巖土數(shù)值分析章

巖土數(shù)值分析章第一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第一節(jié)巖土工程問題的基本特點(diǎn)工程類型的多樣性材料性質(zhì)的復(fù)雜性荷載條件的復(fù)雜性初始條件與邊界條件的復(fù)雜性相互作用問題第二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日幾種工程類型（例）

加筋擋墻第三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日防滲墻與覆蓋層混凝土面板壩擋土墻第五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第二節(jié)巖土工程數(shù)值分析發(fā)展的必然性

為盡可能求得問題的可靠解答，人們的追求與選擇大致有三個梯次，退而擇之。建立嚴(yán)格的控制物理方程－嚴(yán)格精確解基于假定建立較為精確的控制物理方程－近似理論解必要簡化假設(shè)的基礎(chǔ)上得到的控制物理方程（微分方程或微分方程組）－尋求數(shù)值解第六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第三節(jié)本課程介紹幾種

常用數(shù)值方法

滑移線理論與特征線方法（CharacteristicsLineMethod，CLM）。極限分析法（LimitAnalysisMethod，LAM）有限單元法（FiniteElementMethod，

FEM），包括土體應(yīng)力變形、固結(jié)有限元及滲流有限元；離散單元法(Discrete/DistinctElementMethod，DEM)；非連續(xù)變形分析法(DiscontinuousDeformationAnalysis，DDA)；巖土參數(shù)反分析法（BackAnalysisMethod,BAM）；三個常用軟件應(yīng)用（顯式有限差分方法差分的拉格朗日法FLAC3D，基于非線性有限元的通用分析軟件的ABAQUS，基于離散元方法的PFC）第七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

人們的認(rèn)識在不斷發(fā)展深化，同時(shí)伴隨其它學(xué)科的發(fā)展，例如計(jì)算方法的多樣化與計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，能夠求解的巖土工程問題的范圍和難度在不斷擴(kuò)大。

從求解穩(wěn)定性問題到求解變形和穩(wěn)定問題，從土體到巖體，

從連續(xù)介質(zhì)到不連續(xù)介質(zhì)，

從簡單到復(fù)雜，

從單一問題到綜合和耦合問題等。

數(shù)值分析發(fā)展前景廣闊，是學(xué)者和工程師們的新舞臺。

第八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第四節(jié)學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的問題

（1）掌握每種方法的數(shù)學(xué)力學(xué)原理，基本假定和適用范圍；（2）弄清每種方法對巖土體材料模型及其參數(shù)的要求；第九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的問題（3）弄清每種方法對巖土體材料與結(jié)構(gòu)的相互作用模型及其參數(shù)的要求，包括巖石塊體之間的關(guān)聯(lián)和相互作用；（4）分析巖土體是否存在滲流和與水的相互作用或其它耦合問題。第十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的問題（5）分析初始條件、邊界條件和荷載特征等，確定模擬思路，正確建模；（6）對于反演分析，要研究和分析已知數(shù)據(jù)，明確待求未知量，選擇恰當(dāng)方法。第十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應(yīng)用時(shí)注意幾個主要環(huán)節(jié)（1）研究分析對象，明確計(jì)算目的，選擇數(shù)值分析方法，確定建模方案；（2）確定運(yùn)用的模型及其參數(shù)；（3）確定邊界條件與初始條件；第十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應(yīng)用時(shí)注意幾個主要環(huán)節(jié)（4）模擬荷載及荷載的動態(tài)變化；（5）確定計(jì)算的收斂評判依據(jù)；（6）考察各環(huán)節(jié)簡化的合理性，考題，否則應(yīng)調(diào)整建模及有關(guān)計(jì)算模型與參數(shù)；（7）確定后處理方法及成果的整理與分析方案。（8）應(yīng)用商業(yè)軟件之前，要先弄清原理第十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

教材：盧廷浩等，巖土工程數(shù)值分析與應(yīng)用

河海大學(xué)出版社，2012.12參考文獻(xiàn)[1]劉漢東、張勇、賈金祿編著，巖土工程數(shù)值計(jì)算方法（M），黃河水利出版社，1995.12。[2](美)C.S.德賽、J.T.克里斯琴主編，盧世深、潘善德、王鐘琦等譯，巖土工程數(shù)值方法（M），中國建筑工業(yè)出版社，1981.8。[3]中國力學(xué)學(xué)會計(jì)算力學(xué)委員會主辦，第一屆全國計(jì)算巖土力學(xué)研討會論文集（M），西南交通大學(xué)出版社，1987.11。[4]龔曉南主編，土工計(jì)算機(jī)分析，中國建筑工業(yè)出版社（M），2000.10。[5]廖紅建、王鐵行，巖土工程數(shù)值分析，機(jī)械工業(yè)出版社（M），2006.2。

…………更多第十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

巖土工程數(shù)值分析

與應(yīng)用

第二章滑移線理論與特征線法

河海大學(xué)巖土工程研究所盧廷浩第十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日概述

對于土體，滑移線理論、極限分析理論與力的極限平衡理論同屬極限狀態(tài)理論的范疇，都是求土體達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)解答的理論方法。這些理論方法都是假定分析對象服從庫侖材料破壞準(zhǔn)則，求解時(shí)不考慮材料到達(dá)極限狀態(tài)的過程，即不考慮材料的具體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，從而求得土體達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)的解答，但他們各自求解問題的視角和方法不同。第十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日關(guān)于力的極限平衡理論

力的極限平衡理論假定土體為理想剛體，依據(jù)于經(jīng)典靜力學(xué)中剛體平衡理論推求極限狀態(tài)解答，簡稱為極限平衡法。該方法最為人們所熟悉，其突出優(yōu)點(diǎn)是簡單，應(yīng)用廣泛。例如，經(jīng)典土壓力計(jì)算理論，假定滑動面的土坡穩(wěn)定安全系數(shù)計(jì)算，地基極限承載力計(jì)算等。第十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日關(guān)于極限分析理論

極限分析理論假定土體為彈性－理想塑性體或剛塑性體，強(qiáng)度包線為直線且服從正交流動規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)庫侖材料。當(dāng)作用于土體上的荷載達(dá)到某一數(shù)值并保持不變時(shí)，土體會發(fā)生“無限”塑性流動，則認(rèn)為土體處于極限狀態(tài)，所對應(yīng)的荷載稱為極限荷載。極限分析理論就是應(yīng)用虛功率方程推導(dǎo)彈性－理想塑性體或剛塑性體的普遍定理－上限定理（求極限荷載的上限解）和下限定理（求極限荷載的下限解）求解極限荷載的一種分析方法，稱為極限分析法。第十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日關(guān)于滑移線理論

土力學(xué)中的滑移線理論是從經(jīng)典塑性力學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。假定土體為理想剛塑性體，強(qiáng)度包線為直線且服從正交流動規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)庫侖材料?；凭€理論是基于平面應(yīng)變狀態(tài)的土體內(nèi)當(dāng)達(dá)到“無限”塑性流動時(shí)，塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變速度的偏微分方程是雙曲線這一事實(shí)，應(yīng)用特征線理論求解平面應(yīng)變問題極限解的一種方法，稱為滑移線法。第十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線概念基本假定基本方程

平衡方程為

土體屈服條件為第二十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線

在平面應(yīng)變問題中，都有兩個正交主應(yīng)力，將各點(diǎn)主應(yīng)力方向連續(xù)地連接起來就是主應(yīng)力跡線。土體處于屈服狀態(tài)時(shí)，每一點(diǎn)都存在一對剪破面，即面和面，將平面上各點(diǎn)剪破面連續(xù)地連接起來就可以得到兩族曲線，稱為滑移線（或滑動線）。滑移線上一點(diǎn)的切線就是該點(diǎn)的滑動面方向。第二十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線概念應(yīng)力分量表達(dá)（一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)）

當(dāng)土體達(dá)到塑性極限平衡時(shí)（達(dá)到塑性屈服），土體單元將一對剪破面，剪破面與大主應(yīng)力的夾角為。

設(shè)大主應(yīng)力與軸的夾角為，則三個應(yīng)力分量可分別表達(dá)為

式中

稱為平均法向引用應(yīng)力第二十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應(yīng)力分量表達(dá)（放大圖）第二十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線與滑移線方程

線和線的微分方程為第二十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應(yīng)力平衡方程的特征線方程特征線方程－推導(dǎo)特征線方程組

極限平衡方程改寫

這是一個以x，z

，,為變量的空間曲面方程是一階擬線形偏微分方程組。直接求解極其困難。數(shù)學(xué)上的一階擬線形偏微分方程組一般形式為第二十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

該式是關(guān)于為變量，由系數(shù)構(gòu)成的代數(shù)方程組，其中系數(shù)是的函數(shù)。

第二十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日該方程組的系數(shù)行列式為展開行列式，令，有其中第二十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日在某區(qū)域內(nèi)，如果則方程有兩個實(shí)根，表示一階擬線形偏微分方程組為雙曲線型的，在該區(qū)域內(nèi)有兩族實(shí)的特征線。第二十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

如果，則方程有一個實(shí)根，表示一階擬線形偏微分方程組為拋物線型的，只有一族特征線；

如果則方程沒有實(shí)根，表示一階擬線形偏微分方程組為橢圓型的，不存在實(shí)的特征線。第二十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日特征線方程推導(dǎo)

上式是關(guān)于、的一階擬線形偏微分方程組，直接求解這個偏微分方程組極其困難。由于兩族滑移線自己的夾角是

為此可以將方程改寫：以乘第一個方程；以乘第二個方程，然后相加，得第三十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日特征線方程推導(dǎo)－空間曲面方程以為變量空間曲面方程，

第三十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日特征線方程推導(dǎo)

在xoz平面內(nèi)一定存在某曲線，該曲線上和正好滿足方程；沿該線、可以表達(dá)為第三十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日求全微分改寫上式得將其代入式整理后得到第三十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日式中第三十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日當(dāng)右端項(xiàng)分子分母同時(shí)為0，左端的導(dǎo)數(shù)值不定，稱為特征線。特征線的方程組：第三十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

方程組是曲面方程，仍難以求得解析解，只能沿著曲面方程的特征線才能求得解答，因此稱為特征線法。

比較滑移線的定義與此處的特征線方程，可知此處數(shù)學(xué)上的特征線就是物理概念上的滑移線。

第三十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應(yīng)力間斷線應(yīng)力間斷線（l線）推導(dǎo)第三十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日應(yīng)力間斷線應(yīng)力間斷線推導(dǎo)切向正應(yīng)力間斷第三十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線的基本性質(zhì)

應(yīng)用特征線法求解極限荷載時(shí)必須首先根據(jù)滑移線性質(zhì)構(gòu)造應(yīng)力場。根據(jù)滑移線的定義，可推得具有如下基本特性?；凭€上的剪應(yīng)力等于巖土體的抗剪強(qiáng)度（極限狀態(tài)），滑移線網(wǎng)與屈服準(zhǔn)則有關(guān)。兩族滑移線的夾角與內(nèi)摩擦角值有關(guān)，粘聚力c不影響滑移線的兩族滑移線的夾角和形狀，而土體自重影響滑移線網(wǎng)的形狀但不影響兩族滑移線的夾角。第三十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日滑移線的基本性質(zhì)沿一條滑移線的積分常數(shù)相同，因此：沿一條滑移線上的變化與的變化呈比例，的變化（滑移線的曲率變化）愈大相應(yīng)的變化也愈大；如若某段滑移線為直線，則該直線段滑移線上的，值和應(yīng)力分量均為常量。兩條族被兩條族滑移線所切割的兩滑移線段轉(zhuǎn)角相等，同理兩條族被兩條族滑移線所切割的兩滑移線段轉(zhuǎn)角也相等（Henky第一定律）。若沿某一滑移線移動，在交叉點(diǎn)處的另一族滑移線的曲率半徑的變化（Henky第二定律）。第四十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日特征線方程組的差分解法差分方程組第四十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日提高差分解精度

依據(jù)問題定性作出較密的滑移線網(wǎng)格；逐點(diǎn)進(jìn)行一次差分計(jì)算后，再在前一次差分計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行逐次迭代計(jì)算，以進(jìn)行下一次迭代

差分計(jì)算看似繁瑣，但應(yīng)用計(jì)算機(jī)采取編程計(jì)算就極簡單而且快捷

分別代替第四十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日邊界已知值換算由換算成，

第四十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日土體單元極限平衡狀態(tài)

土體單元極限平衡狀態(tài)（推導(dǎo)）圖2.9邊界上應(yīng)力狀態(tài)摩爾圓第四十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日土體單元極限平衡狀態(tài)（推導(dǎo)）由圖可見（引用應(yīng)力）（引用應(yīng)力對法線的傾角）（平均法向引用應(yīng)力）（方向?qū)吔鐑A角的2倍）

第四十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日邊界已知值換算推導(dǎo)點(diǎn)和點(diǎn)對應(yīng)著兩種應(yīng)力狀態(tài)，即被動狀態(tài)和主動狀態(tài)。

在上式分別合成一個式子，有（）處，或按正弦定律

在處，

或按正弦定律

）

圖2.10主動與被動狀態(tài)判別因?yàn)榫€段長

第四十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日主動與被動狀態(tài)判別若邊界順著邊界荷載極限平衡狀態(tài)，則單元的側(cè)向應(yīng)力必小于法向應(yīng)力即，有，從而，這種情況恰與莫爾圓上的點(diǎn)相一致，就相當(dāng)于取式（2-24）中的K＝－1；的運(yùn)動方向下壓使土體單元處于按該式計(jì)算的值最小，稱主動狀態(tài)或最小應(yīng)力狀態(tài)。第四十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日主動與被動狀態(tài)判別若邊界逆著邊界荷載極限平衡狀態(tài)，則單元的側(cè)向應(yīng)力必大于法向應(yīng)力即，有，從而，這種情況恰與莫爾圓上的點(diǎn)相一致，就相當(dāng)于取式（2-24）中的K＝+1；的運(yùn)動方向下壓使土體單元處于按該式計(jì)算的值最大，稱被動狀態(tài)或最大應(yīng)力狀態(tài)。第四十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日邊界已知值換算由換算成或當(dāng)差分計(jì)算到未知邊界后，一般應(yīng)完成這種換算，以便于設(shè)計(jì)使用。換算可采用如下兩種方法之一進(jìn)行。方法1：利用式，反求，方法2：先由莫爾圓上直接求出然后求出再求求出第四十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日邊值問題第一種邊值問題（柯西問題）第二種邊值問題（古爾斯問題，黎曼問題）第五十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日邊值問題第三種邊值問題（混合問題）第四種邊值問題第五十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日地基極限承載力邊界條件已知條件有：地基土性參數(shù)；邊荷載；以及基底荷載之傾角（由上部結(jié)構(gòu)荷載水平與垂直分量確定）。目的是：求基底面極限承載力及其分布第五十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日地基極限承載力滑移線網(wǎng)格與節(jié)點(diǎn)第五十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日地基極限承載力分析邊界條件初繪滑移線網(wǎng)、節(jié)點(diǎn)編號計(jì)算表格（步驟），或編程分區(qū)解答（或輸入程序計(jì)算信息）極限荷載、實(shí)際荷載第五十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日分析邊界條件和

OB為未知邊界換算OA為已知邊界，OB為未知邊界（基底面）。分析應(yīng)力邊界的土體單元不難發(fā)現(xiàn)，未知邊界基底面OB將順著p下壓，BOD為主動區(qū)，根據(jù)前面的分析應(yīng)取K＝－1，將m＝0，代入式（2-24），取軸與基底面一致即，得

第五十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日分析邊界條件和

已知的邊界OA換算分析應(yīng)力邊界的土體單元不難發(fā)現(xiàn)，未知邊界OA有外移（隆起）的趨勢，AOC為被動區(qū)，因此應(yīng)取K＝+1，將m＝0，代入式（2-27），得

第五十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)編號第五十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日

地基極限承載力計(jì)算格式

第五十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日AOC區(qū)解答第五十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日COD區(qū)解答COD區(qū)為主動區(qū)與被動區(qū)之間的過渡區(qū)，其中O點(diǎn)是該區(qū)族滑移線的會交點(diǎn)，也可以將O點(diǎn)看著為族滑移線縮于一點(diǎn)。該點(diǎn)是奇點(diǎn)，發(fā)生了理論上的應(yīng)力間斷。第六十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日COD區(qū)解答第六十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日COD區(qū)解答第六十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日DOB區(qū)求解

第六十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日求基底OB面上的極限荷載和設(shè)計(jì)荷載

第六十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第六十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第六十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第六十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第六十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第六十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第七十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日飽和軟粘土地基極限承載力第七十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日土坡穩(wěn)定坡頂極限承載力第七十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日坡頂極限承載力第七十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日坡頂極限承載力第七十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日坡頂極限承載力第七十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線

第七十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線第七十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線第七十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線第七十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線第八十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限邊坡輪廓線第八十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日豎直坡的臨界高度

第八十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日豎直坡的臨界高度

第八十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答

第八十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答

第八十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答

第八十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答

第八十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答

第八十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日極限平衡理論的軸對稱解答第八十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日討論

在滑移線理論中，由于假定土體符合莫爾庫侖準(zhǔn)則，是理想彈塑性或剛塑性體，故不涉及具體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，所以滑移線理論與特征線方法是求解極限平衡問題時(shí)的解答。同時(shí)由于難以求得應(yīng)力平衡方程的解析解，基于應(yīng)力平衡方程是雙曲線型方程其幾何上的特征線就是物理上滑移線，從而求得極限平衡解答。因?yàn)樽罱K是用數(shù)值方法求解，故解答是近似解。

第九十頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日討論

對于非均勻土體（符合本方法的基本假定），滑移線理論與特征線方法可以近似應(yīng)用，但由于基本方程是假定均質(zhì)條件下推導(dǎo)的，應(yīng)用特征線求解時(shí)相應(yīng)區(qū)域的參數(shù)要隨之變化，界面處特征線將發(fā)生偏轉(zhuǎn)，因而只能說可以近似應(yīng)用。對于復(fù)雜應(yīng)力條件和復(fù)雜邊界條件等問題，用滑移線理論與特征線方法求解目前尚存在困難。

第九十一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日討論

當(dāng)前巖土材料的滑移線理論都采用經(jīng)典塑性理論中的關(guān)聯(lián)流動法則，由此得出應(yīng)力特征線與滑移線一致。而試驗(yàn)得知，巖土材料并不一定服從關(guān)聯(lián)流動法則，因而應(yīng)力特征線與滑移線可能不重合。廣義塑性力學(xué)的出現(xiàn)，從理論上證明了塑性勢面與莫爾庫侖屈服面之間成一定的角度，因而應(yīng)研究采用非關(guān)聯(lián)流動法則來研究滑移線（進(jìn)行中）。

滑移線理論與特征線方法用于求得某些問題的數(shù)值解是其重要的方面，并且尚應(yīng)繼續(xù)深入研究并擴(kuò)大應(yīng)用范圍?；凭€理論與特征線方法的另一個重要作用是，可以經(jīng)常用于對某些問題進(jìn)行定性分析和判斷，因而其基本概念有著廣泛應(yīng)用。

第九十二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日謝謝天命之謂性，率性之謂道，修道之謂教。

-中庸第九十三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第三章極限分析法河海大學(xué)巖土工程研究所盧廷浩巖土工程數(shù)值分析

與應(yīng)用第九十四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第一節(jié)概述

極限分析理論假定土體為彈性－理想塑性體或剛塑性體，強(qiáng)度包線為直線且服從正交流動規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)庫侖材料。當(dāng)作用于土體上的荷載達(dá)到某一數(shù)值并保持不變時(shí)，土體會發(fā)生“無限”塑性流動，則認(rèn)為土體處于極限狀態(tài)，所對應(yīng)的荷載稱為極限荷載。

極限分析理論就是應(yīng)用彈性－理想塑性體或剛塑性體的普遍定理－上限定理（求極限荷載的上限解）和下限定理（求極限荷載的下限解）求解極限荷載的一種分析方法，稱為極限分析法。第九十五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日第二節(jié)上、下限定理1、靜力容許的應(yīng)力場

設(shè)有物體V，其表面A，面力和體力已知。若在此物體上，設(shè)定一組應(yīng)力場，滿足下列條件，則稱為靜力容許應(yīng)力場。①在體積V內(nèi)滿足平衡方程，即②在邊界上滿足邊界條件，即③在體積V內(nèi)不違反屈服條件，即

由定義可知，物體處于極限狀態(tài)時(shí)，其真實(shí)的應(yīng)力場必定是靜力容許的應(yīng)力場；但靜力容許應(yīng)力場不一定是極限狀態(tài)時(shí)真實(shí)的應(yīng)力場。第九十六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上、下限定理2、機(jī)動容許的位移速率場

在物體V上，若設(shè)定一組位移速率場，滿足以下條件，為機(jī)動容許的位移速率場。①在體積V內(nèi)滿足幾何方程，即

則稱②在邊界Su上滿足位移邊界條件，或速度邊界條件，并使外力做正功。由上述定義可知，物體于極限狀態(tài)時(shí)，其真實(shí)的位移速率場必定是機(jī)動容許的位移速率場；但機(jī)動容許的位移速率場不一定是極限狀態(tài)時(shí)真實(shí)的位移速率場。第九十七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上、下限定理3、速度間斷面

速度間斷面(平面上是間斷線)是兩個速度不同區(qū)塊存在的過渡薄層，是速度場中從一個速度區(qū)過渡到另一個速度不同的區(qū)域的薄層的極限情況，一般是剛性區(qū)與剛性區(qū)或剛性區(qū)與變形區(qū)的邊界，如單剪情況速度間斷面的存在將產(chǎn)生能量耗散。設(shè)物體內(nèi)部存在若干個速度間斷面（i=1、2、3…..），將物體分成有限個子塊，每個子塊內(nèi)部的速度是連續(xù)的。第九十八頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上、下限定理4、虛功方程與虛功率方程

虛功原理表明：對于一個連續(xù)的變形體，任意一組靜力容許的應(yīng)力場和任意一組機(jī)動容許位移場，外力的虛功等于內(nèi)力的虛功。

同理虛功率原理可表示為：對于任意一組靜力容許應(yīng)力場和任意一組機(jī)動容許的位移速率場，外力的功率等于物體內(nèi)虛變形功率。

如果物體內(nèi)部存在速度間斷時(shí)，其虛功率方程可表示為：

以上幾個定理的證明可參考土力學(xué)有關(guān)書本，這里從略。根據(jù)虛功率方程可以證明極限分析中兩個重要的定理，即上下限定理。式中，S——速度間斷面；

——速度間斷面兩側(cè)切向速度的變化。第九十九頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上、下限定理5、下限定理：在所有與靜力容許的應(yīng)力場滿足相對應(yīng)的荷載中，極限荷載最大。（證明）第一百頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上、下限定理6、上限定理：

在所有的機(jī)動容許的塑性變形位移速率場相對應(yīng)的荷載中，外功功率等于物體內(nèi)能耗散率所對應(yīng)的極限荷載為最小。（證明）第一百零一頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日下限定理證明

證：設(shè)為真實(shí)的應(yīng)力場，對應(yīng)的表面力為Ti，為真實(shí)的位移速率場，由幾何方程求得真實(shí)應(yīng)變率為，真實(shí)速度場中可能存在速度間斷面SL，其上的切向速度躍度為[]；在Su上給定速度為，在ST上給定表面力為，給定的體力為Fi。

第一百零二頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日下限定理證明由虛功率方程得又設(shè)另一靜力容許的應(yīng)力場，對應(yīng)的表面力為，由虛功率方程得第一百零三頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日下限定理證明上述兩式相減得由Drucker公式得到≥0由于C≥

同時(shí)≥0，即剪應(yīng)力做正功率知≥0。第一百零四頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日剪應(yīng)力做正功率，因此可得≥0或者上式表明，在所有靜力許可的應(yīng)力場中，極限荷載的功率為最大?；蛘哒f與所有靜力許可的應(yīng)力場相平衡的荷載是極限荷載的下限。于是下限定理得到證明。第一百零五頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上限定理證明

上限定理：在所有的機(jī)動容許的塑性變形位移速率場相對應(yīng)的荷載中，極限荷載為最小。證：設(shè)為物體達(dá)到極限狀態(tài)的真實(shí)應(yīng)力場，其對應(yīng)的表面力為Ti，為真實(shí)位移速率場，由幾何方程求得的應(yīng)變率為，真實(shí)速度場中可能有速度間斷面SL，其上的速度切向躍值為[]；體力為Fi。第一百零六頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上限定理證明

另設(shè)一機(jī)動容許的位移速率場，對應(yīng)的應(yīng)變率為，應(yīng)變速度場可能有間斷面，其上的切向速度為。虛功率方程得由于≥0第一百零七頁，共一百二十七頁，2022年，8月28日上限定理證明又≤C，則有后兩式代入第一式，有顯然只有當(dāng)時(shí)，上式等號成立。上限定理得到證明。事實(shí)上，不妨設(shè)Fi,Ti就是真正的極限荷載，對應(yīng)的靜力許可應(yīng)力場滿足左邊是外功功率，右邊是能量耗散率，這就證明滿足外功功率＝能量耗散率塑性變形時(shí)的荷載最小。第一百零八頁