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山東省青島市膠南博文中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的定義域是()A.[﹣1,2) B.(﹣2,1) C.(﹣2,1] D.[﹣2,1)參考答案:D【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式,列出使解析式有意義的不等式組,求出解集即可.【解答】解:函數(shù),∴,解得﹣2≤x<1,∴f(x)的定義域是[﹣2,1).故選:D.2.方程的根的個(gè)數(shù)為(
)A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè)參考答案:C略3.已知數(shù)列中,,且數(shù)列是等差數(shù)列,則=A. B. C.5 D.參考答案:B略4.已知是偶函數(shù),且在上是增函數(shù),如果在上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D5.在△中,,,,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D略6.如圖A是單位圓與∠AOP=(0<<),,四邊形OAQP的面積為S,當(dāng)取得最大值時(shí)的值為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B略7.設(shè)集合A={1,2},則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是A.8
B.3
C.1
D.4
參考答案:D略8.若空間三條直線a、b、c滿足,則直線
(
)
A.一定平行
B.一定相交
C.一定是異面直線
D.一定垂直參考答案:D9.已知全集R,集合M={x|x>1},N={x||x|≤2},則(?RM)∩N等于()A.(﹣2,1] B.[﹣2,1) C.[﹣2,1] D.[1,2]參考答案:C【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【解答】解:∵全集R,集合M={x|x>1},N={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2,2],∴?UM={x|x≤1}=(﹣∞,1]則(?UM)∩N=[﹣2,1].故選:C10.函數(shù)的圖象是
參考答案:C,根據(jù)圖象之間的關(guān)系可知C正確。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.
6名同學(xué),選3人去參觀展覽,至少有一名女生入選的不同選法有16種,則這6名同學(xué)中女生人數(shù)為
參考答案:212.已知,,則
。參考答案:
13.已知數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,則的值為
.參考答案:因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,所以。是等比數(shù)列,所以,因?yàn)椋?,所以?4.設(shè)z1、z2是方程z2+2z+3=0的兩根,則|z1﹣z2|=
.參考答案:2【考點(diǎn)】A7:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算.【分析】求出z,即可求出|z1﹣z2|.【解答】解:由題意,z=﹣1±i,∴|z1﹣z2|=|2i|=2,故答案為2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與球模,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ).15.如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2,若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于.參考答案:【考點(diǎn)】定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用;幾何概型.【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用;概率與統(tǒng)計(jì).【分析】分別求出矩形和陰影部分的面積,利用幾何概型公式,解答.【解答】解:由已知,矩形的面積為4×(2﹣1)=4,陰影部分的面積為=(4x﹣)|=,由幾何概型公式可得此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于;故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積以及幾何概型的運(yùn)用;關(guān)鍵是求出陰影部分的面積,利用幾何概型公式解答.16.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x﹣2)=﹣f(x),且在[0,1]上是增函數(shù),則f(),f(﹣),f()的大小關(guān)系是.參考答案:<<【考點(diǎn)】3N:奇偶性與單調(diào)性的綜合.【分析】根據(jù)題意,分析可得f()=﹣f(﹣2)=﹣f(﹣)=f(),又由函數(shù)在[0,1]上是增函數(shù),結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得f(x)在[﹣1,0]上也是增函數(shù),則有f(﹣)<f(0)<f()<f()=f(),即可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,對(duì)于函數(shù)f(x),有f(x﹣2)=﹣f(x),即f(x)=﹣f(x﹣2),則有f()=﹣f(﹣2)=﹣f(﹣),又由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則有f(﹣x)=﹣f(x),f(﹣)=﹣f(),即﹣f(﹣)=f(),綜合有f()=f(),又由函數(shù)f(x)在[0,1]上是增函數(shù),則其在[﹣1,0]上也是增函數(shù),則有f(﹣)<f(0)<f()<f()=f(),即<<故答案為:<<.17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P為不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),則線段|OP|的最小值等于▲
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題共13分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值和最小值.參考答案:解:(Ⅰ)
.…………………4分
所以.……………………6分(Ⅱ)因?yàn)椋裕裕?0分當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是,當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值是.……略19.如圖1,在平面內(nèi),ABCD是的菱形,ADD``A1和CDD`C1都是正方形.將兩個(gè)正方形分別沿AD,CD折起,使D``與D`重合于點(diǎn)D1.設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)B且垂直于菱形ABCD所在的平面,點(diǎn)E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且與點(diǎn)D1位于平面ABCD同側(cè)(圖2).
(Ⅰ)設(shè)二面角E–AC–D1的大小為q,若£q£,求線段BE長(zhǎng)的取值范圍;(Ⅱ)在線段上存在點(diǎn),使平面平面,求與BE之間滿足的關(guān)系式,并證明:當(dāng)0<BE<a時(shí),恒有<1.
參考答案:(方法1)設(shè)菱形的中心為O,以O(shè)為原點(diǎn),對(duì)角線AC,BD所在直線分別為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖1.設(shè)BE=t(t>0).(Ⅰ)設(shè)平面的法向量為,則
3分設(shè)平面的法向量為,則
4分設(shè)二面角的大小為,則,
6分∵cosq?,
∴
,
解得£t£.
所以BE的取值范圍是[,].
8分
(Ⅱ)設(shè),則
由平面平面,得平面,,化簡(jiǎn)得:(t1a),即所求關(guān)系式:(BE1a).∴當(dāng)0<t<a時(shí),<1.
即:當(dāng)0<BE<a時(shí),恒有<1.
14分(方法2)(Ⅰ)如圖2,連接D1A,D1C,EA,EC,D1O,EO,∵D1A=D1C,所以,D1O⊥AC,同理,EO⊥AC,∴是二面角的平面角.設(shè)其為q.
3分(第20題–2)連接D1E,在△OD1E中,設(shè)BE=t(t>0)則有:OD1=,OE=,D1E=,∴.
6分∵cosq?,
∴
,
解得£t£.
所以BE的取值范圍是[,].所以當(dāng)條件滿足時(shí),£BE£.
8分(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)E在平面A1D1C1上方時(shí),連接A1C1,則A1C1∥AC,(第20題–3)連接EA1,EC1,設(shè)A1C1的中點(diǎn)為O1,則O1在平面BDD1內(nèi),過(guò)O1作O1P∥OE交D1E于點(diǎn)P,則平面平面.作平面BDD1如圖3.過(guò)D1作D1B1∥BD交于l點(diǎn)B1,設(shè)EO交D1B1于點(diǎn)Q.因?yàn)镺1P∥OE,所以==,由Rt△EB1Q∽R(shí)tEBO,得,解得QB1=,得=,
12分當(dāng)點(diǎn)E在平面A1D1C1下方時(shí),同理可得,上述結(jié)果仍然成立.
13分∴有=(BE1a),∴當(dāng)0<t<a時(shí),<1.
14分略20.如圖,四棱錐中,平面,與底面所成的角為,底面為直角梯形,,.(Ⅰ)求證:平面平面;(Ⅱ)在線段上是否存在點(diǎn),使與平面所成的角為?若存在,求出有的值;若不存在,說(shuō)明理由.參考答案:證明:(Ⅰ)連接,則,又平面,。平面,平面,平面平面。(Ⅱ)取中點(diǎn),連接則平面,連接,就是與平面所成的角。,,在中,,。不難求到另一個(gè)點(diǎn)的位置為,所以,線段上存在點(diǎn),使與平面所成的角為,此時(shí)或。
略21.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C1的普通方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若動(dòng)直線l分別與C1,C2交于點(diǎn)P、Q,求的取值范圍.參考答案:(1);(2)【分析】(1)根據(jù)曲線的參數(shù)方程消去參數(shù),即可得到曲線的普通方程;由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,可直接得出曲線的直角坐標(biāo)
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