第三章 平穩(wěn)隨機(jī)過程

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平穩(wěn)隨機(jī)過程23.1平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)第三章平穩(wěn)隨機(jī)過程3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程33.1平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)第三章平穩(wěn)隨機(jī)過程3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程4隨機(jī)幅度的正弦信號隨機(jī)頻率的正弦信號幅度、相位和頻率都是隨機(jī)的隨機(jī)相位的正弦信號3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.1此項(xiàng)為常數(shù)此項(xiàng)為零3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.17Exercise3.13.1平穩(wěn)隨機(jī)過程8在任何時(shí)刻計(jì)算嚴(yán)平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)結(jié)果都是相同的嚴(yán)平穩(wěn)過程的n維概率密度不隨時(shí)間平移而變化，或者說與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Definition3.1(Strict-senseStationaryStochastic

Process)9Definition3.2(JointStrict-senseStationaryStochastic

Process)3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程10嚴(yán)平穩(wěn)過程具有以下性質(zhì)1、嚴(yán)平穩(wěn)過程X(t)的一維概率密度與時(shí)間無關(guān)嚴(yán)平穩(wěn)過程的數(shù)學(xué)期望和方差與時(shí)間無關(guān)3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程2、嚴(yán)平穩(wěn)過程X(t)的二維概率密度只與兩個(gè)時(shí) 刻t1和t2的間隔有關(guān)，與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。嚴(yán)平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)都只是時(shí)間間隔的函數(shù)。3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)過程具有以下性質(zhì)一維概率密度與時(shí)間有關(guān)，故不是嚴(yán)平穩(wěn)過程。3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.2一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)過程只要它的均方值有限，則它必定是廣義平穩(wěn)的。但是，反之則不一定成立。廣義平穩(wěn)的高斯過程必定也是嚴(yán)平穩(wěn)的，即對于高斯過程來說，嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)是等價(jià)的。Definition3.3(Wide-senseStationaryStochastic

Process)3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程隨機(jī)幅度的正弦信號隨機(jī)頻率的正弦信號幅度、相位和頻率都是隨機(jī)的隨機(jī)相位的正弦信號3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.33.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.3隨機(jī)相位的正弦信號3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.3隨機(jī)幅度的正弦信號3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.3隨機(jī)頻率的正弦信號3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.3幅度、相位和頻率都是隨機(jī)的3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.3幅度、相位和頻率都是隨機(jī)的3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.3幅度、相位和頻率都是隨機(jī)的3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.43.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.53.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.53.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.5253.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.63.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.7273.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.8283.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.83.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.93.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.93.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.9323.1平穩(wěn)隨機(jī)過程-聯(lián)合平穩(wěn)Definition3.4(JointWide-senseStationaryStochastic

Process)3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.103.1平穩(wěn)隨機(jī)過程Exercise3.10353.1平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)第三章平穩(wěn)隨機(jī)過程3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程36兩個(gè)平穩(wěn)過程的典型例子（相同的均值與方差）3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性373.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性問題的提出：我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自然會提出這樣一個(gè)問題：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢?回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替。如何根據(jù)實(shí)驗(yàn)記錄確定平穩(wěn)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)呢？用統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)方法，均值和自相關(guān)函數(shù)近似地為：按照數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)的定義，需要時(shí)一個(gè)平穩(wěn)過程重復(fù)進(jìn)行大量觀察，獲得一族樣本函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化，根據(jù)這一特點(diǎn)，能否通過在一個(gè)很長時(shí)間內(nèi)觀察得到的一個(gè)樣本曲線來估計(jì)平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢？本節(jié)給出的各態(tài)歷經(jīng)定理證實(shí)，只要滿足某些條件，那么均值和自相關(guān)函數(shù)實(shí)際上可以用一個(gè)樣本函數(shù)在整個(gè)時(shí)間軸上的平均值來代替。各態(tài)歷經(jīng)性3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)過程非各態(tài)歷經(jīng)過程隨機(jī)過程的各個(gè)樣本函數(shù)都同樣地經(jīng)歷了隨機(jī)過程的各種可能狀態(tài)，因此從隨機(jī)過程的任何一個(gè)樣本函數(shù)就能得到隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)信息，任何一個(gè)樣本函數(shù)的特性都能充分地代表整個(gè)隨機(jī)過程的特性。各態(tài)歷經(jīng)性3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性Definition3.5(Ergodic

Stochastic

Process)3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性Definition3.5(Ergodic

Stochastic

Process)3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性43Exercise3.113.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性Exercise3.113.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性45Exercise3.113.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性Exercise3.123.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性Exercise3.133.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性48Exercise3.133.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性49Exercise3.143.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性Exercise3.143.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性51Exercise3.143.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性52Exercise3.153.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性續(xù)Theorem3.1(均值遍歷)3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性Theorem3.1(均值遍歷)3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性證畢！Theorem3.1(均值遍歷)3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性56Corollary3.1(均值遍歷)3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性Theorem3.2(自相關(guān)遍歷)3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)定理的重要價(jià)值在于它從理論上給出了如下保證：一個(gè)平穩(wěn)過程X(t)，若0<t<+∞，只要它滿足各態(tài)歷經(jīng)性條件，便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義，從一次試驗(yàn)所得到的樣本函數(shù)x(t)來確定該過程的均值和自相關(guān)函數(shù)。各態(tài)歷經(jīng)性3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性603.1平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)第三章平穩(wěn)隨機(jī)過程3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程61

見下頁3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)Proposition3.1

(Autocorrelation

FunctionofSSP)自相關(guān)函數(shù)的非負(fù)定性是平穩(wěn)過程最本質(zhì)的特性，因?yàn)槿我贿B續(xù)函數(shù)，只要具有非負(fù)定型，那么該函數(shù)必是某平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)Proposition3.1

(Autocorrelation

FunctionofSSP)633.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)Definition3.6(PeroidicStationaryStochastic

Process)Theorem3.3(周期平穩(wěn))643.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)653.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)66

應(yīng)用：3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)673.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)Exercise3.16683.1平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)第三章平穩(wěn)隨機(jī)過程3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程69一維高斯（正態(tài)）分布：

3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程70高斯分布的統(tǒng)計(jì)特性均值：

方差：

高斯分布的特點(diǎn)：全部統(tǒng)計(jì)特性由其均值和方差確定。（注意上圖中均值和方差的涵義）

3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程71

高斯隨機(jī)過程：隨機(jī)過程的任意n維概率密度具有如下的正態(tài)分布特性的隨機(jī)過程稱之。

3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程72

高斯隨機(jī)過程（續(xù)）：參數(shù)的涵義：

3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程73

高斯隨機(jī)過程（續(xù)）：高斯隨機(jī)過程的特點(diǎn)：其統(tǒng)計(jì)特性完全由其一維、二維統(tǒng)計(jì)值：完全確定。

3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程74

高斯隨機(jī)過程的性質(zhì)：（1）寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)等價(jià)。對于寬平穩(wěn)過程，其一階、二階的統(tǒng)計(jì)值滿足：

對高斯過程，其統(tǒng)計(jì)特性完全由其一階、二階統(tǒng)計(jì)值確定，所以寬平穩(wěn)的高斯隨機(jī)過程與嚴(yán)平穩(wěn)的高斯過程等價(jià)。3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程75

高斯隨機(jī)過程的性質(zhì)：（2）不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià)。若隨機(jī)變量兩兩不相關(guān)

注：只涉及其二維統(tǒng)計(jì)特性。則有：3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程76

高斯隨機(jī)過程的性質(zhì)：（2）不相關(guān)與獨(dú)立等價(jià)（續(xù)）。則有：3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程77

通信系統(tǒng)分析中常用的幾個(gè)特殊函數(shù)（1）概率積分函數(shù)3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程78

通信系統(tǒng)分析中常用的幾個(gè)特殊函數(shù)（續(xù)）（2）誤差函數(shù)（3）互補(bǔ)誤差函數(shù)（4）Q函數(shù)

Q函數(shù)是一單調(diào)降函數(shù)3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程79

特殊函數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系（1）（2）（3）3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程80

高斯白噪聲n(t)：幅度取值服從均值為0的高斯分布、功率譜密度滿足：

的一種（理想）的隨機(jī)過程。高斯白噪聲的相關(guān)函數(shù)：高斯白噪聲表達(dá)形式簡單、與通信系統(tǒng)中的信號、熱噪聲等許多干擾有相似的性質(zhì)，故常用作典型信號和噪聲模型。

3.4高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程81

高斯白噪聲的重要性質(zhì)（1）若為確定函數(shù)，則是