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山西省忻州市河邊中學2022年高三數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.(理)在正方體ABCD—A1B1C1D1中,M、N分別是棱B1C1、AD的中點,直線AD與平面BMD1N所成角的余弦值為
(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:B2.已知集合,集合,則等于A.
B.
C.
D.參考答案:A略3.函數(shù)的圖像為(
)
參考答案:【知識點】函數(shù)的圖象;指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).B6
【答案解析】D解析:由題設(shè)條件,當x≥1時,f(x)=﹣(x﹣)=當x<1時,f(x)=﹣(﹣x)=﹣(﹣x)=x故f(x)=,故其圖象應(yīng)該為綜上,應(yīng)該選D【思路點撥】觀察題設(shè)中的函數(shù)表達式,應(yīng)該以1為界來分段討論去掉絕對值號,化簡之后再分段研究其圖象.4.如圖,曲線把邊長為4的正方形分成黑色部分和白色部分.在正方形內(nèi)隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A5.已知集合A={﹣1,0,1,2},集合B={y|y=2x﹣3,x∈A},則A∩B中元素的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:B【考點】交集及其運算.【分析】有題目給出的已知條件,用列舉法表示出集合B,取交集運算后答案可求.【解答】解:由A={﹣1,0,1,2},集合B={y|y=2x﹣3,x∈A}={﹣5,﹣3,﹣1,1}所以A∩B={﹣1,1}.所以A∩B中元素的個數(shù)為2.故選B.6.設(shè)等比數(shù)列中(
)
A.243
B.81
C.
D.4參考答案:答案:D7.的展開式中x的系數(shù)是(
) A.﹣3 B.3 C.﹣4 D.4參考答案:A考點:二項式系數(shù)的性質(zhì).專題:計算題;二項式定理.分析:=,利用通項公式,即可求出的展開式中x的系數(shù).解答: 解:=,∴的展開式中x的系數(shù)是+1=﹣3,故選:A.點評:本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),考查學生的計算能力,比較基礎(chǔ).8.某中學有高中生3500人,初中生1500人,為了解學生的學習情況,用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本,已知從高中生中抽取70人,則n為()A.100 B.150 C.200 D.250參考答案:A考點:分層抽樣方法.
專題:概率與統(tǒng)計.分析:計算分層抽樣的抽取比例和總體個數(shù),利用樣本容量=總體個數(shù)×抽取比例計算n值.解答:解:分層抽樣的抽取比例為=,總體個數(shù)為3500+1500=5000,∴樣本容量n=5000×=100.故選:A.點評:本題考查了分層抽樣方法,熟練掌握分層抽樣方法的特征是關(guān)鍵.9.設(shè),二次函數(shù)的圖象為下列之一,則的值為(
)
A.
B.
C.1
D.參考答案:D10.已知,,則“”是“”的(
)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.向量,向量=2,若,那么向量的夾角是
參考答案:略12.定義:分子為1且分母為正整數(shù)的分數(shù)叫做單位分數(shù).我們可以把1拆分為無窮多個不同的單位分數(shù)之和.例如:1=++,1=+++,1=++++,…依此方法可得:1=++++++++++++,其中m,n∈N*,則m+n=
.參考答案:33【考點】歸納推理.【專題】推理和證明.【分析】根據(jù)1=++++++++++++,結(jié)合裂項相消法,可得+==,解得m,n值,可得答案.【解答】解:∵1=++++++++++++,∵2=1×2,6=2×3,30=5×6,42=6×7,56=7×8,72=8×9,90=9×10,110=10×11,132=11×12,∴1=++++++++++++=(1﹣)+++(﹣)+,+==﹣+﹣=,∴m=20,n=13,∴m+n=33,故答案為:33【點評】本題考查的知識點是歸納推理,但本題運算強度較大,屬于難題.13.一個盛滿水的無蓋三棱錐容器,不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個小洞且知,若仍用這個容器盛水,則最多可盛原來水的
倍參考答案:略14.已知向量_________參考答案:15.雙曲線E:(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點M是雙曲線E的漸近線上的一點,MF1⊥MF2,sin∠MF1F2=,則該雙曲線的離心率為
.參考答案:【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】由題意設(shè)M是漸近線y=x上的一點,∠MOF2=2∠MF1F2,求出tan∠MOF2==,可得=,即可求出e===.【解答】解:由題意,設(shè)M是漸近線y=x上的一點,∠MOF2=2∠MF1F2,∵sin∠MF1F2=,∴tan∠MF1F2=,∴tan∠MOF2==,∴=,∴e===,故答案為.16.函數(shù)的定義域為R,,對任意R,>3,則>3x+4的解集為
.參考答案:【知識點】函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.L4
【答案解析】
解析:設(shè)F(x)=f(x)﹣(3x+4),則F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣3+4)=1﹣1=0,又對任意x∈R,f′(x)>3,∴F′(x)=f′(x)﹣3>0,∴F(x)在R上是增函數(shù),∴F(x)>0的解集是(﹣1,+∞),即f(x)>3x+4的解集為(﹣1,+∞).故答案為:(﹣1,+∞)【思路點撥】構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)﹣(3x+4),由f(﹣1)=1得F(﹣1)的值,求F(x)的導函數(shù),根據(jù)f′(x)>3,得F(x)在R上為增函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得F(x)大于0的解集,從而得所求不等式的解集.17.已知關(guān)于x的不等式的解集為全體實數(shù)R,則實數(shù)a的取值范圍是
.參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)在某校組織的一次籃球定點投籃測試中,規(guī)定每人最多投3次.每次投籃的結(jié)果相互獨立.在A處每投進一球得3分,在B處每投進一球得2分,否則得0分.將學生得分逐次累加并用表示,如果的值不低于3分就認為通過測試,立即停止投籃,否則繼續(xù)投籃,直到投完三次為止.投籃的方案有以下兩種:方案1:先在A處投一球,以后都在B處投:方案2:都在B處投籃。甲同學在A處投籃的命中率為0.5,在B處投籃的命中率為0.8.
(I)當甲同學選擇方案1時.①求甲同學測試結(jié)束后所得總分等于4的概率:
②求甲同學測試結(jié)束后所得總分的分布列和數(shù)學期望;
(II)你認為甲同學選擇哪種方案通過測試的可能性更大?說明理由.參考答案:19.(本小題滿分12分)如圖,經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).如何設(shè)計,可以使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠).參考答案:
當且僅當2θ+150°=270°,即θ=60°時,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.答:設(shè)計∠AMN為60°時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小.…12分解法二(構(gòu)造直角三角形):設(shè)∠PMD=θ,在△PMD中,∵PM=2,∴PD=2sinθ,MD=2cosθ.……………2分此時AM=AN=2,∠PAB=30°
…………12分解法三:設(shè)AM=x,AN=y(tǒng),∠AMN=α.在△AMN中,因為MN=2,∠MAN=60°,所以MN2=AM2+AN2-2AM·AN·cos∠MAN,即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4.…………2分因為x2+y2-xy=4,4+xy=x2+y2≥2xy,即xy≤4.所以AP2≤12,即AP≤2.當且僅當x=y(tǒng)=2時,AP取得最大值2.
答:設(shè)計AM=AN=2km時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最?。?2分 解法四(坐標法):以AB所在的直線為x軸,A為坐標原點,建立直角坐標系.設(shè)M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).∵MN=2,答:設(shè)計AM=AN=2km時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小.………12分解法五(幾何法):由運動的相對性,可使△PMN不動,點A在運動.由于∠MAN=60°,∴點A在以MN為弦的一段圓弧(優(yōu)弧)上,………4分設(shè)圓弧所在的圓的圓心為F,半徑為R,由圖形的幾何性質(zhì)知:AP的最大值為PF+R.……6分答:設(shè)計AM=AN=2km時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小.…12分20.已知等差數(shù)列滿足:.(1)求的通項公式;(2)若(),求數(shù)列的前n項和.參考答案:(I)設(shè)的首項為,公差為,則
由得
解得,所以的通項公式
(II)由得.
①當時,=②當時,,得;
所以數(shù)列的前n項和略21.學校游園活動有一個游戲項目:箱子里裝有3個紅球,2個白球,這些球除顏色外完全相同.每次游戲從箱子里摸出3個球,若摸出的是3個紅球為優(yōu)秀;若摸出的2個紅球1個白球為良好;否則為合格.(Ⅰ)求在1次游戲中獲得優(yōu)秀的概率;(Ⅱ)求在1次游戲中獲得良好及以上的概率.參考答案:考點:古典概型及其概率計算公式;互斥事件的概率加法公式.專題:概率與統(tǒng)計.分析:把3個紅球分別編號1,2,3;2個白球分別編號4,5.列舉出從5個球中摸出3個球的所有可能情況.(Ⅰ)獲得優(yōu)秀的摸法只有1種情況,即(123),然后利用古典概型的概率計算公式求概率;(Ⅱ)查出良好的情況個數(shù),求出概率后再運用互斥事件的概率加法公式可求得在1次游戲中獲得良好及以上的概率.解答:解:將3個紅球編號1,2,3;2個白球編號為4,5.則從5個球中摸出3個球的所有可能情況為:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345)共10種.令D表示在1次游戲中獲得優(yōu)秀的事件,則獲得優(yōu)秀的情況為(123)共一種.E表示在1次游戲中獲得良好的事件,則獲得良好的情況為(124),(125),(134),(135),(234),(235)共6種.F表示在1次游戲中獲得良好及以上的事件.(Ⅰ)P(D)=;(Ⅱ)P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=.點評:本題考查了古典概型及其概率計算公式,考查了互斥事件的概率加法公式,是基礎(chǔ)的運算題.22.(
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