山西省呂梁市鴉溝中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

山西省呂梁市鴉溝中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線C：的焦距為10，點(diǎn)P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程為（）A．

B．

C．

D．參考答案：A設(shè)雙曲線C：-=1的半焦距為，則.又C的漸近線為，點(diǎn)P（2,1）在C的漸近線上，，即.又，，C的方程為-=1.2.向面積為S的△ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P，求△PBC的面積小于的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值是．

A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：C5.已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為

（

）參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖.

G2【答案解析】C

解析：由三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖可知，此三棱錐的直觀圖如下，所以該三棱錐的正視圖可能為C.故選C.【思路點(diǎn)撥】由三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖可得此三棱錐的直觀圖，從而得此三棱錐的的正視圖的形狀.6.在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B7.已知雙曲線C1：﹣y2=1，雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C2一條漸近線上的某一點(diǎn)，且OM⊥MF2，若C1，C2的離心率相同，且S=16，則雙曲線C2的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A．4 B．8 C．16 D．32參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求得雙曲線C1的離心率，求得雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理和三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理解方程可得a=8，進(jìn)而得到雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．【解答】解：雙曲線C1：﹣y2=1的離心率為，設(shè)F2（c，0），雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，可得|F2M|===b，即有|OM|==a，由S=16，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16．故選：C．8.設(shè)三位數(shù)n=，若以a，b，c為三條邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰(含等邊)三角形，則這樣的三位數(shù)n有(

)

A．45個(gè)

B．81個(gè)

C．165個(gè)

D．216個(gè)參考答案：C解：⑴等邊三角形共9個(gè)；⑵等腰但不等邊三角形：取兩個(gè)不同數(shù)碼(設(shè)為a，b)，有36種取法，以小數(shù)為底時(shí)總能構(gòu)成等腰三角形，而以大數(shù)為底時(shí)，b<a<2b．a(chǎn)=9或8時(shí)，b=4，3，2，1，(8種)；a=7，6時(shí)，b=3，2，1(6種)；a=5，4時(shí)，b=2，1(4種)；a=3，2時(shí)，b=1(2種)，共有20種不能取的值．共有236－20=52種方法，而每取一組數(shù)，可有3種方法構(gòu)成三位數(shù)，故共有523=156個(gè)三位數(shù)即可取156+9=165種數(shù)．選C．9.由曲線y=x2+1、直線y=﹣x+3，x軸與y軸所圍成圖形的面積為（）A．3 B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】6G：定積分在求面積中的應(yīng)用．【分析】求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用定積分知識(shí)，即可求解．【解答】解：曲線y=x2+1、直線y=﹣x+3聯(lián)立可得x2+x﹣2=0，∴x=﹣2或1，∴由曲線y=x2+1、直線y=﹣x+3，x軸與y軸所圍成圖形的面積為+=+2=，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用定積分求曲邊梯形的面積，關(guān)鍵是利用定積分表示出面積．10.已知的圖象過點(diǎn)(2,1)，則函數(shù)

的值域?yàn)椤?/p>

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)，橢圓與直線交于點(diǎn)、，則的周長(zhǎng)為__________參考答案：812.若變量x，y滿足約束條件且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b，a－b的值是____________參考答案：解析：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，意在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．約束條件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)為頂點(diǎn)的四邊形區(qū)域，檢驗(yàn)四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可知，當(dāng)x＝4，y＝4時(shí)，a＝zmax＝5×4－4＝16；當(dāng)x＝8，y＝0時(shí)，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.13.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，且，

則=

；參考答案：14.在△ABC中，D為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，則cosB=．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；解三角形．【分析】令A(yù)C=AD=1，CD=m＞0，可求AB=3，BC=3m，利用余弦定理可得關(guān)于cosA的等式，解得m的值，利用余弦定理即可求cosB的值．【解答】解：令A(yù)C=AD=1，CD=m＞0，則：AB=3，BC=3m，則利用余弦定理可得：．∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．15.若直線y=kx+b是曲線y=ex+2的切線，也是曲線y=ex+1的切線，則b=．參考答案：4﹣2ln2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】設(shè)直線y=kx+b與y=ex+2和y=ex+1的切點(diǎn)分別為和，分別求出切點(diǎn)處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到b的值．【解答】解：設(shè)直線y=kx+b與y=ex+2和y=ex+1的切點(diǎn)分別為和，則切線分別為，，化簡(jiǎn)得：，，依題意有：，所以．故答案為：4﹣2ln2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求得導(dǎo)數(shù)和設(shè)出切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.已知函數(shù)，，則的最小值為_____________.參考答案：1略17.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.現(xiàn)有一元人民幣3張，五元人民幣2張，拾元人民幣4張，伍拾元人民幣1張，從中至少取一張（多取不限），共可取得多少種不同的幣值？參考答案：解析：注意到取2張五元人民幣與取1張拾元人民幣幣值相同，不能算為兩種不同取法。為避免重復(fù)，將4張拾元人民幣“換作”8張五元人民幣，1張五十元人民幣“換作”10張五元人民幣。于是所給問題等給于：有1元人民幣3張、五元人民幣20元，從中至少取一張（多取不限），可取得多少種不同幣值？

將取幣的過程看作二重選擇過程：從3張1元人民幣中有取0、1、2、3張等4種不同取法，從20張五元人民幣中有取0，1，2，…，20張等21種不同取法。于是由乘法原理知，有4×21=84種不同幣值。但是，這是須除去1元和五元都沒有的情形，因此，共可取得83種不同幣值。

點(diǎn)評(píng)：注意從中學(xué)習(xí)問題轉(zhuǎn)化的策略。19.（12分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=－7，S3=－15．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．參考答案：解：（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為–16．

20.已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M.(1)設(shè)集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為x，從集合Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為y，求復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的概率；(2)設(shè)x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點(diǎn)M落在不等式組：所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率．參考答案：解：(1)記“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”為事件A.∵組成復(fù)數(shù)z的所有情況共有12個(gè)：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每種情況出現(xiàn)的可能性相等，屬于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2個(gè)：i,2i，∴所求事件的概率為P(A)＝＝.(2)依條件可知，點(diǎn)M均勻地分布在平面區(qū)域內(nèi)，屬于幾何概型．該平面區(qū)域的圖形為右圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S＝3×4＝12.而所求事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?，其圖形如圖中的△OAD(陰影部分)．又直線x＋2y－3＝0與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A(3,0)、D，∴△OAD的面積為S1＝×3×＝.∴所求事件的概率為P＝＝＝.略21.（本題滿分14分）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為，,.將菱形沿對(duì)角線折起，使，得到三棱錐.(Ⅰ)若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證:平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得，并證明你的結(jié)論.參考答案：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn),所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn),所以.

（2分）因?yàn)槠矫?平面,所以平面.

（4分）（Ⅱ）由題意,,因?yàn)?所以,.（5分）又因?yàn)榱庑?所以,.建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示..所以（6分）設(shè)平面的法向量為,則有即：令,則,所以.（8分）因?yàn)?所以平面.平面的法向量與平行,所以平面的法向量為.（9分）,因?yàn)槎?/p>