最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的應(yīng)用

最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的應(yīng)用例1：用一個(gè)數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？

分析

∵

要求的數(shù)去除30、60、75都能整除，

∴

要求的數(shù)是30、60、75的公因數(shù)。

又∵

要求符合條件的最大的數(shù)，

∴

就是求30、60、75的最大公因數(shù)。

解：（30，60，75）＝15

所以，這個(gè)數(shù)最大是15。例2：一個(gè)數(shù)用3、4、5除都能整除，這個(gè)數(shù)最小是多少？

分析

由題意可知，要求求的數(shù)是3、4、5的公倍數(shù)，且是最小公倍數(shù)。

解：∵

[3，4，5]

＝60，

∴

用3、4、5除都能整除的最小的數(shù)是60。例3：有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米。現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？

分析

∵

要截成相等的小段，且無剩余，

∴

每段長度必是120、180、300的公因數(shù)；

又∵

每段要盡可能長，

∴

要求的每段長度就是120、180、300的最大公因數(shù)。

解：∵

（120，180，300）＝60，

∴

每小段最長60厘米。120÷60＋180÷60＋300÷60=2＋3＋5＝10（段）

答：每段最長60厘米，一共可以截成10段。

例4.兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個(gè)數(shù)是28，另一個(gè)數(shù)是多少？利用“兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積”）

252×4÷28=36橫著看，每行（）個(gè)，共有（）個(gè)。每份數(shù)是（）。豎著看，每列（）個(gè)，有（）列，共有（）個(gè)。每份數(shù)是（）。12是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，是3和4的公倍數(shù)。例1.明明用長12厘米，寬8厘米的長方形木條拼成正方形，正方形的邊長至少是多少？至少要用這樣的木條多少塊？已知每份數(shù)，求總數(shù)，應(yīng)用公倍數(shù)的知識(shí)。用每塊長12厘米，寬8厘米，要把它們拼成一個(gè)正方形，正方形的邊長既是12的倍數(shù)也是8的倍數(shù)，要拼成最小的正方形，就是邊長是12和8的最小公倍數(shù)，求出邊長看每邊有幾個(gè)長，幾個(gè)寬，就得出一共幾塊這樣的長方形木條．

解：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60…，

8的倍數(shù)有：8，16，24，32，40，48，56…，

12和8的最小公倍數(shù)是24，即拼成的最小的正方形的邊長是24厘米，

24÷12=2（塊），24÷8=3（塊），

需要塊數(shù)：2×3=6（塊）；舉一反三明明用一些長6分米、寬4分米的長方形紙板拼成了一個(gè)正方形，正方形的邊長至少是多少？要用多少塊小長方形紙板？2、把一張長18厘米、寬12厘米的長方形剪成邊長是整厘米數(shù)且同樣大小的正方形，小正方形的邊長最大是多少厘米？可以剪多少個(gè)？已知總數(shù)、求每份數(shù)，應(yīng)用最大公因數(shù)的知識(shí)。解：小正方形的邊長最大值是18、12的最大公約數(shù)，

18=2×3×3，12=2×2×3

所以18、12的最大公約數(shù)是：2×3=6，

即小正方形的邊長最大是6厘米；

（18×12）÷（6×6）或（18÷6）×（12÷6）=216÷36=6（個(gè)）=3×2=6（個(gè)）

答：小正方形的邊長最大是6厘米，可以剪6個(gè)．

舉一反三貝貝用一塊長6分米、寬4分米的長方形紙板裁成若干個(gè)邊長是整分米數(shù)的小正方形，小正方形的邊長最大是多少？可以裁成多少塊？3、有一些長15厘米、寬12厘米、高10厘米的長方體積木，用它們拼一個(gè)大正方體，正方體的棱長最小是多少？至少要用多少塊積木？〖15、12、10〗=6060求的是什么？（60×60×60）÷（15×12×10）=120塊將長25分米，寬20分米，高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的立方體，不能有剩余，每個(gè)立方體的體積是多少？一共可鋸多少塊？25、20、15的最大公約數(shù)是：5

所以立方體的最大邊長是5分米,體積是：5*5*5=125立方分米

共可以鋸：（25*20*15）/125=60個(gè)

4、五1班上體育課，站成長方形隊(duì)伍，排成3行、5行、6行都可以，上體育課的至少有多少人？已知份數(shù)，求總數(shù)，應(yīng)用公倍數(shù)的知識(shí)。5、五1班上體育課，站成長方形隊(duì)伍，排成3行、5行、6行都少1人，上體育課的至少有多少人？〖3、5、6〗=3030－1=29（人）6、暑假期間，貝貝和明明去敬老院照顧老人。7月7日她們都去了敬老院，并約定以后貝貝每隔2天去一次，明明每隔3天去一次。（1）兩人下一次在敬老院相遇是幾月幾日？〖2、3〗=67＋6=13