高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù)【全國一等獎】

2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一（上）12月月考數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把正確的答案填寫在答題紙相應(yīng)的位置上.1．已知函數(shù)y=tanωx（ω＞0）的最小正周期為，則ω=．2．已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，則?AB=．3．求值：=．4．冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上遞減，則整數(shù)m=．5．若，則=．6．已知函數(shù)的定義域是，則實數(shù)a的值為．7．已知函數(shù)f（x）=2x+2x﹣6的零點為x0，不等式x﹣4＞x0的最小的整數(shù)解為k，則k=．8．點P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓x2+y2=1按順時針方向運動弧長到達Q點，則Q的坐標(biāo)為．9．已知cos（）=，則cos（）﹣sin2（α﹣）=．10．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足f（x+2）=﹣，當(dāng)1≤x＜2時，，則f（）=．11．若關(guān)于x的方程cos2x﹣sinx+a=0在[0，π]內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是．12．已知直線x=a（0＜a＜）與函數(shù)f（x）=sinx和函數(shù)g（x）=cosx的圖象分別交于M，N兩點，若MN=，則線段MN的中點縱坐標(biāo)為．13．已知函數(shù)f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是．14．已知f（x）=，若對任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.15．已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=．求下列各式的值：（1）sinα﹣cosα；（2）．16．函數(shù)f（x）=ln（x2﹣3x﹣4）的定義域為集合A，函數(shù)g（x）=3x﹣a（x≤2）的值域為集合B．（1）求集合A，B；（2）若集合A，B滿足B∩?RB=?，求實數(shù)a的取值范圍．17．蘆薈是一種經(jīng)濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場．某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進行市場調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q（單位：元/10kg）與上市時間t（單位：天）的數(shù)據(jù)情況如下表：t50110250Q150108150（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a?bt，Q=alogbt，并說明理由；（2）利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時的上市天數(shù)及最低種植成本．18．已知函數(shù)f（x）=log2（5﹣x）﹣log2（5+x）+1+m（1）若f（x）是奇函數(shù)，求實數(shù)m的值．（2）若m=0，則是否存在實數(shù)x，使得f（x）＞2？若存在，求出x的取值范圍；若不存在，請說明理由．19．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）=2x+x﹣m（m為常數(shù)）．（1）求常數(shù)m的值．（2）求f（x）的解析式．（3）若對于任意x∈[﹣3，﹣2]，都有f（k?4x）+f（1﹣2x+1）＞0成立，求實數(shù)k的取值范圍．20．已知函數(shù)f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并加以證明；（2）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若存在實數(shù)a∈[﹣2，2]，使得關(guān)于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一（上）12月月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把正確的答案填寫在答題紙相應(yīng)的位置上.1．已知函數(shù)y=tanωx（ω＞0）的最小正周期為，則ω=2．【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用周期公式表示出函數(shù)的周期，將已知周期代入即可求出ω的值．【解答】解：∵y=tanωx（ω＞0）的最小正周期為，∴=，即ω=2，故答案為：22．已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，則?AB={3}．【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，由A∩B=B分析可得B?A，結(jié)合集合A、B，分析可得a=2，即可得B={2，4}，由集合補集的定義，計算可得答案、【解答】解：根據(jù)題意，若A∩B=B，則必有B?A，而集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，分析可得a=2，即B={2，4}，則?AB={3}，故答案為：{3}．3．求值：=．【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式進行化簡求值即可．【解答】解：∵sin+cos（﹣）=sin（9π﹣）+cos（4π+）=﹣sin（π+）+cos=sin+cos=．故答案為：．4．冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上遞減，則整數(shù)m=2．【考點】冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用．【分析】由題意可得m2﹣4m為偶數(shù)，m2﹣4m＜0，解不等式可得．【解答】解：由題意可得冪函數(shù)為偶函數(shù)，故可得m2﹣4m為偶數(shù)，又函數(shù)在（0，+∞）上遞減，故m2﹣4m＜0，解之可得0＜m＜4，故可得m=2故答案為：25．若，則=．【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；弦切互化．【分析】分式的分子、分母同除cosα，利用已知條件求出分式的值．【解答】解：．故答案為：6．已知函數(shù)的定義域是，則實數(shù)a的值為．【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域．【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，得出x＞時，1﹣＞0；由此求出函數(shù)的自變量x＞log2a；令log2a=，即可求出a的值．【解答】解：∵函數(shù)的定義域是，∴當(dāng)x＞時，1﹣＞0；即＜1，∴a＜2x，∴x＞log2a；令log2a=，得a==；∴實數(shù)a的值為．故答案為：．7．已知函數(shù)f（x）=2x+2x﹣6的零點為x0，不等式x﹣4＞x0的最小的整數(shù)解為k，則k=6．【考點】指、對數(shù)不等式的解法．【分析】由函數(shù)零點判定定理求出x0的范圍，進一步得到滿足不等式x﹣4＞x0的最小的整數(shù)解k的值．【解答】解：函數(shù)f（x）=2x+2x﹣6為R上的單調(diào)增函數(shù)，又f（1）=﹣2＜0，f（2）=2＞0，∴函數(shù)f（x）=2x+2x﹣6的零點x0滿足1＜x0＜2，故滿足x0＜n的最小的整數(shù)n=2，即k﹣4=2，滿足不等式x﹣4＞x0的最小的整數(shù)解k=6．故答案為：6．8．點P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓x2+y2=1按順時針方向運動弧長到達Q點，則Q的坐標(biāo)為．【考點】任意角的概念．【分析】任意角的三角函數(shù)的定義，求出cos（）的值和sin（）的值，即得Q的坐標(biāo)．【解答】解：由題意可得Q的橫坐標(biāo)為cos（）=，Q的縱坐標(biāo)為sin（）=﹣sin=，故Q的坐標(biāo)為，故答案為：．9．已知cos（）=，則cos（）﹣sin2（α﹣）=．【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得出cos（）=﹣cos（﹣α），sin2（α﹣）=1﹣cos2（﹣α），然后將已知條件代入即可求出結(jié)果．【解答】解：cos（）=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣sin2（α﹣）=sin2[﹣（﹣α）]=1﹣cos2（﹣α）=1﹣（﹣）2=∴cos（）﹣sin2（α﹣）=﹣﹣=﹣．故答案為：﹣10．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并滿足f（x+2）=﹣，當(dāng)1≤x＜2時，，則f（）=1．【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】由f（x+2）=﹣求出函數(shù)的周期，由周期性、偶函數(shù)的性質(zhì)將f（）轉(zhuǎn)化為f（），代入已知的解析式由對數(shù)的運算性質(zhì)求值．【解答】解：由f（x+2）=﹣得，f（x+4）==f（x），∴函數(shù)f（x）的周期是4，∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)1≤x＜2時，，∴f（）=f（4+）=f（）=f（﹣4+）=f（﹣）=f（）===1，故答案為：1．11．若關(guān)于x的方程cos2x﹣sinx+a=0在[0，π]內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，1]．【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】由題意可得方程t2+t﹣a﹣1=0在[﹣1，1]上有解，函數(shù)f（t）=t2+t﹣a﹣1的對稱軸為t=﹣，故有f（0）?f（1）≤0，解此不等式組求得a的取值范圍．【解答】解：∵方程cos2x﹣sinx+a=0，即sin2x+sinx﹣a﹣1=0．由于x∈[0，π]，∴0≤sinx≤1．故方程t2+t﹣a﹣1=0在[0，1]上有解．又方程t2+t﹣a﹣1=0對應(yīng)的二次函數(shù)f（t）=t2+t﹣a﹣1的對稱軸為t=﹣，故有f（0）?f（1）≤0，即（a﹣1）（a+1）≤0．解得﹣1≤a≤1．故答案為：[﹣1，1]．12．已知直線x=a（0＜a＜）與函數(shù)f（x）=sinx和函數(shù)g（x）=cosx的圖象分別交于M，N兩點，若MN=，則線段MN的中點縱坐標(biāo)為．【考點】中點坐標(biāo)公式．【分析】先畫出圖象，由題意可得|sina﹣cosa|=，于是sin2a=．要求的中點是，將其平方即可得出．【解答】解：先畫出圖象，由題意可得|sina﹣cosa|=，兩邊平方得1﹣sin2a=，∴sin2a=．設(shè)線段MN的中點縱坐標(biāo)為b＞0，則b=，∴=，∴b=．故答案為．13．已知函數(shù)f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是（25，34）．【考點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的圖象．【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)f（a）=f（b）=f（c），不妨設(shè)a＜b＜c，求出a+b+c的范圍即可．【解答】解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，不妨設(shè)a＜b＜c，則：b+c=2×12=24，a∈（1，10）則a+b+c=24+a∈（25，34），故答案為：（25，34）．14．已知f（x）=，若對任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是m＞﹣．【考點】函數(shù)恒成立問題．【分析】討論當(dāng)m≥0時，不等式顯然成立；當(dāng)m＜0時，即有f（x+2m）＞f（），利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．【解答】解：f（x）=是R上的遞增函數(shù)由f（x+2m）+mf（x）＞0得（x+2m）|x+2m|+mx2＞0，x≥1，當(dāng)m≥0時，即有（x+2m）2+mx2＞0，在x≥1恒成立．當(dāng)m＜0時，即有f（x+2m）＞f（），∴x+2m＞，∴（1﹣）x+2m＞0在x≥1恒成立．∴1﹣＞0且1﹣+2m＞0，∴m＞﹣1且（4m+1））（m+1）＞0，∴m＞﹣．故答案為：m＞﹣．二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.15．已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=．求下列各式的值：（1）sinα﹣cosα；（2）．【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡等式求得sinα+cosα的值，然后平方整理可得2sinαcosα的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinα﹣cosα的值；（2）先用誘導(dǎo)公式整理后，進而展開，利用（1）中的結(jié)論求得答案．【解答】解：（1）由sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=，得sinα+cosα=．①將①式兩邊平方，得1+2sinαcosα=．∴2sinαcosα=﹣．又，∴sinα＞0，cosα＜0．∴sinα﹣cosα＞0．∴（sinα﹣cosα）2=（sinα+cosα）2﹣4sinαcosα==．∴sinα﹣cosα=；（2）=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=．16．函數(shù)f（x）=ln（x2﹣3x﹣4）的定義域為集合A，函數(shù)g（x）=3x﹣a（x≤2）的值域為集合B．（1）求集合A，B；（2）若集合A，B滿足B∩?RB=?，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】交、并、補集的混合運算；集合的表示法．【分析】（1）對數(shù)的真數(shù)＞0求解函數(shù)f（x）=lg（x2﹣3x﹣4）的定義域得到集合A，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域求解B即可；（2）根據(jù)B∩?RB=?，求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|（x﹣4）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或x＞4}=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）B={y|y=3x﹣a，x≤2}={y|﹣a＜y≤9﹣a}=（﹣a，9﹣a]，（2）∵B∩?RB=?，∴a∈R17．蘆薈是一種經(jīng)濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場．某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進行市場調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q（單位：元/10kg）與上市時間t（單位：天）的數(shù)據(jù)情況如下表：t50110250Q150108150（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a?bt，Q=alogbt，并說明理由；（2）利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時的上市天數(shù)及最低種植成本．【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型；函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)選擇合適的函數(shù)類型，利用待定系數(shù)法進行求解．（2）結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）由數(shù)據(jù)可知，刻畫蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常值函數(shù)，若用函數(shù)Q=at+b，Q=a?bt，Q=alogbt中的任意一個來反映時都應(yīng)有a≠0，且上述三個函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不符合，…所以應(yīng)選用二次函數(shù)Q=at2+bt+c進行描述．…將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入函數(shù)Q=at2+bt+c，可得：，解得a=，b=﹣，c=．…所以，刻畫蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系的函數(shù)為Q=t2﹣t+．…（2）當(dāng)t=﹣=150（天）時，…蘆薈種植成本最低為Q=×1502﹣×150+=100（元/10kg）．…18．已知函數(shù)f（x）=log2（5﹣x）﹣log2（5+x）+1+m（1）若f（x）是奇函數(shù)，求實數(shù)m的值．（2）若m=0，則是否存在實數(shù)x，使得f（x）＞2？若存在，求出x的取值范圍；若不存在，請說明理由．【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求出m的值即可；（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于x的不等式，解出即可．【解答】解．（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（﹣x）+f（x）=0對定義域中的任意x都成立，∴l(xiāng)og2（5+x）﹣log2（5﹣x）+log2（5﹣x）﹣log2（5+x）+2（1+m）=0，∴m=﹣1；（2）假設(shè)存在實數(shù)x，使得f（x）＞2，∴l(xiāng)og2（5﹣x）﹣log2（5+x）+1＞2，∴l(xiāng)og2（5﹣x）＞log2（5+x）+1，∴l(xiāng)og2（5﹣x）＞log2（5+x）+log22，∴l(xiāng)og2（5﹣x）＞log22（5+x），∴，∴存在實數(shù)，使得f（x）＞2．19．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）=2x+x﹣m（m為常數(shù)）．（1）求常數(shù)m的值．（2）求f（x）的解析式．（3）若對于任意x∈[﹣3，﹣2]，都有f（k?4x）+f（1﹣2x+1）＞0成立，求實數(shù)k的取值范圍．【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】（1）f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，從而有f（0）=0，進而可求出m=1；（2）根據(jù)（1）得到，x≥0時，f（x）=2x+x﹣1，根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可設(shè)x＜0，﹣x＞0，這樣便可求出x＜0時的解析式，從而便可得出f（x）的解析式；（3）容易判斷x≥0時，f（x）為增函數(shù)，進而得出x＜0時，f（x）為增函數(shù)，而f（0）=0，從而可得出f（x）在R上單調(diào)遞增，這樣便可由f（k?4x）+f（1﹣2x+1）＞0得出，可設(shè)，化簡得到，而配方即可求出該函數(shù)在[﹣4，﹣2]上的最大值，從而得出k的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，且定義域為R；∴f（0）=0；∵當(dāng)x≥0時，f（x）=2x+x﹣m（m為常數(shù)）；∴f（0）=1﹣m，∴1﹣m=0；∴m=1；（2）由（1）知，m=1；∴當(dāng)x≥0時，f（x）=2x+x﹣1；設(shè)x＜0，則﹣x＞0，且f（x）為奇函數(shù)，所以：f（﹣x）=2﹣x﹣x﹣1=﹣f（x）；∴f（x）=﹣2﹣x+x+1；∴；（3）因為當(dāng)x變大時，2x變大，x﹣1變大，所以2x+x﹣1的值也變大；所以f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)且左端點為原點；因為，f（x）是奇函數(shù)，且f（0）=0；所以f（x）在（﹣∞，0）上也是增函數(shù)，且右端點是原點；所以f（x）在R上是增函數(shù)；∵f（x）是奇函數(shù)；∴f（k?4x）+f（1﹣2x+1）＞0等價于f（k?4x）＞﹣f（1﹣2x+1），等價于f（k?4x）＞f（﹣1+2x+1）；∵f（x）在R上是增函數(shù)；∴f（k?4x）＞f（﹣1+2x+1）等價于k?4x＞﹣1+2x+1；∵4x＞0∴k?4x＞﹣1+2x+1等價于；∴f（k?4x）+f（1﹣2x+1）＞0對x∈[﹣3，﹣2]恒成立等價于；設(shè)y=；∴=；x∈[﹣3，﹣2]，∴；∴時，y取最大值﹣8；∴k＞﹣8；即實數(shù)k的取值范圍為（﹣8，+∞）．20．已知函數(shù)f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并加以證明；（2）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若存在實數(shù)a∈[﹣2，2]，使得關(guān)于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．【考點】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】（1）若a=0，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求實數(shù)a的取值范圍；（3）根據(jù)方程有三個不同的實數(shù)根，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答