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山西省大同市第第三中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.我國(guó)南北朝時(shí)代的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理(組暅原理):“冪勢(shì)既同,則積不容異”.“勢(shì)”即是高,“冪”是面積.意思是:如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等,類比祖暅原理,如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,圖1是一個(gè)形狀不規(guī)則的封閉圖形,圖2是一個(gè)上底長(zhǎng)為1、下底長(zhǎng)為2的梯形,且當(dāng)實(shí)數(shù)t取[0,3]上的任意值時(shí),直線y=t被圖1和圖2所截得的兩線段長(zhǎng)總相等,則圖1的面積為()A.4 B. C.5 D.參考答案:B【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理.【分析】根據(jù)題意,由祖暅原理,分析可得圖1的面積等于圖2梯形的面積,計(jì)算梯形的面積即可得出結(jié)論.【解答】解:根據(jù)題意,由祖暅原理,分析可得圖1的面積等于圖2梯形的面積,又由圖2是一個(gè)上底長(zhǎng)為1、下底長(zhǎng)為2的梯形,其面積S==;故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查演繹推理的運(yùn)用,關(guān)鍵是理解題目中祖暅原理的敘述.2.已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列滿足,數(shù)列是等比數(shù)列,且,則等于A.1
B.2
C.4
D.8參考答案:C3.方程的解所在區(qū)間為(
)A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)參考答案:C4.函數(shù)(其中)的圖象如圖所示,為了得到的圖象,只需將的圖象A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
參考答案:C5.關(guān)于方程,給出下列四個(gè)命題:①該方程沒(méi)有小于的實(shí)數(shù)解;②該方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解;③該方程在內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;④若是方程的實(shí)數(shù)根,則其中所有正確命題的個(gè)數(shù)是A.1
B.2
C.3
D.4參考答案:C6.函數(shù)f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的圖象大致為()參考答案:C7.已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,,對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有,則的最小值為(
)A.2
B.
C.3
D.參考答案:A8.已知:Sinθ=
,cosθ=
(<θ<π),則tan=A.
B.5
C.
D.參考答案:答案:B9.由直線所圍成的封閉圖形的面積為(
)
A.
B.1
C.
D.參考答案:C略10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,則是(
)A、 B、 C、 D、
參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)n為正整數(shù),,計(jì)算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,觀察上述結(jié)果,可推測(cè)一般的結(jié)論為__________.參考答案:f12.復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)的虛部是
▲
參考答案:略13.的展開式的第3項(xiàng)的系數(shù)為
,展開式中的系數(shù)為
.參考答案:21,-35的通項(xiàng)為,要得到展開式的第項(xiàng)的系數(shù),令,令的系數(shù)為,故答案為21,-35.
14.已知的方差是3,則的標(biāo)準(zhǔn)差為
▲
.參考答案:設(shè)的方差為,則的方差為4=3,則標(biāo)準(zhǔn)差=.15.已知集合M={1,2,3,4,5},N={2,4,6,8,10},則M∩N=
▲
參考答案:略16.有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條,若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條,使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架,則a的取值范圍是______________參考答案:略17.若為不等式組表示的平面區(qū)域,則的面積為
;當(dāng)?shù)闹祻倪B續(xù)變化到時(shí),動(dòng)直線掃過(guò)的中的那部分區(qū)域的面積為
.參考答案:;略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)在[1,2]上的單調(diào)性;(2)令函數(shù),e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)m,判斷m與e的大小,并說(shuō)明理由.參考答案:(1)由已知,且①當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),則函數(shù)在上單調(diào)遞增…………1分②當(dāng)時(shí),即或時(shí),有兩個(gè)根,,因?yàn)椋?°當(dāng)時(shí),令,解得當(dāng)或時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增…3分2°當(dāng)時(shí),令,,解得當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;…5分3°當(dāng)時(shí),令,解得當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減;……6分(2)函數(shù)則則,所以在上單調(diào)增當(dāng),所以所以在上有唯一零點(diǎn)當(dāng),所以為的最小值由已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則所以則…………………9分則,得令,所以則,所以所以在單調(diào)遞減,因?yàn)樗栽谏嫌幸粋€(gè)零點(diǎn),在無(wú)零點(diǎn)所以…………………12分19.如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,∠BAD=,AB=2,CD=3,M為PC上一點(diǎn),PM=2MC.(Ⅰ)證明:BM∥平面PAD;(Ⅱ)若AD=2,PD=3,求二面角D﹣MB﹣C的正弦值.參考答案:【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定.【專題】轉(zhuǎn)化思想;向量法;空間位置關(guān)系與距離;空間角.【分析】(Ⅰ)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明BM∥平面PAD;(Ⅱ)若AD=2,PD=3,建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角D﹣MB﹣C的正弦值【解答】證明:(1)在DC上取點(diǎn)E,使DE=2,則DE∥AB,DE=AB,則四邊形ABED是平行四邊形,則EB∥AD,∵,∴PD∥ME,則平面PAD∥平面MBE,∵BM?平面MBE,BM?平面PAD,∴BM∥平面PAD(2)△ABD是正三角形,建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系如圖:則B(,1,0),P(0,0,3),C(0,3,0),M(0,2,1),=(,1,0),=(0,2,1),設(shè)平面DBM的法向量為=(x,y,z),則由?=x+y=0,?=2y+z=0,得,令x=1,則y=﹣,z=2則=(1,﹣,2),設(shè)平面MBC的法向量為=(x,y,z),=(﹣,2,0),=(0,1,﹣1),則?=﹣x+2y=0,?=y﹣z=0,令x=2,則y=,z=,即=(2,,),則cos<,>===,則二面角D﹣MB﹣C的正弦值sinα==.即平面ACD與平面BCD所成的銳二面角的余弦值是.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷以及二面角的求解,建立坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法是解二面角的常用方法.20.(本小題滿分13分)已知函數(shù)的圖象與直線y=2的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為
(I)求函數(shù)的單凋遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是,求角B的大?。畢⒖即鸢福?Ⅱ)由(Ⅰ)知,在中,因?yàn)樗?7分所以因?yàn)?,所以?9分因?yàn)椋鶕?jù)據(jù)正弦定理,有, 10分所以,所以, 11分因?yàn)?,所以,所以?12分所以. 13分21.在立角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若曲線上一點(diǎn)的極坐標(biāo)為,且過(guò)點(diǎn),求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),與的交點(diǎn)為,求的最大值.參考答案:(1)把代入曲線可得 化為直角坐標(biāo)為,又過(guò)點(diǎn),得直線的普通方程為;可化為. 由可得,即曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得,,化簡(jiǎn)得,①可得,故與同號(hào),所以時(shí),有最大值.此時(shí)方程①的,故有最大值. 22.(本題滿分13分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,數(shù)列滿足,且.(Ⅰ)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式,并求數(shù)列的前項(xiàng)的和;(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)的和.參考答案:解:(Ⅰ)當(dāng),;
…………1分當(dāng)時(shí),,∴,
……………2分
∴是等比數(shù)列,公比為2,首項(xiàng),∴
………3分
由,得是等差數(shù)列,公差為2.
……4分又首項(xiàng),∴
………………5分∴∴
①①×2得
②…6分①—②得:………7分
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