結(jié)構(gòu)力學(xué) 06 靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

第6章靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算教學(xué)目標(biāo)理解結(jié)構(gòu)位移的概念，理解彈性結(jié)構(gòu)的虛功原理掌握單位荷載法計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移理解單位荷載法計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)因溫度改變、支座移動等引起的位移熟練掌握圖乘法計(jì)算靜定梁和剛架的位移Contents目錄概述1靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算3支座位移引起的位移5虛功原理和單位荷載法2圖乘法4溫度變化引起的位移6彈性結(jié)構(gòu)的互等定理7概述§6.1一、結(jié)構(gòu)的位移１、變形：結(jié)構(gòu)在荷載作用下產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，因而將發(fā)生尺寸和形狀的改變，這種改變稱為變形。２、位移：由于變形，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)截面的幾何位置發(fā)生變化，稱為結(jié)構(gòu)的位移。結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)位置移動的距離為該點(diǎn)的線位移。稱結(jié)構(gòu)某點(diǎn)所在的截面的法線轉(zhuǎn)動的角度為該截面的角位移。概述§6.1上述荷載作用結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生位移，同時(shí)，如果溫度的變化，材料產(chǎn)生熱脹冷縮，靜定結(jié)構(gòu)也會產(chǎn)生位移。荷載和溫度的改變使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移，同時(shí)使結(jié)構(gòu)的各桿產(chǎn)生內(nèi)力，所以這種位移稱為變形位移。如果靜定結(jié)構(gòu)由于支座沉降等因素作用，亦可使結(jié)構(gòu)或桿件產(chǎn)生位移，但結(jié)構(gòu)的各桿件并不產(chǎn)生內(nèi)力，也不產(chǎn)生變形，故把這種位移稱為剛體位移。除荷載、溫度改變、支座移動外，材料收縮、制造誤差等因素，也將會引起位移，如圖所示。概述§6.1位移計(jì)算的目的1.驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度結(jié)構(gòu)在荷載作用下如果變形太大，即使不破壞也不能正常使用。如鋼筋混凝土高層建筑的水平位移不能過大，不然可能導(dǎo)致混凝土開裂和裝飾等次要結(jié)構(gòu)的破壞，同時(shí)位移過大人也會感覺不舒服，所以在風(fēng)力等荷載作用下，水平位移和結(jié)構(gòu)高度之比不宜大于1/500～1/1000（和結(jié)構(gòu)類型高度有關(guān)）；再如橋梁的撓度不能太大，不然車輛通行不平順，引起過大的沖擊振動，影響行車安全，所以鐵路公路橋梁相關(guān)規(guī)范也規(guī)定了橋梁的剛度范圍。2.解算超靜定計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力時(shí)，由于靜力平衡方程數(shù)目不夠，考慮變形協(xié)調(diào)條件，需建立位移條件的補(bǔ)充方程，因此需計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。3.保證施工在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)等過程中，常須預(yù)先知道結(jié)構(gòu)位移后的位置，以便采取一定的施工措施，也常常需要知道結(jié)構(gòu)的位移，以確保測量出精確的位置，保證施工安全和拼裝就位。4.研究振動和穩(wěn)定在結(jié)構(gòu)的動力計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)算中，也需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移，本書不做詳細(xì)介紹?？梢?，結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算在工程上是具有重要意義的。概述§6.1位移計(jì)算的有關(guān)假設(shè)(1) 結(jié)構(gòu)的材料服從胡克定律，既應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。(2) 結(jié)構(gòu)的變形很小，不致影響荷載的作用。在建立平衡方程時(shí)，仍然用結(jié)構(gòu)原有幾何尺寸進(jìn)行計(jì)算；由于變形微小，應(yīng)力應(yīng)變與位移成線性關(guān)系。(3) 結(jié)構(gòu)各部分之間為理想聯(lián)結(jié)，不需要考慮摩擦阻力等影響。位移與荷載之間呈非線性關(guān)系的體系稱為非線性變形體系。線性變形體系和非線性變形體系統(tǒng)稱為變形體系。本書只討論線性變形體系的位移計(jì)算。虛功原理和單位荷載法§6.2功包含兩個(gè)要素——力和位移。如果功的力與其相應(yīng)的位移彼此獨(dú)立無關(guān)時(shí)（也既是力并不是位移引起的或者位移不是力引起的，如圖（a）和（b）兩個(gè)狀態(tài)無關(guān)），就把這種功稱為虛功。既然力和位移沒有關(guān)系，那么力和位移其中的一個(gè)是可以任意假設(shè)的，所以虛功體現(xiàn)兩個(gè)方面：一是力或者位移其中一個(gè)可以隨意虛設(shè)的，另一個(gè)是實(shí)際的，即虛力或者虛位移；二是力和位移都可以是實(shí)際的，但兩者無關(guān)系。為了實(shí)際的計(jì)算即便，我們利用的虛功往往是前者的兩個(gè)方面，虛力或者虛位移。虛功原理和單位荷載法§6.2虛功原理應(yīng)用于剛體時(shí)，剛體系處于平衡的充分必要條件是，對于任何虛位移，所有外力所做虛功總和為零（或者對于實(shí)際的位移，虛力所做虛功總和為零），此時(shí)成為剛體系虛功原理。虛功原理應(yīng)用于變形體系時(shí)，變形體處于平衡的充分必要條件是，對任何虛位移，外力在此虛位移上所做虛功總和等于各微段上內(nèi)力在微段虛變形位移上所做虛功總和。此微段內(nèi)力所做虛功總和在此稱為變形虛功(其他書也稱內(nèi)力虛功或虛應(yīng)變能)。對于結(jié)構(gòu)體，考慮剛體虛功和變形體虛功，總虛功方程為：虛功原理和單位荷載法§6.2虛功原理的兩個(gè)應(yīng)用1.虛位移原理對于給定的力狀態(tài)，另外虛設(shè)一個(gè)位移狀態(tài)，利用虛功方程來求解力狀態(tài)中的未知力，這樣應(yīng)用的虛功原理可稱為虛位移原理。在超靜定結(jié)構(gòu)虛位移法計(jì)算中體現(xiàn)。2.虛力原理對于給定的位移狀態(tài)，另外虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)，利用虛功方程來求解位移狀態(tài)中的未知位移，這樣應(yīng)用稱為虛力原理。在超靜定結(jié)構(gòu)力法計(jì)算中體現(xiàn)。虛功原理和單位荷載法§6.2單位荷載法的概念力狀態(tài)的外力（包括支座反力）在位移狀態(tài)的位移（包括支座位移）上所作外力虛功的總和，等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)微段的相應(yīng)變形上所作內(nèi)力虛功的總和。此種計(jì)算位移的方法稱為單位荷載法。虛功原理和單位荷載法§6.23.單位荷載的虛設(shè)單位荷載法很關(guān)鍵的是虛設(shè)恰當(dāng)?shù)牧顟B(tài)，而方法的巧妙之處在于虛設(shè)的單位荷載一定在所求位移點(diǎn)沿所求位移方向設(shè)置，這樣虛功恰等于位移。在實(shí)際問題中，除了計(jì)算線位移外，還要計(jì)算角位移、相對位移等。因集中力是在其相應(yīng)的線位移上做功，力偶是在其相應(yīng)的角位移上做功，則若擬求絕對線位移，則應(yīng)在擬求位移處沿?cái)M求線位移方向虛設(shè)相應(yīng)的單位集中力；若擬求絕對角位移，則應(yīng)在擬求角位移處沿?cái)M求角位移方向虛設(shè)相應(yīng)的單位集中力偶；若擬求相對位移，則應(yīng)在擬求相對位移處沿?cái)M求位移方向虛設(shè)相應(yīng)的一對平衡單位力或力偶。靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算§6.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式1、梁和剛架2、桁架3、組合結(jié)構(gòu)4、拱靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算§6.3【例6-1】試計(jì)算圖示簡支梁中點(diǎn)C的豎向位移ΔCV。解：1、設(shè)單位力構(gòu)成虛狀態(tài)靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算§6.32、實(shí)際位移狀態(tài)下和虛力狀態(tài)下梁的內(nèi)力靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算§6.3[例6-2]如圖6.10(a)所示剛架，各桿段抗彎剛度均為EI，試求B截面水平位移解：已知實(shí)際位移狀態(tài)如圖6.10(a)所示，設(shè)立虛擬單位力狀態(tài)如圖6.10(b)。剛架彎矩以內(nèi)側(cè)受拉為正，有BA桿：BC桿：代入有：靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算§6.3[例6-3]

圖所示桁架各桿的EA相等，求C結(jié)點(diǎn)的豎向位移Δcy解（1）設(shè)虛擬狀態(tài)（如圖b所示）（2）計(jì)算FN

和FNP（標(biāo)于圖中）（3）代公式求C點(diǎn)的豎向位移靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算§6.3梁的位移及剛度校核梁的位移梁平面彎曲時(shí)，每個(gè)截面都發(fā)生了移動和轉(zhuǎn)動，如圖所示。橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移稱為撓度，用w表示。對于水平方位的梁，規(guī)定w向下為正。實(shí)際上梁平面彎曲時(shí)橫截面形心沿梁的軸線方向還有線位移。工程中梁的變形一般為小變形，曲率很小，彎曲引起的最大軸向位移不足桿長的十萬分之一，所以忽略這種軸向位移。橫截面的角位移θ稱為轉(zhuǎn)角。在圖b所示的坐標(biāo)系下，θ以順時(shí)針轉(zhuǎn)向的為正。靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算§6.32．梁的剛度校核梁的位移過大，則不能正常工作。比如橋梁的撓度過大，車輛通過時(shí)將發(fā)生很大的振動。必須將位移限制在工程允許的范圍內(nèi)。對于梁的撓度，其許可值以許可的撓度與梁跨長之比[w/l]為標(biāo)準(zhǔn)。土木工程的[w/l]值對于不同類型的梁差別較大，在1/250~1/1000之間，鐵路鋼桁梁為1/900.梁的剛度條件為:靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算§6.33、提高梁抗彎剛度的措施梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度EI、梁的跨度l

、荷載作用情況有關(guān)，那么，要提高梁的抗彎剛度可以采取以下措施：增大梁的抗彎剛度EI：梁的變形與梁的抗彎剛度EI成反比，一般不采用提高慣性矩的方式。減小梁的跨度L：梁的變形與其跨度的n次冪成正比。設(shè)法減小梁的跨度l，將有效地減小梁的變形，從而提高其剛度。在結(jié)構(gòu)構(gòu)造允許的情況下，可采用兩種辦法減小l值。改善荷載的作用情況：在結(jié)構(gòu)允許的情況下，合理地調(diào)整荷載的位置及分布情況，以降低彎矩，從而減小梁的變形，提高其剛度。如圖所示，將集中力分散作用，甚至改為分布荷載，則彎矩降低，從而梁的變形減小，剛度提高。圖乘法§6.4梁和剛架在荷載作用下的位移計(jì)算公式為圖乘法是關(guān)于結(jié)構(gòu)位移的簡化計(jì)算方法。在一定的應(yīng)用條件下，圖乘法可給出該積分的數(shù)值解。應(yīng)用條件：桿軸為直線；EI=常數(shù)；M和MP兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形。圖乘法§6.4常用簡單圖形的面積和形心圖乘法§6.4兩個(gè)梯形相乘：將MP圖分解為兩個(gè)三角形（或一個(gè)矩形和一個(gè)三角形）。兩個(gè)圖的豎標(biāo)a、b或c、d不在基線同一測時(shí)：可分解為位于基線兩側(cè)的兩個(gè)三角形，在進(jìn)行圖乘。圖乘法§6.4應(yīng)用圖乘法時(shí)的幾個(gè)具體問題：1、如果兩個(gè)圖形都是直線圖形，則縱標(biāo)可取其中任意圖形，如果是折線，在折點(diǎn)處將面積分段。圖乘法§6.42、M是梯形圖乘法§6.43、M圖有正有負(fù)圖乘法§6.44、分段等截面圖乘法§6.45、拋物線為非標(biāo)準(zhǔn)圖形圖乘法§6.4例6-7.已知EI為常數(shù)MPM分解圖乘法§6.4【例6-8】試用圖乘法計(jì)算圖示靜定梁B截面的豎向位移ΔBV。圖乘法§6.4解：1、設(shè)單位力構(gòu)成虛狀態(tài)

2、繪、圖圖乘法§6.4

3、

圖乘法§6.4[例6-9]試求圖6.25(a)所示剛架結(jié)點(diǎn)B的水平位移ΔBx。設(shè)各桿為矩形截面，截面尺寸為b×h，慣性矩I=bh3/12，E為常數(shù)，只考慮彎矩變形的影響。解：先作出MP圖和M圖，分別如圖6.25b)(c)所示。應(yīng)用圖乘法求得結(jié)點(diǎn)B的水平移為圖乘法§6.4[例6-10]試求如圖(a)所示組合結(jié)構(gòu)D端的豎向位移ΔDy。已知：E=2.1×1011N/㎡，受彎桿件截面慣性矩I=3.2×10-5m4，拉桿BE的截面面積A=16×10-4㎡。圖乘法§6.4解：作出實(shí)際荷載和虛力狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)彎矩圖和軸力圖，如圖(c)所示按(4-11)式圖乘及運(yùn)算。從上面的計(jì)算可知：彎矩和軸力對位移的影響分別占89%和11%，顯然在組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算中鏈桿的軸力是不能略去的。支座位移引起的位移§6.5支座位移引起的位移靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動并不產(chǎn)生內(nèi)力也無變形，只發(fā)生剛體位移。如圖(a)所示靜定結(jié)構(gòu),其支座發(fā)生水平位移C1

、豎向位移C2

和轉(zhuǎn)角C3，現(xiàn)要求由此引起的任一點(diǎn)沿任一方向的位移，例如求k點(diǎn)豎向位移ΔK。支座位移引起的位移§6.5[例6-11]圖(a)所示靜定剛架，若支架A發(fā)生如圖所示的位移:a=1.0cm，b=1.5cm。試求C點(diǎn)的水平位移Δcx、豎向位移Δcy。解：在C點(diǎn)處分別加一水平和豎向的單位力，求出其支座反力如圖7.26(b)(c)所示。由公式（7.10）得；Δcx=-(1×1.0-1×1.5)=0.5cm←Δcy=-1.5×1=-1.5cm↓支座位移引起的位移§6.5[例6-12]如圖6.29(a)所示三鉸剛架，若支座B發(fā)生如圖所示位移a=4cm,b=6cm,l=8m,h=6m，求由此而引起的左支座處桿端截面的轉(zhuǎn)角φA。解：在A點(diǎn)處加一單位力偶，建立虛擬力狀態(tài)。依次求得支座反力，如圖(b)所示。由式(6-13)得溫度變化引起的位移§6.6一、由于溫度變化引起的位移溫度變化引起的位移§6.6若各桿均為等截面桿，則對于梁和剛架，在計(jì)算溫度變化所引起的位移時(shí)，一般不能略去軸向變形的影響。對于桁架，在溫度變化時(shí)，其位移計(jì)算公式為當(dāng)桁架的桿件長度因制造而存在誤差時(shí)，由此引起的位移計(jì)算與溫度變化時(shí)相類似。設(shè)各桿長度誤差為Δl，則位移計(jì)算公式為溫度變化引起的位移§6.6[例6-13]如圖6.31(a)所示剛架，已知剛架各桿內(nèi)側(cè)溫度無變化，外側(cè)溫度下降16℃，各桿截面均為矩形，高度為h，線膨脹系數(shù)α。試求溫度變化引起的C點(diǎn)豎向位移Δcy。解：設(shè)立虛擬單位力狀態(tài)F=1，作出相應(yīng)的軸力圖和彎矩圖，分別如圖(b)、(c)所示。彈性結(jié)構(gòu)的互等定理§6.7一、功的互等定理．(基本定理，其他幾個(gè)互等定理由此導(dǎo)出)應(yīng)用條件:1)σ<σP；

2)小變形。即:線性變形體系。（a）第一狀態(tài)（力狀態(tài)）（b）第二狀態(tài)（位移狀態(tài)）彈性結(jié)構(gòu)的互等定理§6.7二、位移互等定理注意：1）這里荷載可以是廣義荷載,位移是相應(yīng)的廣義位移。2）δ12與δ21不僅數(shù)值相等，量綱也相同。彈性結(jié)構(gòu)的互等定理§6.7

三、反力互等定理

注意:1）這里支座位移可以是廣義位移,反力是相應(yīng)的廣義力。

2）反力互等定理僅用與超靜定結(jié)構(gòu)。小