2021-2022學(xué)年江蘇省南京市第五十中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2021-2022學(xué)年江蘇省南京市第五十中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在空間，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合是（） A.球

B.圓

C.球面

D.正方體參考答案：C2.已知，則的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.在空間中，給出下列說(shuō)法：①平行于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是平行平面；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則；④過(guò)平面的一條斜線，有且只有一個(gè)平面與平面垂直.其中正確的是（

）A.①③ B.②④ C.①④ D.②③參考答案：B【分析】說(shuō)法①：可以根據(jù)線面平行的判定理判斷出本說(shuō)法是否正確；說(shuō)法②：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判定定理可以判斷出本說(shuō)法是否正確；說(shuō)法③：當(dāng)與相交時(shí)，是否在平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，進(jìn)行判斷；說(shuō)法④：可以通過(guò)反證法進(jìn)行判斷.【詳解】①平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則與可能平行，也可能相交，不正確；易知④正確.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了線線位置關(guān)系、面面位置關(guān)系的判斷，分類討論是解題的關(guān)鍵，反證法是經(jīng)常用到的方程.4.設(shè)f（x）=﹣，若規(guī)定＜x＞表示不小于x的最小整數(shù)，則函數(shù)y=＜f（x）＞的值域是（）A．{0，1} B．{0，﹣1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【分析】先求出y的值域，再根據(jù)新的定義“＜x＞表示大于或等于x的最小整數(shù)”的意義，再利用x≤＜x＞＜x+1即可解出本題．【解答】解：f（x）=﹣=﹣=﹣，∵3x+1＞1，∴0＜＜1，∴﹣1＜＜0，∴﹣＜﹣＜，∵規(guī)定＜x＞表示不小于x的最小整數(shù)，∴x≤＜x＞＜x+1，∴﹣1≤＜f（x）＞＜1∴函數(shù)y=＜f（x）＞的值域?yàn)閧0，﹣1}，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題是新定義問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解新的定義“＜x＞表示大于或等于x的最小整數(shù)”的意義，得到x≤＜x＞＜x+1，屬于難題．5.設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)2＋n，(x∈[－1,3]，n∈N*)的最小值為an，最大值為bn，則cn＝b－anbn是()A．公差不為零的等差數(shù)列B．公比不為1的等比數(shù)列C．常數(shù)列D．既不是等差也不是等比數(shù)列參考答案：A∵f(x)＝(x－1)2＋n，x∈[－1,3]，n∈N*，∴an＝f(1)＝n，bn＝f(－1)＝f(3)＝n＋4.∴cn＝b－anbn＝bn(bn－an)＝4(n＋4)．∴cn＋1－cn＝4.∴{cn}是公差不為零的等差數(shù)列．6.（5分）f（x）=是R上的增函數(shù)，則a的范圍是（） A． （﹣∞，2] B． （﹣∞，1] C． [1，+∞） D． [2，+∞）參考答案：B考點(diǎn)： 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．解答： ∵f（x）是R上的增函數(shù)，∴0+a≤20=1，即a≤1，故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用分段函數(shù)端點(diǎn)處的大小關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7.已知函數(shù)在時(shí)取得最大值，在時(shí)取得最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略8.已知等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，若則a7+a17=25﹣S23，則a12等于（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．參考答案：C【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出方程組得a1+11d=1，由此能求出a12．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，a7+a17=25﹣S23，∴，整理，得a1+11d=1，∴a12=a1+11d=1．故選：C．9.已知,則的值為(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)輔助角公式即可。【詳解】由輔助角公式得所以，選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用：，屬于基礎(chǔ)題。10.設(shè)，，，則

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的非空真子集為

；參考答案：{a},12.設(shè)，則————參考答案：{-1}13.設(shè)扇形的半徑長(zhǎng)為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是

參考答案：2

略14.在中，內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，，則外接圓的面積為__

___.參考答案：15.若a＞0，a≠1，則函數(shù)y=ax﹣1+2的圖象一定過(guò)點(diǎn)．參考答案：（1，3）；【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】利用指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解答】解：方法1：平移法∵y=ax過(guò)定點(diǎn)（0，1），∴將函數(shù)y=ax向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=ax﹣1+2，此時(shí)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1，3），方法2：解方程法由x﹣1=0，解得x=1，此時(shí)y=1+2=3，即函數(shù)y=ax﹣1+2的圖象一定過(guò)點(diǎn)（1，3）．故答案為：（1，3）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的性質(zhì)，如果x的系數(shù)為1，則可以使用平移法，但x的系數(shù)不為1，則用解方程的方法比較簡(jiǎn)單．16.設(shè)是正項(xiàng)數(shù)列，它的前項(xiàng)和滿足：，則

參考答案：略17.函數(shù)f（x）=，則當(dāng)f（x）≥1時(shí)，自變量x的取值范圍為．參考答案：（﹣∞，1]∪[，3]【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意分兩種情況x＞2和x≤2，代入對(duì)應(yīng)的解析式列出不等式求解即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=，∴分兩種情況：①當(dāng)x＞2時(shí)，由f（x）≥1得，，解得2＜x≤3，②當(dāng)x≤2時(shí)，由f（x）≥1得，|3x﹣4|≥1，即3x﹣4≥1或3x﹣4≤﹣1，解得，x≤1或x≥，則x≤1或≤x≤2．綜上，所求的范圍是（﹣∞，1]∪[，3]．故答案為：（﹣∞，1]∪[，3]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)且．（）求的值．（）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：見解析（）對(duì)于函數(shù)，由，求得，故．（）若函數(shù)有零點(diǎn)，則函數(shù)的圖像和直線有交點(diǎn)，∴，求得．（）∵當(dāng)，恒成立，即恒成立，令，則，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，∴，∴．19.（8分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元。該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸.那么在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？（用線性規(guī)劃求解要畫出規(guī)范的圖形）參考答案：解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，利潤(rùn)

則有：

……3分作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．如圖：

……5分目標(biāo)函數(shù)

作直線：，平移，觀察知，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取到最大值解方程組得的坐標(biāo)為

……8分20.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形，PD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．（1）求證：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD．參考答案：【考點(diǎn)】LW：直線與平面垂直的判定；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）設(shè)AC∩BD=H，連接EH，由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合題意證出MH為△PAC中位線，從而得到MH∥PA，利用線面平行的判定定理，即可證出PA∥平面MBD．（2）由線面垂直的定義證出PD⊥AD，結(jié)合AD⊥PB得到AD⊥平面PDB，得AD⊥BD，再根據(jù)PD⊥BD且PD、AD是平面PAD內(nèi)的相交直線，可得BD⊥平面PAD．【解答】解：（1）設(shè)AC∩BD=H，連接MH，∵H為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴H為AC中點(diǎn)，又∵M(jìn)為PC中點(diǎn)，∴MH為△PAC中位線，可得MH∥PA，MH?平面MBD，PA?平面MBD，所以PA∥平面MBD．（2）∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，又∵AD⊥PB，PD∩PB=D，∴AD⊥平面PDB，結(jié)合BD?平面PDB，得AD⊥BD∵PD⊥BD，且PD、AD是平面PAD內(nèi)的相交直線∴BD⊥平面PAD．21.（本題滿分14分）一張矩形紙片，剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個(gè)正方形，剩下一個(gè)矩形，稱為第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形．如圖1，矩形ABCD中，若，，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形．（1）判斷與操作：如圖2，矩形ABCD長(zhǎng)為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請(qǐng)寫出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫出裁剪線；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）探究與計(jì)算：已知矩形ABCD的一邊長(zhǎng)為20，另一邊長(zhǎng)為（a

<

20）,且它是3階奇異矩形，請(qǐng)畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出的值．

（3）歸納與拓展：已知矩形ABCD兩鄰邊的長(zhǎng)分別為b，c（b

<

c），且它是4階奇異矩形，求b︰c（直接寫出結(jié)果）．參考答案：（1）矩形ABCD是3階奇異矩形，裁剪線的示意圖如下：

2分（2）裁剪線的示意圖如下：

4分