山西省臨汾市辛南中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省臨汾市辛南中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.1參考答案：A【分析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選：A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.2.在中，已知M是BC中點(diǎn)，設(shè)則

A.

B.

C.

D.參考答案：【答案解析】A

解析：，故選A.【思路點(diǎn)撥】由向量加法的三角形法則得結(jié)論.3.“a=1＂是“直線ax+y+1=0與直線(a+2)x－3y－2＝0垂直”的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件參考答案：B

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．A2G3解析：由題意可得a×(a+2)-3=0，解之可得a=1或-3，所以“a=1＂是“直線ax+y+1=0與直線(a+2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要條件，故選B【思路點(diǎn)撥】由a×(a+2)-3=0可得直線垂直的充要條件為a=1或-3，進(jìn)而可得對(duì)結(jié)果作出判斷．4.下列有關(guān)命題的說法正確的是(

)A．命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x≠1”B．“m=1”是“直線x﹣my=0和直線x+my=0互相垂直”的充要條件C．命題“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命題“已知x，y為一個(gè)三角形的兩內(nèi)角，若x=y，則sinx=siny”的逆命題為真命題參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】對(duì)于A根據(jù)否命題的意義即可得出；對(duì)于B按照垂直的條件判斷；對(duì)于C按照含有一個(gè)量詞的命題的否定形式判斷；對(duì)于D按照正弦定理和大角對(duì)大邊原理判斷．【解答】解：對(duì)于A，根據(jù)否命題的意義可得：命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2≠1，則x≠1”，因此原命題不正確，違背否命題的形式；對(duì)于B，“m=1”是“直線x﹣my=0和直線x+my=0互相垂直”的充要條件不準(zhǔn)確，因?yàn)椤爸本€x﹣my=0和直線x+my=0互相垂直”的充要條件是m2=1，即m=±1．對(duì)于命題C：“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的寫法應(yīng)該是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原結(jié)論不正確對(duì)于D，根據(jù)正弦定理，∵x=y?sinx=siny”，所以逆命題為真命題是正確的．故答案選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四種命題之間的關(guān)系、命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．5.已知平面向量，滿足，，與的夾角為，以為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短的一條長(zhǎng)度為（

）A．2

B．

C.1

D．參考答案：B因?yàn)榕c的夾角為，所以此平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短的一條長(zhǎng)度為，而，故選B.

6.點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為()A.

B．8π

C.

D.參考答案：C7.已知某算法的流程圖如圖所示，若輸入的有序數(shù)對(duì)為，則輸出的有序數(shù)對(duì)為

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B8.不等式的解集是

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知函數(shù)給出下列兩個(gè)命題，p：存在，使得方程f（x）=0有實(shí)數(shù)解；q：當(dāng)時(shí)，f（f（1））=0，則下列命題為真命題的是（）

參考答案：B10.已知函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π，若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象關(guān)于x=軸對(duì)稱，則f（x）的解析式為（）A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由周期求出ω，根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、正弦函數(shù)的對(duì)稱性，求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．【解答】解：由題意知：=π，得ω=2，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得f（x）=2sin（2x++φ），因?yàn)椋脠D象關(guān)于x=軸對(duì)稱，所以，++φ=kπ+，k∈Z，所以，φ=kπ﹣，k∈Z，因?yàn)椋?＜φ＜π，所以，φ=．可得f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+）．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則＿＿＿＿＿＿＿.參考答案：12.我們把在線段上到兩端點(diǎn)距離之比為的點(diǎn)稱為黃金分割點(diǎn)。類似地，在解析幾何中，我們稱離心率為的橢圓為黃金橢圓，已知橢圓=1(a＞b＞0)的焦距為，則下列四個(gè)命題：

①a、b、c成等比數(shù)列是橢圓為黃金橢圓的充要條件；

②若橢圓是黃金橢圓且F2為右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，A1為左頂點(diǎn)，則③若橢圓是黃金橢圓，直線l過橢圓中心，與橢圓交于點(diǎn)E、F，P為橢圓上任意一點(diǎn)（除頂點(diǎn)外），且PE與PF的斜、存在，則為定值．

④若橢圓是黃金橢圓，P、Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，M為PQ中點(diǎn)，且PQ與OM的斜率與（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）存在，則為定值。⑤橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的內(nèi)切圓過橢圓的焦點(diǎn)是橢圓為黃金橢圓的充要條件。其中正確命題的序號(hào)為______．參考答案：①②③④⑤略13.雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則的焦距等于（

）

A.2

B.

C.

D.4參考答案：B14.已知實(shí)數(shù)滿足線性約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值是

．參考答案：15.過雙曲線的焦點(diǎn)且與一條漸近線垂直的直線與兩條漸近線相交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為

．參考答案：由焦點(diǎn)到漸近線距離等于得因此，再由角平分線性質(zhì)得，因此點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.16.已知點(diǎn)在曲線上，為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則的取值范圍是___________________參考答案：或，即切線的斜率為，所以，因?yàn)椋?，即，所以，即的取值范圍是?7.動(dòng)點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)，其中．記，，作函數(shù)，使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)的折線．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，判斷的大小關(guān)系；（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，．參考答案：（Ⅰ）解：，

………………2分；

………………4分（Ⅱ）解：，．

………………6分因?yàn)?，所以?/p>

………………8分（Ⅲ）證：由于的圖象是連接各點(diǎn)的折線，要證明，只需證明．

…………9分事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，．下面證明．法一：對(duì)任何，………………10分……11分

…………12分所以．…………13分法二：對(duì)任何，當(dāng)時(shí)，；………10分當(dāng)時(shí)，綜上，．

………13分略19.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=7，a2為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最大值．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=（9﹣an）?2n﹣1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由于當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最大值．可得a4＞0，a5＜0．解得，由于a2為整數(shù)，可得d為整數(shù)，即可得出．（2）bn=（9﹣an）?2n﹣1=n?2n．利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n選和公式即可得出．解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最大值．∴a4＞0，a5＜0．∴，解得，∵a2為整數(shù)，∴d為整數(shù)，∴d=﹣2．∴an=7+（n﹣1）×（﹣2）=9﹣2n．（2）bn=（9﹣an）?2n﹣1=2n?2n﹣1=n?2n．∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n?2n，2Tn=22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴Tn=（n﹣1）×2n+1+2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n選和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.

設(shè)函數(shù)表示導(dǎo)函數(shù)。

(I)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列{}滿足．證明：數(shù)列{}中不存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)；(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明不等式對(duì)一切正整數(shù)均成立，并比較與的大小.參考答案：解：(I)定義域?yàn)?當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立,2分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，,又，，由，，4分(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由已知，，，，是以2為公比的等比數(shù)列.,.6分?jǐn)?shù)列{}中假設(shè)存在三項(xiàng)，，成等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，又，，，，，等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立，假設(shè)不成立，數(shù)列{}中不存在成等差數(shù)列的三項(xiàng)9分(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要證，即證，兩邊取對(duì)數(shù)，即證10分設(shè)，則，，構(gòu)造函數(shù)，，，，即，，即.12分,

14分

略21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)，的最小值是，最大值是，求實(shí)數(shù)的值．參考答案：解：

……………2分

（1）

的單調(diào)減區(qū)間為：……6分（注：?jiǎn)握{(diào)減區(qū)間有等價(jià)形式同樣得分，沒有加扣2分。）

（2）

……10分

（注：最大值與最小值少一個(gè)扣一分。）

……12分略22.如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn).[來源%:*中#國(guó)教~育出@版網(wǎng)]（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.參考答案：解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，Ｅ是ＣＤ的中點(diǎn)，所以所以而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE.（Ⅱ）過點(diǎn)Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PA