山西省呂梁市新絳中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

山西省呂梁市新絳中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；任意角的三角函數(shù)的定義；二倍角的余弦．【分析】本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷．屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查．將a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=時，a=+2kπ（k∈Z）卻不一定成立，根據(jù)充要條件的定義，即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)a=+2kπ（k∈Z）時，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，當(dāng)cos2a=時，有2a=2kπ+?a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣?a=kπ﹣（k∈Z），故選A．【點評】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．2.如圖所示，圖中曲線方程為y=x2﹣1，用定積分表達(dá)圍成封閉圖形（陰影部分）的面積是（）A．B．C．D．參考答案：C【考點】定積分．【分析】由微積分基本定理的幾何意義即可得出．【解答】解：由微積分基本定理的幾何意義可得：圖中圍成封閉圖形（陰影部分）的面積S==．故選C．3.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a?cosA=bcosB，則△ABC的形狀為(

)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形參考答案：C【考點】三角形的形狀判斷．【專題】解三角形．【分析】利用正弦定理由a?cosA=bcosB可得sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦即可判斷△ABC的形狀．【解答】解：在△ABC中，∵a?cosA=bcosB，∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形．故選：C．【點評】標(biāo)題考查三角形的形狀判斷，考查正弦定理與二倍角的正弦的應(yīng)用，屬于中檔題．4.若拋物線上一點到軸的距離是5，則點到該拋物線焦點的距離是(

)(A)

4

(B)6

(C)

8

(D)12參考答案：B略5.過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交A、B于兩點，若，這樣的直線有（

）A.一條

B.兩條

C.三條

D.四條參考答案：C略6.已知圓：+=1，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（

）A.+=1

B.+=1C.+=1

D.+=1參考答案：B略7.不等式組表示的平面區(qū)域的面積為.,則a= （）A． B．1 C．2 D．3參考答案：C8.函數(shù)的定義域為（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B9.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點、、，其中．給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的個數(shù)有（

）個A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C由題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，即方程，由三個不同的實數(shù)解，即有三個不同的實數(shù)解，即函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，又由，當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，其圖象如圖所示，且當(dāng)時，，要使得函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，則，所以①正確的；當(dāng)時，即，解得或，所以當(dāng)時，則所以②是正確的；結(jié)合圖象可得，所以③是正確的；又由，整理得，又因為，所以，即，結(jié)合③可知，所以④是錯誤的，故選C．

10.設(shè)函數(shù)，則（）A.7 B.9 C.11 D.13參考答案：A【分析】先求，再求，進(jìn)而得到所求的和.【詳解】函數(shù)，所以，，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)分段函數(shù)求函數(shù)值的問題，在解題的過程中，注意分清自變量的范圍，需要代入哪個式子，屬于簡單題目.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，tanα=2，則cosα=．參考答案：【考點】GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，求得cosα的值．【解答】解：∵已知，∴sinα＞0，cosα＞0，∵tanα=2=，sin2α+cos2α=1，則cosα=，故答案為：．12.與雙曲線有相同焦點，且離心率為0.6的橢圓方程為---________參考答案：;13.設(shè)x＞0，y＞0且x+y=1，則的最小值為

．參考答案：9【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先把轉(zhuǎn)化成=（）?（x+y）展開后利用均值不等式進(jìn)行求解，注意等號成立的條件．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，∴=（）?（x+y）=1+4++≥5+2=9，當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=3，y=6時取等號，∴的最小值是9．故答案為：9．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原則．屬于基礎(chǔ)題．14.已知空間兩個單位向量且與的夾角為，則

參考答案：15.一空間幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是

.參考答案：16.已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，點P是橢圓C上的一點， 且，則．參考答案：12

17.命題“對任意的，都有”的否定為

.參考答案：存在使得三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（1）已知，求的最大值；（2）已知，且，求的最小值．參考答案：（1）-1（2）【分析】（1）利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為符合基本不等式的形式，再求解最值即可；（2）利用“”的代換，轉(zhuǎn)化表達(dá)式，構(gòu)造出符合基本不等式的形式，進(jìn)而求解最小值即可．【詳解】（1）

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），即最大值為（2）

，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），即的最小值為【點睛】本題考查利用基本不等式求解最值的問題，關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造、靈活應(yīng)用“”的代換，將所求式子轉(zhuǎn)化為符合基本不等式的形式，屬于基礎(chǔ)題.19.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=a?cosB．（1）求角B的大??；（2）若b=3，sinC=2sinA，分別求a和c的值．參考答案：【考點】正弦定理；余弦定理．【專題】解三角形．【分析】（1）由bsinA=a?cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化簡整理即可得出．（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入計算即可得出．【解答】解：（1）∵bsinA=a?cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否則矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化為：a2=3，解得a=，∴．【點評】本題考查了正弦定理余弦定理、三角形內(nèi)角和定理與三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.已知函數(shù)，曲線的圖象在點處的切線方程為.（1）求a，并證明；（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.參考答案：（1）見解析；（2）.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得，得到函數(shù)的解析式，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解；（2）把對任意的恒成立等價于對任意的恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意，函數(shù)，則，則，由切線方程可得切點坐標(biāo)為，將其代入，解得，故，則，則，得，，函數(shù)單調(diào)遞減；，函數(shù)單調(diào)遞增；所以，所以．（2）由對任意的恒成立等價于對任意的恒成立，令，得，由（1）可知，當(dāng)時，恒成立，令，得；，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，故，所以.所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式關(guān)系的證明和恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．21.已知函數(shù).（1）若的最小值為3，求實數(shù)a的值；（2）若時，不等式的解集為A，當(dāng)時，求證：.參考答案：（1）1或－5；（2）證明見解析.【分析】（1）利用絕對值不等式得到，計算得到答案.（2）去絕對值符號，解不等式得到集合，利用平方作減法判斷大小得證.【詳解】（1）因（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）.所以，解得或.（2）當(dāng)時，.當(dāng)時，由，得，解得，又，所以不等式無實數(shù)解；當(dāng)時，恒成立，所以；當(dāng)時，由，得，解得，又，所以；所以的解集為..因為，所以，所以，即，所以.【點睛】本題考查了絕對值不等式，絕對值不等式的證明，討論范圍去絕對值符號是解題的關(guān)鍵.22.已知函數(shù)g（x）=xe（2﹣a）x（a∈R），e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論g（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）=lng（x）﹣ax2的圖象與直線y=m（m∈R）交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0，證明：f'（x0）＜0．（f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）利用函數(shù)零點的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可證明不等式．【解答】解：（1）由題可知，g'（x）=e（2﹣a）x+xe（2﹣a）x（2﹣a）=e（2﹣a）x[（2﹣a）x+1]．①當(dāng)a＜2時，令g'（x）≥0，則（2﹣a）x+1≥0，∴，令g'（x）＜0，則（2﹣a）x+1＜0，∴．②當(dāng)a=2時，g'（x）＞0．③當(dāng)a＞2時，令g'（x）≥0，則（2﹣a）x+1≥0，∴，令g'（x）＜0，則（2﹣a）x+1＜0，∴，綜上，①當(dāng)a＜2時，y=g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)a=2時，y=g（x）在R上單調(diào)遞增；③當(dāng)a＞2時，y=g（x）在上單調(diào)遞增，在上