山西省忻州市五臺(tái)縣劉家莊中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

山西省忻州市五臺(tái)縣劉家莊中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】通過(guò)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出大小關(guān)系．詳解】解：∵，，，又∵且對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，S3=6，公差d=3，則a4=A．8

B．9 C．’11 D．12參考答案：A3.圓錐平行于底面的截面面積是底面積的一半，則此截面分圓錐的高為上、下兩段的比為（

）A．1:(-1)

B．1:2

C．1:

D．1:4參考答案：A略4.已知集合，，則中所含元素的個(gè)數(shù)為(

)

A．2 B．3 C．4 D．6參考答案：B略5.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的兩條漸近線分別為l1，l2，右焦點(diǎn)為F，以O(shè)F為直徑的圓交l1于異于原點(diǎn)O的點(diǎn)A，若點(diǎn)B在l2上，且，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線的方程和圓的方程，聯(lián)立方程求出A，B的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B在漸近線y=﹣x上，建立方程關(guān)系求得A的坐標(biāo)，設(shè)B（m，n），運(yùn)用向量的坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合B在漸近線上，可得a，c的關(guān)系，再由a=1，即可得到c，b，進(jìn)而得到所求雙曲線的方程．【解答】解：雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程l1，y=x，l2，y=﹣x，F(xiàn)（c，0），圓的方程為（x﹣）2+y2=，將y=x代入圓的方程，得（x﹣）2+（x）2=，即x2=cx，則x=0或x=，當(dāng)x=，y═?=，即A（，），設(shè)B（m，n），則n=﹣?m，則=（﹣m，﹣n），=（c﹣，﹣），∵，∴（﹣m，﹣n）=（c﹣，﹣），則﹣m=2（c﹣），﹣n=2?（﹣），即m=﹣2c，n=，即=﹣?（﹣2c）=﹣+，即=，則c2=3a2，由雙曲線可得a=1，c=，b=n==．則雙曲線的方程為x2﹣=1．故選：B．6.已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A．(－∞,1)

B．(1,+∞)

C.(1,2)

D．(1,4)參考答案：A由題意易知：為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增,∴，即∴∴∴不等式的解集為故選：A

7.已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有成立，且，設(shè)，則三者的大小關(guān)系是------------------------------------------------（★）A． B． C． D．參考答案：C8.如果執(zhí)行下邊的程序框圖，輸入x＝－12，那么其輸出的結(jié)果是()A．9

B．3C．

D．參考答案：C9.已知復(fù)數(shù)z是一元二次方程的一個(gè)根，則的值為（

）A.1 B. C.0 D.2參考答案：B由題意可得：或，則：的值為.本題選擇B選項(xiàng).10.若，則該數(shù)列的前2011項(xiàng)的乘積

(

)A．3．

B．-6．

C．．

D．．

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，且則取得最大值時(shí)線段的長(zhǎng)度是

▲

.參考答案：12.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)滿足，當(dāng)均為整數(shù)時(shí)稱點(diǎn)為整點(diǎn)，則所有整點(diǎn)中滿足為奇數(shù)的點(diǎn)的概率為

．參考答案：列舉得基本事件數(shù)有個(gè)，符合條件的基本事件數(shù)有個(gè)，故所求概率為。

13.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BM中點(diǎn)，Q在線段CA1上，且A1Q=3QC．則異面直線PQ與AC所成角的正弦值

．參考答案：考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．專題：空間角．分析：以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PQ與AC所成角的正弦值．解答：解：以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），設(shè)異面直線PQ與AC所成角為θ，cosθ=｜c(diǎn)os＜＞｜=｜｜=，∴sinθ==．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線PQ與AC所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．14.(幾何證明選講選做題)如圖4所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，過(guò)A作的垂線AD，垂足為D，則∠DAC=

．參考答案：略15.不等式+kx+1≥0對(duì)于x∈[﹣1，1]恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：[﹣1，1]【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：不等式+kx+1≥0對(duì)于x∈[﹣1，1]恒成立，等價(jià)為+1≥﹣kx對(duì)于x∈[﹣1，1]恒成立，設(shè)y=+1（y≥1），則等價(jià)為x2+（y﹣1）2=1對(duì)應(yīng)的軌跡為以（0，1）為圓心，半徑為1的上半圓，則A（1，1），B（﹣1，1），若+1≥﹣kx對(duì)于x∈[﹣1，1]恒成立，則等價(jià)為A，B在直線y=﹣kx的上方或在直線上即可，即A（1，1），B（﹣1，1），在不等式y(tǒng)≥﹣kx對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則滿足，即，解得﹣1≤k≤1，故答案為：[﹣1，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．16.圓心在直線上且與直線且與點(diǎn)的圓的方程為

.參考答案：17.已知，，若向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則點(diǎn)落入?yún)^(qū)域的概率為________________．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（2017?長(zhǎng)沙模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中點(diǎn)．（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點(diǎn)M在線段PC上且滿足PC=3PM，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，從而AD⊥平面PBQ，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．【解答】證明：（1）∵在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中點(diǎn)．PA=PD，∴BD=AD=AB，PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．解：（2）∵平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點(diǎn)M在線段PC上且滿足PC=3PM，∴以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，Q（0，0，0），B（0，，0），P（0，0，），C（﹣2，，0），M（﹣，，），=（0，，0），=（﹣，，），設(shè)平面BQM的法向量=（x，y，z），則，取z=1，得=（），平面BQC的法向量=（0，0，1），設(shè)二面角M﹣BQ﹣C的平面角為θ，則cosθ==，θ=60°，∴二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列（I）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：20.已知離心率為的雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，雙曲線C的右支上存在一點(diǎn)A，使且的面積為1。 （1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線與雙曲線C相交于E、F兩點(diǎn)（E、F不是左右頂點(diǎn)），且以EF為直徑的圓過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)D，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。參考答案：略21.（12分）已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R（1）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求函數(shù)h（x）的定義域，求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，從而討論判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而化存在性問(wèn)題為最值問(wèn)題，從而解得．【解答】解：（1）函數(shù)h（x）=x﹣alnx+的定義域?yàn)椋?，+∞），h′（x）=1﹣﹣=，①當(dāng)1+a≤0，即a≤﹣1時(shí)，h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；②當(dāng)1+a＞0，即a＞﹣1時(shí)，x∈（0，1+a）時(shí)，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）時(shí)，h′（x）＞0；故h（x）在（0，1+a）上是減函數(shù)，在（1+a，+∞）上是增函數(shù)；（2）由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]，①當(dāng)a≤﹣1時(shí)，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；②當(dāng)﹣1＜a≤0時(shí)，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；③當(dāng)0＜a≤e﹣1時(shí)，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，無(wú)解；④當(dāng)e﹣1＜a時(shí)，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化為h（e）=e﹣a+＜0，解得，a＞；綜上所述，a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性問(wèn)題的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于難題．22.