山西省忻州市溫村聯(lián)合學(xué)校高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

山西省忻州市溫村聯(lián)合學(xué)校高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若=1+i（a，b∈R），則（a+bi）2=（）A．0 B．﹣2i C．2i D．2參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】把已知等式變形，求得a+bi，代入（a+bi）2，展開(kāi)后得答案．【解答】解：∵=1+i，∴，則（a+bi）2=（1+i）2=2i．故選：C．2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體可以是（）A．棱柱 B．棱臺(tái) C．圓柱

D．圓臺(tái)參考答案：D3.已知θ∈（，π），sinθ=，則sin（θ+）等于（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：D【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosθ的值，再利用誘導(dǎo)公式求得要求式子的值．【解答】解：∵θ∈（，π），sinθ=，∴cosθ=﹣=﹣，則sin（θ+）=cosθ=﹣，故選：D．4.設(shè)函數(shù)f（x）=exsinπx，則方程xf（x）=f'（x）在區(qū)間（﹣2014，2016）上的所有實(shí)根之和為（）A．2015 B．4030 C．2016 D．4032參考答案：B【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化方程的根為個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，利用對(duì)稱性求解即可．【解答】解：由f'（x）=ex（sinπx+πcosπx）及xf（x）=f'（x）得xexxinπx=ex（sinπx+πcosπx）?（x﹣1）sinπx=πcosπx，由此方程易知sinπx≠0，cosπx≠0，則有，由于y=tanπx與的圖象均關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，則在區(qū)間（﹣2014，2016）上的所有實(shí)根之和為2015×2=4030，故選：B．5.設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)

個(gè)數(shù)為（

）A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：C7.已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=tanx在x=﹣處與直線y=ax+b+相切，設(shè)g（x）=﹣bxlnx+a在定義域內(nèi)（） A．極大值 B． 有極小值 C． 有極大值2﹣ D． 有極小值2﹣參考答案：考點(diǎn)： 正切函數(shù)的圖象．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 先求出f′（x）=，再由條件根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得a=f′（﹣）=2．再把切點(diǎn)（﹣，2）代入切線方程求得b，可得g（x）解析式．再根據(jù)g′（x）的符號(hào)，求出g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求得g（x）的極值．解答： 解：由函數(shù)f（x）=tanx，可得f′（x）=．再根據(jù)函數(shù)f（x）=tanx在x=﹣處與直線y=ax+b+相切，可得a=f′（﹣）=2．再把切點(diǎn)（﹣，2）代入直線y=ax+b+，可得b=﹣1，∴g（x）=xlnx+1，g′（x）=lnx+1．令g′（x）=lnx+1=0，求得x=，在（0，）上，g′（x）＜0，在（，+∞）上，g′（x）＞0，故g（x）在其定義域（0，+∞）上存在最小值為g（）=2﹣，故選：D．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題．8.已知滿足不等式組,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A.10

B.8

C.6

D.4參考答案：C9.已知函數(shù)f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，）參考答案：B【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的最大值，故可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=+=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，設(shè)g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，當(dāng)g′（x）=0時(shí)，解的x=，當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即＜x≤2時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即≤x＜2時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）取最大值，最大值為g（2）=2+=∴b＜，故選：B．10.若f（x）是奇函數(shù)，且x0是函數(shù)y=f（x）﹣ex的一個(gè)零點(diǎn)，則﹣x0一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)（）A．y=f（﹣x）ex﹣1 B．y=f（x）e﹣x+1 C．y=f（x）ex+1 D．y=f（x）ex﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)f（x）是奇函數(shù)可得f（﹣x）=﹣f（x），因?yàn)閤0是y=f（x）﹣ex的一個(gè)零點(diǎn)，代入得到一個(gè)等式，利用這個(gè)等式對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷．【解答】解：f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x）且x0是y=f（x）﹣ex的一個(gè)零點(diǎn)，∴f（x0）﹣=0，∴f（x0）=，把﹣x0分別代入下面四個(gè)選項(xiàng)，A、y=f（x0）﹣1=﹣﹣1=0，故A正確；B、y=f（x0）+1=（）2+1≠0，故B錯(cuò)誤；C、y=e﹣x0f（﹣x0）+1=﹣e﹣x0f（x0）+1=﹣e﹣x0+1=﹣1+1=0，故C正確；D、y=f（﹣x0）﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故D錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題以及奇函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道中檔題，需要一一驗(yàn)證．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（13）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且，，面積，則b等于

．參考答案：512.設(shè)全集，集合則

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，

▲

，

▲

．參考答案：13.（5分）已知||=1，||=2，|3+|=4，則||=

．參考答案：考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題： 計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．分析： 運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到所求值．解答： 由||=1，||=2，|3+|=4，則（3+）2=9++6=16，即為9+4+6=16，即有=，則||====．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.如圖，三棱錐的頂點(diǎn)，，，都在同一球面上，過(guò)球心且，是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，點(diǎn)、分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則三棱錐體積的最大值為_(kāi)______．參考答案：過(guò)球心，又是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，,三角形是等腰直角三角形，，，又因?yàn)?在平面內(nèi)，

由線面垂直的判定定理可得平面,即平面，設(shè)，，則三棱錐體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為.

15.一人口袋里裝有大小相同的個(gè)小球，其中紅色、黃色、綠色的球各個(gè)。如果任意取出個(gè)小球，那么其中恰有個(gè)小球同顏色的概率是__________（用分?jǐn)?shù)表示）。參考答案：16.定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2：x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離，則實(shí)數(shù)a=_______.參考答案：17.一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示，則這個(gè)棱錐的體積為

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.參考答案：12由三視圖可知，這是一個(gè)底面為矩形，兩側(cè)面和底面垂直的四棱錐，底面矩形長(zhǎng)4寬為3，四棱錐的高為3，所以四棱錐的體積為，答案為12.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和＝9，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和.（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.參考答案：

在單調(diào)遞增,19.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足=2+2cos（A+B）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根據(jù)正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，根據(jù)三角形的面積公式即可求△ABC的面積．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴sin（2A+B）=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin（A+B）cosA﹣cosAsin（A+B）=2sinA，…∴sinB=2sinA，…∴b=2a，∴．…（Ⅱ）∵，，∴b=2，∴，∴．…∴，即△ABC的面積的．…20.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=e2x+x2﹣ax，函數(shù)g（x）=f（）﹣x2+（1﹣b）x+b（其中a，b為常數(shù)），若函數(shù)f（x）在x=0處的切線與y軸垂直．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若s，t，r滿足|s﹣r|＜|t﹣r|恒成立，則稱s比t更靠近，在函數(shù)g（x）有極值的前提下，當(dāng)x≥1時(shí)，比ex﹣1+b更靠近，試求b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）根據(jù)更靠近的定義，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用最值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e2x+x2﹣ax，∴f′（x）=2e2x+2x﹣a，∵函數(shù)f（x）在x=0處的切線與y軸垂直．∴f′（0）=2﹣a=0，得a=2，∴f（x）=e2x+x2﹣2x；（Ⅱ）g（x）=f（）﹣x2+（1﹣b）x+b=ex﹣b（x﹣1），則g′（x）=ex﹣b，①若b≤0，g′（x）＞0，則g（x）在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)，②若b＞0，由g′（x）＞0得x＞lnb，由g′（x）＜0得x＜lnb，即g（x）在（﹣∞，lnb）上為減函數(shù)，則（lnb，+∞）上為增函數(shù)；（Ⅲ）∵函數(shù)g（x）有極值，∴b＞0，由題意知|﹣lnx|＜|ex﹣1+b﹣lnx|，（※），設(shè)p（x）=﹣lnx，x≥1，q（x）=ex﹣1+b﹣lnx，（x≥1），∵p（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，p（e）=0，∴當(dāng)1≤x≤e時(shí)，p（x）=﹣lnx≥0，當(dāng)x＞e時(shí)，p（x）=﹣lnx＜0，∵q′（x）=ex﹣1﹣，∴q′（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，∴q′（x）≥q′（1）=0，即q（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則q（x）≥q（1）=b+1＞0，則q（x）=ex﹣1+b﹣lnx＞0，①當(dāng)1≤x≤e時(shí)，﹣lnx＜ex﹣1+b﹣lnx，即b＞﹣ex﹣1，設(shè)m（x）=﹣ex﹣1，∵m（x）=﹣ex﹣1，在[1，e]上為減函數(shù)，∴b＞m（1），即b＞e﹣1，②當(dāng)x＞e時(shí)，（※）即lnx﹣＜ex﹣1+b﹣lnx，即b＞﹣+2lnx﹣ex﹣1，設(shè)n（x）=＞﹣+2lnx﹣ex﹣1，x＞e，則n′（x）=＞﹣+﹣ex﹣1，x＞e，則n′（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)，∴n′（x）＜n′（e），∵n′（e）=﹣ee﹣1＜0，∴n（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)，n（x）＜n（e）=1﹣ee﹣1，則b≥1﹣ee﹣1，綜上b＞e﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式恒成立，利用函數(shù)單調(diào)性最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度比較大．21.

我國(guó)采用的PM2.5的標(biāo)準(zhǔn)為：日均值在35微克／立方米以下的空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克／立方米一75微克／立方米之間的空氣質(zhì)量為二級(jí)；75微克／立方米以上的空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取該市m天的PM2.5的日均值，發(fā)現(xiàn)其莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，可見(jiàn)部分如下圖所示．

請(qǐng)據(jù)此解答如下問(wèn)題：

（I）求m的值，并分別計(jì)算：頻率分布直方圖中的［75，95)和［95，115］這兩個(gè)矩形的高；

（II）通過(guò)頻率分布直方圖枯計(jì)這m天的PM2.5日均值的中位數(shù)（結(jié)果保留分?jǐn)?shù)形式）；

（皿）從這m天的PM2.5日均值中隨機(jī)抽取2天，記X表示抽到PM2.5超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：略22.（2017?貴州模擬）已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）記f（x）的最小值為m，已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2+b2=6，求證：g（a）+g（b）≤m．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】（1）化簡(jiǎn)f（x）的解析式，得