕對關(guān)聯(lián)度滿足灰色關(guān)聯(lián)公理中規(guī)范性、偶對對稱性與接近性，但不滿足整體性。

證明(1)規(guī)范性：顯然ε0i>0。又|si-s0|≥0，所以ε0i≤0。

（2）偶對對稱性：|si-s0|=|s0-si|易知ε0i=εi0成立。

（3）接近性:|si-s0|越小，ε0i越大。423.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023（4）由于灰色絕對關(guān)聯(lián)度僅僅是序列X0與Xi之間關(guān)聯(lián)程度的度量，未考慮其他因素，故這里沒有整體性問題。

命題3設(shè)序列X0與Xi的長度相同，令X0’=X0-a,Xi’=Xi-b其中a,b為常數(shù)，若X0’與Xi’的灰色絕對關(guān)聯(lián)度為ε0i’

，則ε0i’=ε0i。

事實上，對X0與Xi進行平移不會改變s0,si和s0-si的值，因此也不改變ε0i。433.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

443.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

引理2

設(shè)序列X0與Xi的長度相同，且皆為1時距序列，而X00=(x00(1),x00(2),…,x00(n))Xi0=(xi0(1),xi0(2),…,xi0(n))分別為X0與Xi的始點零化像，則453.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

定理2

設(shè)序列X0與Xi長度相同，時距相同，且皆為等時距序列，則

證明

由引理1，不妨設(shè)X0,Xi皆為1時距序列，再由引理2和定理1，即得結(jié)論。463.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

例3.3.1

設(shè)序列X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5),x0(7))=(10,9,15,14,14,16)X1=(x1(1),x1(3),x1(7))=(46,70,98)試求其絕對關(guān)聯(lián)度ε01。

解

（1）將X1化為與X0時距相同的序列，令x1(5)=0.5(x1(3)+x1(7))=0.5(70+98)=84x1(2)=0.5(x1(1)+x1(3))=0.5(46+70)=58x1(4)=0.5(x1(3)+x1(5))=0.5(70+84)=77于是有X1=(x1(1),x1(2),x1(3),x1(4),x1(5),x1(7))=(46,58,70,77,84,98)473.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

（2）將X0與X1化為等時距序列，令x0(6)=0.5(x0(5)+x0(7))=0.5(14+16)=15x1(6)=0.5(x1(5)+x1(7))=0.5(84+98)=91X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5),x0(6),x0(7))=(10,9,15,14,14,15,16)X1=(x1(1),x1(2),x1(3),x1(4),x1(5),x1(6),x1(7))=(46,58,70,77,84,91,98)已皆為1時距序列。

（3）求始點零像化，得X00=(x00(1),x00(2),x00(3),x00(4),x00(5),x00(6),x00(7))=(0,-1,5,4,4,5,6)483.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

（3）X10=(x10(1),x10(2),x10(3),x10(4),x10(5),x10(6),x10(7))=(0,12,24,31,38,45,52)(4)求|s0|,|s1|,|s1-s0|493.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

（5）計算灰色關(guān)聯(lián)度503.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

定理3

灰色絕對關(guān)聯(lián)度ε0i具有下列性質(zhì)：(1)0<ε0i≤1；(2)ε0i只與X0和Xi的幾何形狀有關(guān)，而與其空間相對位置無關(guān)，或者說，平移不改變絕對關(guān)聯(lián)度的值；(3)任何兩個序列都不是絕對無關(guān)的，即ε0i恒不為零；(4)X0與Xi幾何上相似程度越大，ε0i越大；(5)X0與Xi平行，或Xi0圍繞X00擺動，且Xi0位于X00之上部分的面積與Xi0位于X00之下部分的面積相等時，ε0i=1；513.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023

定理3

灰色絕對關(guān)聯(lián)度ε0i具有下列性質(zhì)：(6)當X0或Xi中任一觀測數(shù)據(jù)變化時，ε0i將隨之變化；(7)X0與Xi長度變化，ε0i亦變；(8)ε00=ε0i=1；(9)

ε0i=εi0；523.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.2灰色相對關(guān)聯(lián)度

定義3.3.5序列X0,Xi長度相同，且初值皆不等于零，X0’,Xi’分別為X0,Xi的初值像，則稱X0’,Xi’的灰色絕對關(guān)聯(lián)度為X0與Xi的灰色相對關(guān)聯(lián)度，簡稱為相對關(guān)聯(lián)度，記為roi。

灰色相對關(guān)聯(lián)度是序列X0與Xi相對于始點的變化速率之聯(lián)系的表征，X0與Xi的變化速率越接近，roi越大，反之就越小。533.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.2灰色相對關(guān)聯(lián)度

命題3.3.4設(shè)X0,Xi為長度相同且初值不等于零的序列，若X0=cXi，其中c>0為常數(shù)，則roi=1。證明設(shè)Xi

=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，則X0=(x0(1),x0(2),…,x0(n))=(cxi(1),cxi(2),…,cxi(n))其初值像分別為543.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月2023所以X0’=Xi’，從而其絕對關(guān)聯(lián)度等于1，因此，X0與Xi的相對關(guān)聯(lián)度roi=1。553.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.2灰色相對關(guān)聯(lián)度

命題3.3.5設(shè)X0,Xi為長度相同且初值皆不等于零的序列，則其相對關(guān)聯(lián)度roi與絕對關(guān)聯(lián)度εoi的值沒有必然聯(lián)系，當εoi較大時，roi可能很小；εoi很小時，roi也可能很大。例3.3.2設(shè)序列X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5),x0(7))=(10,9,15,14,14,16)X1=(x1(1),x1(3),x1(7))=(46,70,98)試求X0與X1的相對關(guān)聯(lián)度。563.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.2灰色相對關(guān)聯(lián)度

解

（1）將X1化為與X0時距相同的序列，令于是有X1=(x1(1),x1(2),x1(3),x1(4),x1(5),x1(7))=(46,58,70,77,84,98)(2)將X0,X1化為等時距序列，令573.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.2灰色相對關(guān)聯(lián)度于是X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5),x0(7))=(10,9,15,14,14,15,16)X1=(x1(1),x1(2),x1(3),x1(4),x1(5),x1(7))=(46,58,70,77,84,91,98)已皆為1時距序列。583.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.2灰色相對關(guān)聯(lián)度(3)求X0,X1初值像，得X0’=(1,0.9,1.5,1.4,1.4,1.5,1.6)X1’=(1,1.26,1041,1.67,1.83,1.98,2.13)已皆為1時距序列。(4)求X0’,X1’的始點零化像593.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.2灰色相對關(guān)聯(lián)度(5)求|s0’|,|s1’|,|s1’-s0’|(5)計算灰色關(guān)聯(lián)度603.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.2灰色相對關(guān)聯(lián)度

命題3.3.6設(shè)X0,Xi為長度相同且初值皆不等于零的序列，a,b為非零常數(shù)，aX0與bXi的對相關(guān)聯(lián)度為r0i’=r0i?；蛘哒f，數(shù)乘不改變相對關(guān)聯(lián)度。

事實上，aX0與bXi的初值像分別等于X0,Xi的初值像，數(shù)乘在初值化算子作用下無效，故r0i’=r0i

。定理3.3.4灰色相對關(guān)聯(lián)度r0i具有下列性質(zhì)：

(1)0<r0i≤1;(2)r0i只與序列X0和Xi的相對于的變化速率有關(guān)，而與各觀測值的大小無關(guān)，或者說，數(shù)乘不改變相對關(guān)聯(lián)度。613.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.2灰色相對關(guān)聯(lián)度

(3)任何兩個序列的變化速率都不是毫無聯(lián)系的，即r0i恒不為零；

(4)X0和Xi相對于始點的變化速率越趨于一致，r0i越大；(5)X0和Xi相對于的變化速率相同，即X0＝aXi；或X0與Xi的初值像的始點零化像X’0i,X’00滿足：X’0i圍繞X’00擺動，且X’0i位于X’00之上部分的面積與X’0i位于X’00之下部分的面積相等時，r0i

=1；623.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.2灰色相對關(guān)聯(lián)度

(6)當X0或Xi中任一觀測數(shù)據(jù)變化時，r0i將隨之變化；

(7)X0與Xi序列長度變化，r0i亦變；

(8)r00＝rii＝1；

(9)r0i=ri0。633.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.3灰色綜合關(guān)聯(lián)度

定義3.3.6設(shè)序列X0,Xi長度相同，且初值不等于零，ε0i和r0i分別為X0與Xi的灰色絕對關(guān)聯(lián)度和灰色相對關(guān)聯(lián)度，θ∈[0,1]，則稱ρ0i=θε0i+(1-θ)r0i(3.3.5)為X0與Xi的灰色綜合關(guān)聯(lián)度，簡稱綜合關(guān)聯(lián)度。643.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.3灰色綜合關(guān)聯(lián)度灰色綜合關(guān)聯(lián)度既體現(xiàn)了折線X0與Xi的相似程度，又反映出了X0與Xi相對于始點的變化速率的接近程度，是較為全面的表征序列之間聯(lián)系是否緊密的一個數(shù)量指標。一般地，可取θ=0.5，如果對絕對量之間的關(guān)系較為關(guān)心，θ可取大一些；如果對變化速率看得較重，θ可取小一些。653.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.3灰色綜合關(guān)聯(lián)度

例3.3.3

設(shè)序列X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5),x0(7))=(10,9,15,14,14,16)X1=(x1(1),x1(3),x1(7))=(46,70,98)試求X0與X1的灰色綜合關(guān)聯(lián)度。解

由例3.3.1和例3.3.2，已得ε01＝0.5581,r01=0.78，取θ=0.5，可得663.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.3灰色綜合關(guān)聯(lián)度類似，若取θ=0.2,0.3,0.4,0.6,0.8，可求得灰色綜合關(guān)聯(lián)度如表3.3.1所示。表3.3.1灰色綜合關(guān)聯(lián)度因為ε01<r01，從表3.3.1可以看出，隨著θ值不斷增大，綜合關(guān)聯(lián)度值變小。θ0.20.30.40.60.8綜合關(guān)聯(lián)度0.735620.713430.691240.646860.60248673.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.3灰色綜合關(guān)聯(lián)度

定理3.3.5灰色綜合關(guān)聯(lián)度ρ0i，具有下列性質(zhì)：

(1)0<ρ0i≤1；

(2)ρ0i既與序列X0和Xi之各觀測數(shù)據(jù)的大小有關(guān)，又與各數(shù)據(jù)相對于始點的變化速率有關(guān)；

(3)ρ0i恒不為零；

(4)改變X0與Xi中的數(shù)據(jù)，ρ0i亦隨之變化；

(5)X0與Xi序列長度變化，ρ0i亦變；

(6)θ取不同的值，ρ0i也不同；

(7)θ=1時，ρ0i

=ε0i,θ=0時，ρ0i

=r0i;683.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.3灰色綜合關(guān)聯(lián)度

定理3.3.5灰色綜合關(guān)聯(lián)度ρ0i，具有下列性質(zhì)：

(8)ρ00

=ρ0i

=1;

(9)ρ0i

=ρi0。693.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度

灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論中十分活躍的一個分支，其基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀來判斷不同序列之間的聯(lián)系是否緊密。基于鄧聚龍?zhí)岢龅幕疑P(guān)聯(lián)度模型，許多學者在新型灰色關(guān)聯(lián)度模型的構(gòu)造方面進行了有益的探索。1992年，劉思峰根據(jù)鄧聚龍灰色關(guān)聯(lián)度模型構(gòu)造思想，提出了灰色絕對關(guān)聯(lián)度模型并研究了其性質(zhì)和算法。此后的十幾年中，這一新模型得到了較多應(yīng)用，解決了科研、生產(chǎn)中的大量實際問題。703.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度

如張繼春等(1993)用于巖體爆破質(zhì)量分析，趙呈建等(1996)應(yīng)用于股票市場分析，李長洪(1997)應(yīng)用于礦井事故成因和煤自燃發(fā)火因素分析，劉以安，陳松燦(2002)多雷達低空小目標跟蹤分析，史向峰等(2006)應(yīng)用于地空導彈武器系統(tǒng)分析，譚守林等(2004)用于機場目標打擊順序分析，苗曉鵬(2006)用于錐滾子振動控制等等，均取得滿意的效果。參照魏勇(2006)和謝乃明等(2007)近年來的研究，這里對1992年提出的灰色絕對關(guān)聯(lián)度模型進行改進，給出一種新的灰色關(guān)聯(lián)分析模型。713.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度

新模型分別從相似性和接近性兩個不同視角測度序列之間的相互關(guān)系和影響，克服了原模型存在的問題，易于實際應(yīng)用。定義3.3.7設(shè)序列X0與Xi長度相同，si-sj如命題3.3.2中所示，則稱（3.3.6）為X0與Xi的基于相似性視角的灰色關(guān)聯(lián)度，簡稱相似關(guān)聯(lián)度。723.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度定義3.3.8設(shè)序列X0與Xi長度相同，Si-Sj如命題3.3.2中所示，則稱（3.3.6）相似關(guān)聯(lián)度用于測度Xi與Xj序列在幾何形狀上的相似程度。Xi與Xj在幾何形狀上越相似，εij越大，反之就越小。為Xi與Xj的基于接近性視角的灰色關(guān)聯(lián)度，簡稱接近關(guān)聯(lián)度。733.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度接近關(guān)聯(lián)度用于測度序列Xi與Xj在空間中的接近程度。Xi與Xj越接近，ρij越大，反之就越小。接近關(guān)聯(lián)度僅適用于序列Xi與Xj意義、量綱完全相同的情形，當序列Xi與Xj的意義、量綱不同時，計算其接近關(guān)聯(lián)度沒有任何實際意義。743.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度定理3.3.6灰色相似關(guān)聯(lián)度和灰色接近關(guān)聯(lián)度皆滿足灰色關(guān)聯(lián)公理中規(guī)范性、偶對對稱性與接近性。753.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度證明僅給出相似關(guān)聯(lián)度εij的證明，對接近關(guān)聯(lián)度ρij類似可證。

(1)規(guī)范性：顯然εij>0。又|si-sj|≥0，所以εij≤1。

(2)偶對對稱性：|si-sj|=|sj-si|易知εij=εji成立。

(3)接近性：顯然成立。定理3.3.7

灰色關(guān)聯(lián)度εij具有下列性質(zhì):

(1)

0<εij≤1；

(2)

εij僅與Xi和Xj的幾何開頭有關(guān)，而與其空間相對位置無關(guān)，或者說，平移變換不改變相似關(guān)聯(lián)度的值；763.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度

(3)

Xi與Xj在幾何形狀上越相似，εij越大，反之就越小。

(4)

Xi與Xj平行，或Xi0圍繞Xj0擺動，且Xi0位于Xj0之上部分的面積與Xi0位于Xj0之下部分的面積相等時，εij=1；

(5)

εii=1；

(6)

εij=εji。773.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度定理3.3.8

灰色關(guān)聯(lián)度ρij具有下列性質(zhì)：

(1)規(guī)范性：0<ρij≤1;

(2)

ρij不僅與Xi與Xj的幾何形狀有關(guān)，還與其空間相對位置有關(guān)，或者說，平移變換將改變接近關(guān)聯(lián)度的值；

(3)

Xi與Xj越接近，ρij越大，反之就越??；

(4)

Xi與Xj重合，或Xi圍繞Xj擺動，且Xi位于Xj之上部分的面積與Xi位于Xj之下部分面積相等時，εij=1；

(5)

ρii=1;(6)ρij=ρji。783.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度例3.3.4

設(shè)序列X1=(x1(1),x1(2),x1(3),x1(4),x1(5),x1(7))=(0.91,0.97,0.90,0.93,0.91,0.95)X2=(x2(1),x2(2),x2(3),x2(5),x2(7))=(0.60,0.68,0.61,0.63,0.65)X3=(x3(1),x3(2),x3(7))=(0.82,0.90,0.86)試分別求X2,X3與X1其相似關(guān)聯(lián)度ε12,ε13和接近關(guān)聯(lián)度ρ12,ρ13。793.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度解(1)將X2,X3化為與X1時距相同的序列，令x2(4)=0.5(x2(3)+x2(5))＝0.5(0.61+0.63)=0.62x3(2)=0.5(x3(1)+x3(3))=0.5(0.82+0.90)=0.86x3(5)=0.5(x3(3)+x3(7))=0.5(0.90+0.86)=0.88x3(4)=0.5(x3(3)+x3(5))=0.5(0.90+0.88)=0.89于是有X2=(x2(1),x2(2),x2(3),x2(4),x2(5),x2(7))=(0.60,0.68,0.61,0.62,0.63,0.65)X3=(x3(1),x3(2),x3(3),x3(4),x3(5),x3(7))=(0.82,0.86,0.90,0.89,0.88,0.86)803.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度

(2)將X1,X2,X3化為等時距序列，令x1(6)=0.5(x1(5)+x1(7))＝0.5(0.91+0.95)=0.93x2(6)=0.5(x2(5)+x2(7))=0.5(0.63+0.65)=0.64x3(6)=0.5(x3(5)+x3(7))=0.5(0.88+0.86)=0.87于是有X1=(x1(1),x1(2),x1(3),x1(4),x1(5),x1(7))=(0.91,0.97,0.90,0.93,0.91,0.93,0.95)X2=(x2(1),x2(2),x2(3),x2(4),x2(5),x2(7))=(0.60,0.68,0.61,0.62,0.63,0.64,0.65)X3=(x3(1),x3(2),x3(3),x3(4),x3(5),x3(7))=(0.82,0.86,0.90,0.89,0.88,0.87,0.86)813.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度已皆為1時距序列。

(3)求始點零像化，得X10=(x10(1),x10(2),x10(3),x10(4),x10(5),x10(6),x10(7))=(0,0.06,-0.01,0.02,0,0.02,0.04)X20=(x20(1),x20(2),x20(3),x20(4),x20(5),x20(6),x20(7))=(0,0.08,0.01,0.02,0.03,0.04,0.05)X30=(x30(1),x30(2),x30(3),x30(4),x30(5),x30(6),x30(7))=(0,0.04,0.08,0.07,0.06,0.05,0.04)823.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度

(4)求|s1-s2|,|s1-s3|和|S1-S2|,|S1-S3|833.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度

(5)計算灰色關(guān)聯(lián)度ε12,ε13和接近關(guān)聯(lián)度ρ12,ρ13從計算結(jié)果可以看出ε12>ε13，即與X3相比，X2與X1更相似；同樣由ρ12<ρ13可知，X3比X2更接近于X1。843.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度需要說明的是，灰色關(guān)聯(lián)分析通過關(guān)聯(lián)度測度序列之間的相互關(guān)系和影響，但其主要關(guān)注的是序關(guān)系，而不是關(guān)聯(lián)度數(shù)值的大小。比如按照式(3.3.6)或式(3.3.7)計算相似關(guān)聯(lián)度或接近關(guān)聯(lián)度時，當序列數(shù)據(jù)絕對值較大時，可能導致|si-sj|或|Si-Sj|的值較大，從而出現(xiàn)相似關(guān)聯(lián)度或接近關(guān)聯(lián)度數(shù)值較小的情形。這種情況對于序關(guān)系的分析沒有實質(zhì)性影響。如果認為數(shù)值較大的關(guān)聯(lián)度更便于說明問題，可以考慮將式(3.3.6)或式(3.3.7)分子和分母中的數(shù)1取為一個與|si-sj|853.3廣義灰色關(guān)聯(lián)度04二月20233.3.4灰色相似關(guān)聯(lián)度與灰色接近關(guān)聯(lián)度或|Si-Sj|關(guān)的常數(shù)，也可以考慮采用灰色絕對關(guān)聯(lián)度模型或其他模型。

另外，接近關(guān)聯(lián)度僅適用于序列的意義、量綱完全相同的情形，當序列的意義、量綱不同時，研究其接近關(guān)聯(lián)度沒有意義。863.4關(guān)聯(lián)序04二月2023對于選定的灰色關(guān)聯(lián)算子，灰色關(guān)聯(lián)度以及廣義灰色關(guān)聯(lián)度中的灰色絕對關(guān)聯(lián)度、灰色相對關(guān)聯(lián)度、灰色相似關(guān)聯(lián)度、灰色接近關(guān)聯(lián)度的值都是唯一的，當灰色關(guān)聯(lián)算子和θ皆取定時，灰色綜合關(guān)聯(lián)度也是唯一的，這種有條件的唯一性并不影響我們對問題的分析。在進行系統(tǒng)分析時，研究系統(tǒng)特征行為與相關(guān)因素行為的關(guān)系，主要關(guān)心的是系統(tǒng)特征行為序列與各相關(guān)因素行為序列關(guān)聯(lián)度的大小次序，而不是關(guān)聯(lián)度的數(shù)值大小。873.4關(guān)聯(lián)序04二月2023

883.4關(guān)聯(lián)序04二月2023

893.4關(guān)聯(lián)序04二月2023表3.4.1序關(guān)系分析數(shù)據(jù)X1X2X3X4X5Y13.15.23.44.13.7Y22.64.03.13.53.2Y312.116.213.21514.3903.4關(guān)聯(lián)序04二月2023

定理3.4.2設(shè)X0為系統(tǒng)特征行為序列，X1,X2,…,Xm為與X0長度相同的相關(guān)因素行為序列，令集合X={X1,X2,…,Xm}，則(1)灰色關(guān)聯(lián)序、灰色絕對關(guān)聯(lián)序、灰色相似關(guān)聯(lián)序、灰色接近關(guān)聯(lián)序均為X上的順序關(guān)系。913.4關(guān)聯(lián)序04二月2023

923.4關(guān)聯(lián)序04二月2023

定理3.4.1設(shè)X0為系統(tǒng)特征行為序列，X1,X2,…,Xm為相關(guān)因素行為序列，令X={X1,X2,…,Xm}則在集合X上，灰色關(guān)聯(lián)序、灰色絕對關(guān)聯(lián)序、灰色相對關(guān)聯(lián)序、灰色綜合關(guān)聯(lián)序、灰色相似關(guān)聯(lián)序和灰色接近關(guān)聯(lián)序皆為偏序關(guān)系。

933.4關(guān)聯(lián)序04二月2023

(2)若X0,X1,X2,…,Xm的初值皆不等于零，則灰色相對關(guān)聯(lián)序與灰色綜合關(guān)聯(lián)序也為X上的順序關(guān)系。

943.4關(guān)聯(lián)序04二月2023

953.5優(yōu)勢分析04二月2023

為灰色關(guān)聯(lián)矩陣。963.5優(yōu)勢分析04二月2023

類似地，可以定義廣義灰色關(guān)聯(lián)矩陣，如灰色絕對關(guān)聯(lián)矩陣973.5優(yōu)勢分析04二月2023和灰色關(guān)聯(lián)矩陣以及灰色綜合關(guān)聯(lián)矩陣利用灰色關(guān)聯(lián)矩陣可以對系統(tǒng)特征或相關(guān)因素作優(yōu)勢分析。983.5優(yōu)勢分析04二月2023

993.5優(yōu)勢分析04二月2023

定義3.5.3

設(shè)Yi(i=1,2,…,s)為系統(tǒng)牲行為序列，Xj(j=1,2,…,m)為相關(guān)因素行為序列，且為其灰色關(guān)聯(lián)矩陣，若存在l,j

{1,2,…,m}，滿足γil≥

γij

i=1,2,…,s則稱系統(tǒng)因素Xl公布于系統(tǒng)因素Xj，記為。若?j=1,2,…,m,j≠l，恒有，則稱Xl為最優(yōu)因素。1003.5優(yōu)勢分析04二月2023

定義3.5.3

設(shè)Yi(i=1,2,…,s)為系統(tǒng)牲行為序列，Xj(j=1,2,…,m)為相關(guān)因素行為序列，且為其灰色關(guān)聯(lián)矩陣，若存在l,j

∈{1,2,…,m}，滿足γil≥

γij

i=1,2,…,s則稱系統(tǒng)因素Xl公布于系統(tǒng)因素Xj，記為。1013.5優(yōu)勢分析04二月2023

定義3.5.4

設(shè)Yi(i=1,2,…,s)為系統(tǒng)牲行為序列，Xj(j=1,2,…,m)為相關(guān)因素行為序列，且為其灰色關(guān)聯(lián)矩陣，若

(1)存在k,i∈{1,2,…,s}，滿足1023.5優(yōu)勢分析04二月2023則稱系統(tǒng)特征Yk準優(yōu)于系統(tǒng)特征Yi，記為。

(2)若存l,j∈{1,2,…,m}，滿足則稱系統(tǒng)因素Xl準優(yōu)于系統(tǒng)因素Xj，記為。

定義3.5.5

(1)存在k∈{1,2,…,s}，使i=1,2,…,s，i≠k，有，則稱系統(tǒng)特征Yk為準優(yōu)特征。

(2)若存在l∈{1,2,…,m}，使?j=1,2,…,m，j≠l，有

，則稱系統(tǒng)因素Xl為準優(yōu)因素。1033.5優(yōu)勢分析04二月2023

命題3.5.1

在一個具有s個系統(tǒng)特征，m個相關(guān)因素的系統(tǒng)中，未必有最優(yōu)特征和最優(yōu)因素，但一定有準優(yōu)特征和準優(yōu)因素。

例3.5.1

設(shè)Y1=(170,174,179,216.4,235.8)Y2=(57.55,70.74,76.8,80.7,89.5)Y3=(68.56,70,85.38,99.83,103.4)為系統(tǒng)特征行為序列X1=(308.58,310,295,346,367)X2=(195.4,189.9,189.2,205,222.7)1043.5優(yōu)勢分析04二月2023X3=(24.6,21,12.2,15.1,14.57)X4=(20,25.6,23.3,29.2,30)X5=(18.98,19,22.3,23.5,27.655)為相關(guān)因素行為序列，試作優(yōu)勢分析。

解

(1)求絕對關(guān)聯(lián)矩陣對各行為序列求始點零化像，得Y10=(0,4,27,46.4,65.8)Y20=(0,13.19,19.25,23.15,32.3)Y30=(0,1.44,16.82,31.27,34.84)X10=(0,1.42,16.82,31.27,34.84)1053.5優(yōu)勢分