山西省忻州市原平立達(dá)中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

山西省忻州市原平立達(dá)中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.

（

）

A．

B．

C．

D． 參考答案：C略2.若且，則的終邊在(

)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：C3.已知平面向量，，且，則的值是（

）A．1

B．2

C.3

D．4參考答案：B因?yàn)槠矫嫦蛄繚M足，且，則有，故選B.

4.已知數(shù)列滿足，則=（

）

A、

B、0

C、

D、參考答案：A略5.7在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（

）A．直角三角形

B．等腰直角三角形C．等邊三角形

D．等腰三角形

參考答案：D略6.設(shè)m是直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.若，則

B.若，則C.若，則

D.若，則參考答案：B在中，，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；在中，，則由面面垂直的判定定理得，故正確；在中，，則與相交，平行或，故錯(cuò)誤；在中，，則或，故錯(cuò)誤，故選B.

7.已知向量=（3，2），=（x，4）且∥，則x的值是(

)A．﹣6B．6C．D．﹣參考答案：B考點(diǎn)：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．專題：計(jì)算題．分析：由向量平行的條件可得2x﹣3×4=0，解之即可．解答： 解：因?yàn)?（3，2），=（x，4）且∥，所以2x﹣3×4=0，解之可得x=6故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量共線的坐標(biāo)表示，屬基礎(chǔ)題．8.（5分）f（x）=，若f（a2﹣4a）+f（3）＞4，則a的取值范圍是（） A． （1，3） B． （0，2） C． （﹣∞，0）∪（2，+∞） D． （﹣∞，1）∪（3，+∞）參考答案：D考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析： 結(jié)合已知中f（x）=，可將不等式f（a2﹣4a）+f（3）＞4化為a2﹣4a＞﹣3，解得a的取值范圍．解答： 解：∵f（x）=，∴f（3）=17，若f（a2﹣4a）+f（3）＞4，則f（a2﹣4a）＞﹣13…①，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2+2x+2為增函數(shù)，此時(shí)f（x）≥2恒成立，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=﹣x2+2x+2為增函數(shù)，令﹣x2+2x+2=﹣13，解得x=﹣3，或x=5（舍去），由①得：a2﹣4a＞﹣3，即a2﹣4a+3＞0，解得：a∈（﹣∞，1）∪（3，+∞），故選：D點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解不等式，其中將不等式f（a2﹣4a）+f（3）＞4化為a2﹣4a＞﹣3，是解答的關(guān)鍵．9.當(dāng)點(diǎn)P在圓上變動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)Q(3,0)相連，線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是A. B.C. D.參考答案：B【分析】設(shè)，，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求出，代入圓方程中，可以求出中點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，因?yàn)镸是線段PQ中點(diǎn)，所以有，點(diǎn)P在圓上，所以有，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了求線段中點(diǎn)的軌跡方程，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、代入思想.10.滿足{x|x2－3x＋2＝0}M{x∈N|0<x<6}的集合M的個(gè)數(shù)為(

)

A、2

B、4

C、6

D、8參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.8251與6105的最大公約數(shù)是

。

參考答案：37略12.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則

。參考答案：49

略13.設(shè)定義在R上的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則_____________.參考答案：200略14.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東30°的方向，兩船相距a海里，乙船正在向東勻速行駛，經(jīng)計(jì)算得知當(dāng)甲船以北偏東75°方向前進(jìn)，可追上乙船，則甲船速度是乙船速度的________倍.參考答案：【分析】先設(shè)出追上時(shí)，乙船走了海里，甲船走了海里，由正弦定理解三角形即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)追上時(shí)，乙船走了海里，甲船走了海里，根據(jù)正弦定理，，解得，故甲船速度是乙船速度的倍.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，在解三角形中，正余弦定理是最常用到的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型.15.等腰的頂角，，以為圓心，1為半徑作圓，為該圓的一條直徑，則的最大值為

．參考答案：16.已知角為鈍角,若角的終邊與角的終邊重合,則角=

.參考答案：17.函數(shù)f（x）=log2（1﹣x）的定義域?yàn)椋畢⒖即鸢福簕x|x＜1}【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．【專題】計(jì)算題．【分析】要使函數(shù)f（x）=log2（1﹣x）有意義，只需對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，建立不等式解之即可，注意定義域的表示形式．【解答】解：要使函數(shù)f（x）=log2（1﹣x）有意義則1﹣x＞0即x＜1∴函數(shù)f（x）=log2（1﹣x）的定義域?yàn)閧x|x＜1}故答案為：{x|x＜1}【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，以及一元一次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離是，若將y=f（x）的圖象向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)y的最小值φ（m）．參考答案：【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】分類討論；換元法；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）先求出ω=2，由所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，可求得φ的值，從而確定f（x）的解析式；從而求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．（2）利用換元法，將函數(shù)最化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行討論即可．【解答】解：（1）由題意函數(shù)f（x）的圖象兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離是，可得函數(shù)的周期為π，即=π，ω=2，故函數(shù)為f（x）=sin（2x+φ）．將函數(shù)f（x）圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ），∵函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．∴﹣+φ=kπ，φ=kπ+，k∈Z．不妨令k=0，則φ取值為．故有f（x）=sin（ωx+φ）=sin（2x+）．∵函數(shù)y=sin（2x+），∴令2kπ﹣≤2x+≤+2kπ

k∈Z，即kπ﹣≤x≤+kπ（k∈Z），即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ﹣，+kπ]，k∈Z．（2）∵x∈[0，]，∴2x∈[0，π]，0≤sin2x≤1，由（1）得g（x）=sin2x，且，設(shè)t=g（x），則0≤t≤1，則函數(shù)等價(jià)為y=3t2+mt+2，0≤t≤1，對(duì)稱軸為t=﹣，若0＜﹣＜1，得﹣6＜m＜0，則當(dāng)t=﹣時(shí)，y取最小值φ（m）=2﹣，若﹣≤0，得m≥0，則當(dāng)t=0時(shí)，y取最小值φ（m）=2，若﹣≥1，得m≤﹣6，則當(dāng)t=1時(shí)，y取最小值φ（m）=5+m，即φ（m）=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．19.已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，，要使函數(shù)有意義需：，即，解得：或，所以函數(shù)定義域?yàn)榛?，設(shè)函數(shù)，函數(shù)開口向上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，結(jié)論是：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。（2）由題意可知：且，設(shè)，函數(shù)對(duì)稱軸為：，函數(shù)開口向上，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉殛P(guān)于變量的遞增函數(shù)，所以要使函數(shù)在上是增函數(shù)，需要：且在上恒成立，由可得：，由在上恒成立可得：，即時(shí)在上恒成立，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉殛P(guān)于變量的遞減函數(shù)，所以要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，需要且在上恒成立，由可得：，由在上恒成立可得：即時(shí)在上恒成立，不存在綜上所述，結(jié)論是：20.某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？參考答案：（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為：=12，所以這時(shí)租出了88輛車（2）設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050所以，當(dāng)x=4050時(shí)，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050.即當(dāng)每輛車月租金定為4050元時(shí)，租賃公司月收益最大，最大收益為307050元.……12分略21.設(shè)a為正實(shí)數(shù)，記函數(shù)f（x）=a﹣﹣的最大值為g（a）． （1）設(shè)t=+，試把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）； （2）求g（a）； （3）問(wèn)是否存在大于的正實(shí)數(shù)a滿足g（a）=g（）？若存在，求出所有滿足條件的a值；若不存在，說(shuō)明理由． 參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；函數(shù)最值的應(yīng)用． 【專題】綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】（1）由t=+平方得=t2﹣1，從而將函數(shù)f（x）換元為m（t），而m（t）的定義域即t=+的值域，平方后求其值域即可； （2）由（1）知，通過(guò)討論對(duì)稱軸的位置可得最大值關(guān)于a的函數(shù)g（a）； （3）假設(shè)存在大于的正實(shí)數(shù)a滿足g（a）=g（），分類討論，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）由題意得，∴﹣1≤x≤1，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇﹣1，1]． t=+，由x∈[﹣1，1]得，t2∈[2，4]，所以t的取值范圍是[，2]． 又=t2﹣1，∴m（t）=at2﹣t﹣a，t∈[，2]； （2）由題意知g（a）即為函數(shù)m（t）=at2﹣t﹣a，t∈[，2]的最大值． 注意到直線t=是拋物線m（t）=at2﹣t﹣a的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論： ①≤，即a≥知m（t）=at2﹣t﹣a在[，2]上單調(diào)遞增，∴g（a）=m（2）=a﹣2． ②當(dāng)＜＜2時(shí)，＜a＜，g（a）=m（）=﹣﹣a． ③當(dāng)≥2，即0＜a≤時(shí)，g（a）=m（）=﹣ ∴g（a）=； （3）由（2）可得g（）=． 假設(shè)存在大于的正實(shí)數(shù)a滿足g（a）=g（），則 ＜a＜2時(shí)，a﹣2=﹣﹣，方程無(wú)解； a≥2時(shí)，a﹣2=﹣，a=2﹣＜2，不