材料有限元分析課件-4

第四章非線性問題的有限元法4.1.概述

線彈性體系的基本特點(diǎn)：應(yīng)變和位移關(guān)系是線性的（幾何方程 )；應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系是線性的（本構(gòu)方程 )；變形前應(yīng)力和體力關(guān)系是線性的（平衡方程 )線彈性體系成立的前提：結(jié)點(diǎn)位移無限小；材料的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系滿足虎克定律；加載時(shí)邊界條件保持不變。材料非線性：材料自身的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系是非線性的。如，純金屬及其絕大多數(shù)合金材料、高分子材料等。應(yīng)變屈服點(diǎn)..材料極限塑性應(yīng)變幾何非線性：結(jié)構(gòu)的位移造成體系受力狀態(tài)發(fā)生顯著變化。如，金屬構(gòu)件的塑性變形和蠕變等。大位移小應(yīng)變（如，塑料的熱成形）；大位移大應(yīng)變（如，金屬的壓力加工）。AB邊界非線性：邊界條件非線性變化。例如模鍛毛坯的接觸問題4.2.材料非線性共同特點(diǎn)：材料特性隨溫度和時(shí)間變化。（1）彈塑性問題加載后，如果載荷恒定，則材料的變形不隨時(shí)間變化;但另一方面，當(dāng)載荷增加到某個(gè)值時(shí)，材料的變形會(huì)出現(xiàn)屈服現(xiàn)象。（2）粘彈性和粘塑性問題加載后，材料的變形隨時(shí)間變化。蠕變－－應(yīng)力恒定，應(yīng)變隨時(shí)間增加；松弛－－應(yīng)變恒定，應(yīng)力隨時(shí)間減小。t=hourlt=0Creep

l1l2

l1=

l2

t=0t=hourStressRelaxation4.2.1.非線性方程組的求解

離散化的非線性方程組一般可表示為返回到P13(1)直接迭代法直接迭代法求解非線性方程組的局限：只適用于求解與變形歷史無關(guān)的非線性問題（例如，彈塑性問題）。直接迭代法收斂的幾何含義（圖中的為標(biāo)量，非線性系統(tǒng)是單自由度的）(2)Newton－Raphson迭代法目的：進(jìn)一步提高近似解的精度和解的收斂速度?；氐絇14N-R法中的初始近似解，可簡單的設(shè)為 ；這樣， 的初值 在非線性問題中就是彈性剛度矩陣。N-R法求解過程的幾何表示(3)修正的Newton－Raphson法目的：克服每迭代一次都需重新生成并求逆切線矩陣的麻煩。思路之一：式(4-10)是以犧牲收斂速度為代價(jià)來換取計(jì)算量的減少。思路之二：迭代若干次（例如m次）后，更新為，再進(jìn)行以后的迭代。(4)增量法如果初始狀態(tài)下，解向量和載荷向量f均為定值，則用增量法求解非線性方程組可以得到較好的收斂解。令式(4-2)中的載荷項(xiàng)，得增量方程解得(4-14)中的，再用“修正的”歐拉公式改進(jìn)之，即按(4-14)或(4-15)計(jì)算出來的（如圖）一般會(huì)導(dǎo)致解的漂移。為克服解的漂移現(xiàn)象，可以將N-R法或mN-R法用于每一增量步。例如，用(4-8)修正(4-14)，得由上式解出回到14，17，40為縮減(4-17)的計(jì)算量，采用修正的Newton－Raphson方法，此時(shí)(4-17)和(4-20)被稱為考慮平衡校正后的迭代算法，其幾何意義如圖所示變斜率切線對(duì)應(yīng)(4-17)恒斜率直線對(duì)應(yīng)(4-20)(5)加速收斂的方法（以Aitken法為例）考查單自由度非線性系統(tǒng)，無Aitken加速的mN-R迭代和有Aitken加速的mN-R迭代求解示意圖如(a)、(b)所示：特點(diǎn)：切線和割線交替出現(xiàn)當(dāng)經(jīng)過迭代1~2次后，從(b)圖得到的兩次迭代之差值為于是，增量法公式(4-18)可改寫成公式(4-24)表明，Aitken加速收斂法的特點(diǎn)是：迭代和加速交叉進(jìn)行。將(4-24)推廣到N個(gè)自由度的系統(tǒng)為避免因上式分母項(xiàng)的值很小時(shí)，計(jì)算量劇增的情況出現(xiàn)，特對(duì)(4-25)進(jìn)行修正，用標(biāo)量代替(4-25)中的對(duì)角矩陣4.2.2.材料非線性本構(gòu)關(guān)系4.2.2.1.材料的彈塑性行為

單調(diào)加載理想彈塑性硬化塑性非線性彈性和塑性當(dāng)材料發(fā)生應(yīng)變硬化（加工硬化）時(shí)，有即：加載過程中，材料的下一步屈服與前一步應(yīng)變有關(guān)。

反向加載針對(duì)硬化材料，如果在一個(gè)方向加載進(jìn)入塑性后，卸載并在反方向加載，直至進(jìn)入新的塑性。循環(huán)加載一次循環(huán)循環(huán)松弛循環(huán)硬化循環(huán)蠕變（棘輪效應(yīng)）通常，循環(huán)加載條件與材料特性的關(guān)系 循環(huán)加載條件 材料特性 等幅應(yīng)變控制 循環(huán)硬（軟）化 不等幅應(yīng)變控制 循環(huán)松弛 不等幅應(yīng)力控制 循環(huán)蠕變（棘輪效應(yīng)）4.2.2.2.塑性力學(xué)的基本法則屈服條件 對(duì)于初始各向同性材料，其開始進(jìn)入塑性流動(dòng)的條件為 式中k“硬化”參數(shù)，應(yīng)力向量陣列，Y(k)單向屈服應(yīng)力(2)流動(dòng)法則 假設(shè)塑性應(yīng)變?cè)隽颗c塑性勢(shì)（能）有關(guān) 則

式中 塑性應(yīng)變?cè)隽浚?/p>

與材料硬化法則有關(guān)的參數(shù)；Q塑性勢(shì)函數(shù)

返回到26，33，35，38對(duì)于穩(wěn)定的應(yīng)變硬化材料，如果存在關(guān)聯(lián)塑性，即

Q=F其中F后繼屈服函數(shù)（后繼加載函數(shù)或加載曲面，即與加載歷史有關(guān)的屈服函數(shù)）此時(shí)，公式(4-28)變成(3)硬化法則 公式(4-29)中，后繼屈服函數(shù)的一般表達(dá)式 對(duì)于理想彈塑性材料，因無硬化效應(yīng)，所以后繼屈服函數(shù)應(yīng)與初始屈服函數(shù)F()一致，即對(duì)于硬化材料各向同性硬化法則各向同性硬化特點(diǎn)

材料進(jìn)入塑性變形后，加載屈服面（后繼屈服面）在各方向上均勻向外擴(kuò)張，其形狀、中心和方位保持不變。例如，當(dāng) 時(shí)，初始屈服軌跡與后繼屈服軌跡之間的關(guān)系加載屈服面初始屈服面 根據(jù)Von.Mises流動(dòng)法則(4-28)，各向同性硬化后繼屈服函數(shù)（加載屈服面）的通式為 式(4-32)中的是加載時(shí)的后繼屈服應(yīng)力，它是等效塑性應(yīng)變的函數(shù)。其中 的值可由材料單軸拉伸試驗(yàn)的曲線獲得，定義為材料的塑性模量（硬化系數(shù)），它與彈性模量E和切線模量 之間存在關(guān)系各向同性硬化法則適用的材料單調(diào)加載，且 。運(yùn)動(dòng)硬化法則

運(yùn)動(dòng)硬化法則特點(diǎn)材料進(jìn)入塑性后，加載屈服面在應(yīng)力空間作剛性移動(dòng)，其形狀、大小和方位均保持不變。此時(shí)的后繼屈服函數(shù)可表示為

F(,)=0(4-37)

式中是加載曲面中心在應(yīng)力空間的移動(dòng)張量(法向量），與材料的硬化特性和變形歷史有關(guān)。

運(yùn)動(dòng)硬化法則適用的材料單調(diào)加載時(shí)，；卸載時(shí)， 。初始屈服面加載屈服面混合硬化法則混合硬化的后繼屈服函數(shù)混合硬化法則適用的材料并且主要用于反向加載和循環(huán)加載的場(chǎng)合。加載、卸載準(zhǔn)則 由于材料變形過程中，其應(yīng)力狀態(tài)是在變化的，因此，用加載、卸載準(zhǔn)則來判斷材料從當(dāng)前狀態(tài)出發(fā)，下一步是繼續(xù)加載還是彈性卸載，并以此確定后繼計(jì)算是采用彈塑性本構(gòu)方程還是采用彈性本構(gòu)方程。由(4－27)知?jiǎng)t對(duì)于理想彈塑性材料，繼續(xù)塑性加載；對(duì)于硬化材料：中性變載（即仍保持塑性狀態(tài)，但不發(fā)生新的塑性流動(dòng)）4.2.2.3.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）

當(dāng)應(yīng)力產(chǎn)生無窮小增量時(shí)，假設(shè)應(yīng)變由彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分組成，即因彈性應(yīng)變塑性應(yīng)變返回到32當(dāng)材料發(fā)生塑性屈服時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)處在式(4-27)所表示的屈服面上，對(duì)(4-27)微分，得為了消去參數(shù)，用 左乘式(4-40)兩端，得式(4-45)中的稱為彈塑性矩陣。該矩陣只有在材料是關(guān)聯(lián)塑性的情況下才對(duì)稱。此外，對(duì)于理想塑性材料（這時(shí)A=0），矩陣仍有定義。4.2.3.粘塑性問題4.2.3.1.粘塑性材料的本構(gòu)方程

對(duì)于具有粘塑性的材料，在應(yīng)力空間中，其總應(yīng)變速率等于彈性應(yīng)變速率與粘塑性應(yīng)變速率之和。即

粘塑性材料的屈服條件在形式上與塑性材料相同（4-27），即返回43根據(jù)粘塑性流動(dòng)法則，材料的粘塑性應(yīng)變速率可表示為返回到42，434.2.3.2.蠕變

蠕變的特征：在常應(yīng)力條件下，材料的變形與時(shí)間和溫度有關(guān)。設(shè)蠕變應(yīng)變?yōu)?，則蠕變應(yīng)變率為t=hourlt=0Creep4.2.4.溫度對(duì)材料非線性本構(gòu)方程的影響

考慮溫度的影響，則非線性材料的應(yīng)變?cè)隽浚ㄓ脧埩啃问剑?yīng)為此時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可表示為上述應(yīng)變?cè)隽康木唧w表示式：彈性應(yīng)變?cè)隽靠紤]到溫度對(duì)彈性模量E和泊松比的影響，有(2)塑性應(yīng)變?cè)隽?3)溫度應(yīng)變?cè)隽?4)蠕變應(yīng)變?cè)隽?.2.5.彈塑性問題的有限元求解(增量法)

由于材料和結(jié)構(gòu)的彈塑性行為與加載及變形歷史有關(guān)，所以，通常把載荷分解成若干個(gè)增量，針對(duì)每一個(gè)載荷增量，線性化彈塑性方程，從而將非線性問題轉(zhuǎn)化成一系列線性問題（即按載荷步求解）。應(yīng)用(4-16)，即然后利用迭代法可求得4.2.6.粘塑性問題的有限元求解(增量法)

按時(shí)間間隔(增量)求解。假設(shè)：在時(shí)刻已求得結(jié)點(diǎn)位移和應(yīng)力，且載荷向量已知，則(1)應(yīng)變?cè)隽坑墒?4-49)表示的應(yīng)變率法則，可求得內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變?cè)隽渴街袘?yīng)力增量 由(4-51)的增量形式和(4