有限元基礎(chǔ)知識

有限元基礎(chǔ)知識

主要內(nèi)容有限元方法簡介什么是有限元軟件有限元發(fā)展歷史有限元方法簡介有限元方法簡介

有限元法也叫有限單元法（finiteelementmethod,FEM），最初的思想是把一個大的結(jié)構(gòu)劃分為有限個稱為單元的小區(qū)域，在每一個小區(qū)域里，假定結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力都是簡單的，這樣的話小區(qū)域內(nèi)的變形和應(yīng)力都容易求解出來，進(jìn)而可以獲得整個結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力。

事實(shí)上，當(dāng)劃分的區(qū)域足夠小，每個區(qū)域內(nèi)的變形和應(yīng)力總是趨于簡單，計算的結(jié)果也就越接近真實(shí)情況。理論上可以證明，當(dāng)單元數(shù)目足夠多時，有限單元解將收斂于問題的精確解，但是當(dāng)然隨著單元數(shù)量的增加，計算量也相應(yīng)增大。

有限元法中的相鄰的小區(qū)域通過邊界上的節(jié)點(diǎn)聯(lián)接起來，可以用一個簡單的插值函數(shù)描述每個小區(qū)域內(nèi)的變形和應(yīng)力（建立節(jié)點(diǎn)位移和小區(qū)域內(nèi)變形和應(yīng)力的關(guān)系）。求解過程只需要計算出節(jié)點(diǎn)處位移，非節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力或者變形是通過函數(shù)插值獲得的。

大多數(shù)有限元程序都是以節(jié)點(diǎn)位移作為基本變量，求出節(jié)點(diǎn)位移后再計算單元內(nèi)的應(yīng)力，這種方法稱為位移法。

有限元方法基本步驟以彈性力學(xué)問題位移法為例，有限元法一般主要包括以下幾個步驟：（1）將連續(xù)體離散化，即把連續(xù)的求解域離散為有限個“單元”的組合體，組合體的形狀能夠逼近求解區(qū)域。（2）上述“單元”由位于單元邊界上的節(jié)點(diǎn)相互連接在一起，以這些節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量。（3）利用節(jié)點(diǎn)未知量，選擇一組插值函數(shù)唯一地定義每一個單元內(nèi)相應(yīng)物理場（位移、應(yīng)力和應(yīng)變等）的分布，即選擇單元模式或單元列式。（4）將各種類型的荷載變換為只作用在節(jié)點(diǎn)上的等效荷載，建立基本未知量與等效節(jié)點(diǎn)荷載之間的基本方程。（5）求解基本方程，得到基本未知量的解答。（6）通過基本未知量和插值函數(shù)求出單元內(nèi)的物理場（位移、應(yīng)力和應(yīng)變等），從而得到整個計算域的結(jié)果。

有限元方法步驟總結(jié)有限元法就是把一個很難求解的連續(xù)體的問題離散化成很多的小塊，在每一個小塊內(nèi)用插值函數(shù)進(jìn)行線性的（一階單元）或者二次的（二階單元）簡化，把這一個小塊內(nèi)的所有的連續(xù)的未知量都用小塊邊上的節(jié)點(diǎn)的位移代表，這些節(jié)點(diǎn)的位移就是基本自由度（位移法）。然后再把每一個小塊都組合起來，施加上外荷載等建立平衡方程進(jìn)行計算，通過計算得到每一個節(jié)點(diǎn)的位移后，再通過每一個小塊內(nèi)的插值函數(shù)得到每一個小塊內(nèi)的所有未知量。結(jié)果光滑正因?yàn)槊恳粋€小塊（單元）上的結(jié)果是根據(jù)各自的節(jié)點(diǎn)位移和插值函數(shù)得到的，所以在單元與單元交接處有可能出現(xiàn)結(jié)果不連續(xù)的問題，為了使結(jié)果連續(xù)以符合實(shí)際情況，需要在相鄰單元之間使結(jié)果光滑。光滑的方法很多，一般常用的是平均法。彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式應(yīng)變關(guān)系：應(yīng)變關(guān)系的矩陣表示：其中：彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式物理方程（應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）：其中：彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式平衡方程：平衡方程的矩陣表示：其中：彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式有限元方法用途有限元法在結(jié)構(gòu)分析中就是計算結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)和變形的，可以做動力分析、靜力分析、譜分析。

什么是有限元軟件什么是有限元軟件有限元軟件指的是采用有限元方法求解各種問題的軟件，也被稱為仿真軟件或者模擬計算軟件。有限元法使人們能夠在計算機(jī)上用軟件模擬一個工程問題的發(fā)生過程而無需把東西真的做出來。這項(xiàng)技術(shù)帶來的好處就是，在圖紙?jiān)O(shè)計階段就能夠讓人們在計算機(jī)上觀察到設(shè)計出的產(chǎn)品將來在使用中可能會出現(xiàn)什么問題，不用把樣機(jī)做出來在實(shí)驗(yàn)中檢驗(yàn)會出現(xiàn)什么問題，可以有效降低產(chǎn)品開發(fā)的成本，縮短產(chǎn)品設(shè)計的周期。因?yàn)橛邢拊ㄓ幸陨咸攸c(diǎn)，所以采用這種方法的計算過程也被人稱為仿真計算或者模擬計算等等。

有限元軟件的應(yīng)用早期的有限元技術(shù)高高在上，只有一些國家的部門，如宇航、軍事部門可以使用，需要應(yīng)用者有很高的有限元理論水平。而此后的一些有限元分析軟件也都存在界面不友好、難學(xué)難用的缺點(diǎn)，雖然應(yīng)用的范圍大了一些，但也都是集中在大學(xué)和一些研究機(jī)構(gòu)，只有少數(shù)專業(yè)人員才能有機(jī)會接觸，普通的工程師很難應(yīng)用。然而現(xiàn)在像ADINA這樣的有限元軟件已經(jīng)提供了很好的前后處理功能，使應(yīng)用者可以把有限元求解器作為一個黑匣子來對待，不再需要有很深厚的有限元理論基礎(chǔ)，有限元分析的大門終于向普通工程師敞開了。目前成熟的有限元軟件把高高在上的有限元技術(shù)平民化，易學(xué)易用，簡潔直觀，能夠在普通的PC機(jī)上運(yùn)行，不需要專業(yè)的有限元經(jīng)驗(yàn)。使普通的工程師可以進(jìn)行仿真分析，迅速得到分析結(jié)果，從而最大限度地縮短設(shè)計周期，降低測試成本，提高產(chǎn)品質(zhì)量，加大利潤空間。

有限元軟件的應(yīng)用范圍目前有限元軟件在結(jié)構(gòu)問題、流體問題、傳熱學(xué)、電磁學(xué)、聲學(xué)等方面都有大量的應(yīng)用。ADINA主要的應(yīng)用領(lǐng)域是結(jié)構(gòu)、流體和熱，以及相互耦合的問題。

有限元法在結(jié)構(gòu)上應(yīng)用的主要目的是求解結(jié)構(gòu)的變形、應(yīng)力、應(yīng)變等。在流體上應(yīng)用主要是求解流體的流動狀態(tài)，這時也叫CFD（計算流體動力學(xué)）軟件。在熱領(lǐng)域的應(yīng)用主要是求解熱量在物體中的流動和邊界上的損失，得到物體的溫度分布。

有限元軟件的分析過程有限元分析過程可分成三個階段，前處理、求解和后處理。前處理主要是采用CAD技術(shù)來建立幾何模型，然后在幾何模型上定義荷載、邊界條件等物理?xiàng)l件，最后劃分單元網(wǎng)格?？傊疤幚砭褪沁M(jìn)行分析數(shù)據(jù)的輸入，這個過程也稱為建模，這里的模就是指的物理模型（包括幾何模型、荷載、邊界條件、網(wǎng)格等等）。后處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡便地提取信息，了解計算結(jié)果。目前為了使應(yīng)用者能直觀的看到計算結(jié)果，有限元的計算結(jié)果也需要用CAD技術(shù)生成形象的圖形輸出，如生成位移圖、應(yīng)力、溫度、壓力分布的等值線圖，和表示應(yīng)力、溫度、壓力分布的彩色明暗圖，以及隨機(jī)械載荷和溫度載荷變化生成位移、應(yīng)力、溫度、壓力等分布的動態(tài)顯示圖。在前處理與后處理之間的過程是求解，一般都是由有限元軟件的求解器自動進(jìn)行的。使用者可以把求解器作為“黑匣子”處理。有限元發(fā)展歷史歷史典故歷史典故有限元法最初是20世紀(jì)50年代作為處理固體力學(xué)問題的方法出現(xiàn)的。追溯歷史，早在1943年，Courant已應(yīng)用了單元的概念。1945年~1955年，Argyris等人在結(jié)構(gòu)矩陣分析方面取得了很大的發(fā)展。1956年，Turner、Clough等人把剛架位移發(fā)的思路推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)平面問題：他們把連續(xù)體劃分為三角形和矩形單元，單元中的位移函數(shù)采用近似表達(dá)式，推導(dǎo)單元的剛度矩陣，建立節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的單元剛度方程。1960年，Clough首先把這種解決彈性力學(xué)的方法，給予特定的名詞，稱為“有限元法”。首先提出有限元法這個名詞的Clough就是ADINA總裁Bathe教授的博士生導(dǎo)師，他帶領(lǐng)Bathe及自己的工作小組開發(fā)了著名的線性有限元軟件sap。Bathe對于有限元方法的發(fā)展也做出了很多開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，著名的求解模態(tài)的子空間疊代法就是Bathe的成果。Bathe離開Clough后，在MIT領(lǐng)導(dǎo)自己的工作組開發(fā)了ADINA，他當(dāng)時的主要目的是使自己的程序除了能夠求解相對簡單的線性問題外，還能夠求解非線性問題和動力問題。此后ADINA又增加了流體的功能和熱求解功能，并且可以求解耦合場問題，現(xiàn)在發(fā)展成為一個多物理場耦合求解的有限元系統(tǒng)。附件：三角形單元舉例單元位移模式及差值函數(shù)構(gòu)造典型的3節(jié)點(diǎn)三角形單元節(jié)點(diǎn)編碼為ijm，以逆時針方向編碼為正方向。每個節(jié)點(diǎn)有2個位移分量。每個節(jié)點(diǎn)有2個位移自由度：每個單元有6個位移自由度：彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移表示（一次多項(xiàng)式）：通過節(jié)點(diǎn)位移確定廣義坐標(biāo)：計算得到：彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式其中：因此任意一點(diǎn)的位移可表示為：彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式應(yīng)變表示：彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式應(yīng)力表示：利用最小位能原理建立