第六章 信道編碼

§6.1信道編碼的概念§6.2線形分組碼§6.3循環(huán)碼§6.4卷積碼§6.1.1信道編碼的作用和分類(lèi)§6.1.2：編碼信道§6.1.3：檢錯(cuò)和糾錯(cuò)原理§6.1.4：檢錯(cuò)和糾錯(cuò)方式和能力信道編碼是以信息在信道上的正確傳輸為目標(biāo)的編碼，可分為兩個(gè)層次上的問(wèn)題：如何正確接收載有信息的信號(hào) －－線路編碼如何避免少量差錯(cuò)信號(hào)對(duì)信息內(nèi)容的影響 －－糾錯(cuò)編碼廣義信道編碼=特定信道上傳輸信息而進(jìn)行的傳輸信號(hào)或信號(hào)格式的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

描述編碼

用于對(duì)特定數(shù)據(jù)信號(hào)的描述約束編碼用于對(duì)特定信號(hào)特性的約束擴(kuò)頻編碼用于擴(kuò)展信號(hào)頻譜為近似白噪聲譜并滿足某些相關(guān)特性糾錯(cuò)編碼用于檢測(cè)與糾正信號(hào)傳輸過(guò)程中因噪聲干擾導(dǎo)致的差錯(cuò)1234§6.1.1：信道編碼的作用和分類(lèi)§6.1.3編碼信道§6.1.3：檢錯(cuò)和糾錯(cuò)原理§6.1.4：檢錯(cuò)和糾錯(cuò)方式和能力消息信道編碼

編碼信道

信道譯碼

碼字接收向量消息編碼信道模型n-1

當(dāng)碼字C和接受向量R均由二元序列表時(shí)，稱編碼信道為二進(jìn)制信道

C=(c0,c1,…cn-1)如果對(duì)于任意的n都有：

P(r/c)=∏p(ri/ci)則稱此二進(jìn)制信道為無(wú)記憶二進(jìn)制信道。

p(0/1)=p(1/0)=p0則稱此信道為無(wú)記憶二進(jìn)制對(duì)稱信道BSCi=0BSC轉(zhuǎn)移概率BSC編碼信道BSC輸入輸出關(guān)系等效為差錯(cuò)圖案：隨機(jī)序列

或，

第位上的一個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤：

長(zhǎng)的突發(fā)錯(cuò)誤：第至第

位之間有很多錯(cuò)誤

對(duì)于一個(gè)BSC信道總有轉(zhuǎn)移概率1/2，比特傳輸中發(fā)生差錯(cuò)數(shù)目越少，概率越大，即

從而總認(rèn)為發(fā)生差錯(cuò)的圖案是差錯(cuò)數(shù)目較少的圖案

二元軟判決信道

用多個(gè)比特（理想情況下為實(shí)數(shù)）表示每一個(gè)無(wú)記憶編碼信道的二元符號(hào)輸出

信道干擾z為零均值正態(tài)分布的隨機(jī)變量，噪聲干擾功率為均方差，z的概率分布為。對(duì)于BPSK調(diào)制，二元輸入符號(hào)為二元符號(hào)取值為+1或-1§6.1.1：信道編碼的作用和分類(lèi)§6.1.2：編碼信道§6.1.3檢錯(cuò)和糾錯(cuò)原理§6.1.4：檢錯(cuò)和糾錯(cuò)方式和能力檢糾錯(cuò)是根據(jù)信道輸出序列自身判斷是否可能是發(fā)送的，或糾正導(dǎo)致不等于的錯(cuò)誤。冗余編碼：碼字的長(zhǎng)度一定大于消息的長(zhǎng)度

糾錯(cuò)編碼編碼碼率：每個(gè)碼字的序列符號(hào)（或碼元）平均傳送的消息比特?cái)?shù)

偶（或奇）校驗(yàn)方法：實(shí)現(xiàn)檢糾錯(cuò)目的的一個(gè)基本方法。

一個(gè)偶校驗(yàn)位是對(duì)消息使得如下校驗(yàn)方程成立的二進(jìn)制符號(hào)，即

一個(gè)偶校驗(yàn)碼碼字

一個(gè)碼率為的偶校驗(yàn)碼，所有可能的的全體校驗(yàn)方程為1表明一定有奇數(shù)個(gè)差錯(cuò)，校驗(yàn)方程為0表明可能有偶數(shù)個(gè)差錯(cuò)

m0+m1+m2+…+mk－1+p=0（mod2）

稱c=(m0,m1,m2…mk-1,p)為一個(gè)偶校驗(yàn)字

確定校驗(yàn)位P的編碼方程為：

P=m0+m1+…+mk-1編碼可以產(chǎn)生多個(gè)奇偶校驗(yàn)位，即一個(gè)校驗(yàn)位可以由消息位的部分或全部按某種校驗(yàn)方程產(chǎn)生，例如對(duì)陣列消息進(jìn)行垂直與水平校驗(yàn)以及總校驗(yàn)的碼字和其碼率分別為

重復(fù)消息位：實(shí)現(xiàn)檢糾錯(cuò)目的第二個(gè)基本方法

一個(gè)重復(fù)碼是一個(gè)碼率為的碼，僅有兩個(gè)碼字和，傳送1比特（）消息。

重復(fù)碼可以檢測(cè)出任意小于個(gè)差錯(cuò)的錯(cuò)誤圖案，糾正任意小于個(gè)差錯(cuò)的錯(cuò)誤圖案。糾1位差錯(cuò)的3重復(fù)碼

等重碼或定比碼：實(shí)現(xiàn)檢糾錯(cuò)的第三個(gè)方法。

設(shè)計(jì)碼字重量恒為常數(shù)，即

例如一種用于表示0至9數(shù)字的5中取3等重碼如表（6.1.1）所示，其碼率為

5中取3等重碼

1234567890010111100110110110100011110101111000111010011011015中取3等重碼可以檢測(cè)出全部奇數(shù)位差錯(cuò)，對(duì)某些碼字的傳輸則可以檢測(cè)出部分偶數(shù)位差錯(cuò)§6.1.1：信道編碼的作用和分類(lèi)§6.1.2：編碼信道§6.1.3：檢錯(cuò)和糾錯(cuò)原理§6.1.4檢錯(cuò)和糾錯(cuò)方式和能力糾錯(cuò)碼的應(yīng)用方式：前向糾錯(cuò)方式（FEC），自動(dòng)請(qǐng)求重發(fā)（ARQ）方式，混合糾錯(cuò)（HEC）方式以及信息反饋（IRQ方式）

FEC與ARQ糾錯(cuò)應(yīng)用方式

常用漢明距離來(lái)描述檢糾差錯(cuò)的數(shù)目，對(duì)于兩 n長(zhǎng)向量u，v漢明距離為：

最小漢明距離（最小碼距d）：任意兩碼字之間的漢明距離的最小值

定理

對(duì)一個(gè)最小距離為糾錯(cuò)碼，如下三個(gè)結(jié)論僅有其中任意一個(gè)結(jié)論成立，

（1）

可以檢測(cè)出任意小于等于個(gè)差錯(cuò)；（2）

可以糾正任意小于等于個(gè)差錯(cuò)；（3）可以檢測(cè)出任意小于等于l同時(shí)糾正小于等于t個(gè)差錯(cuò)，其中l(wèi)和t滿足最小碼距與檢糾錯(cuò)能力

差錯(cuò)概率：通信作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)過(guò)程時(shí)，糾檢錯(cuò)能力的統(tǒng)計(jì)特性。FEC方式糾錯(cuò)碼的碼字差錯(cuò)概率：發(fā)送碼字的先驗(yàn)概率

：碼字?jǐn)?shù)，對(duì)于充分隨機(jī)的消息源

對(duì)BSC信道

最大化等價(jià)于最小化，最小差錯(cuò)概率譯碼等價(jià)為使接收向量與輸出碼字距離最小的最小距離譯碼，即

信息比特信噪比：傳輸一個(gè)比特信息所需的最小信噪比

比特差錯(cuò)概率（又稱誤碼率）與信噪比的關(guān)系如下圖所示，采用糾錯(cuò)碼后，達(dá)到同樣比特差錯(cuò)概率實(shí)際需要的信噪比減小量稱為編碼增益。

編碼增益

§6.2線性碼

§6.2.1線性分組碼的描述§6.2.2線性分組碼的譯碼§6.2.3碼例與碼的重構(gòu)§6.2.1線性分組碼的描述§6.2.2線性分組碼的譯碼§6.2.3碼例與碼的重構(gòu)一個(gè)（n,k）線形分組碼C是稱為碼字c的n維向量的集合

C={c|c=mG}其中m為任意的k維向量并稱為消息向量。G是k行n行列秩為k（n≥k）的矩陣并稱為生成矩陣，對(duì)于二元編碼，和是二元向量，是一個(gè)二元矩陣，，向量與矩陣，矩陣與矩陣之間的基本運(yùn)算是模二加和模二乘運(yùn)算。

表6.2.1模二加/乘法表

例6.2.13重復(fù)碼是一個(gè)（3，1）線性分組碼

例6.2.2（4，3）偶校驗(yàn)碼是一個(gè)（4，3）線性分組碼當(dāng)生成矩陣給定時(shí)線性分組碼有如下性質(zhì)：（1）零向量一定是一個(gè)碼字，稱為零碼字；（2）任意兩碼字的和仍是一個(gè)碼字；（3）任意碼字是的行向量的線性組合；（4）線性分組碼的最小距離等于最小非零碼字重量。

由偶校驗(yàn)碼的檢錯(cuò)概念，可以通過(guò)計(jì)算接收向量的所有校驗(yàn)方程值是否為0來(lái)判斷傳輸是否可能有錯(cuò)，那么必有一個(gè)矩陣滿足

顯然的每一列或的每一行確定了一個(gè)可能的分組碼的校驗(yàn)方程，的線性不相關(guān)行數(shù)最少要等于該碼的所有可能的校驗(yàn)方程數(shù)，稱這樣的矩陣為線性分組碼的一致校驗(yàn)矩陣。

由的每一行都是一個(gè)碼字有

由現(xiàn)行空間的理論，當(dāng)H的行秩為r時(shí)，H作為一個(gè)(n,k)線性分組碼的生成矩陣所生成的碼是與G對(duì)應(yīng)空間正交的r維線性子空間，稱為(n,k)線性分組碼的對(duì)偶碼或?qū)ε伎臻g，并且有如下的維數(shù)關(guān)系成立T定理：任何滿足下式的n維向量a均是一（n,k）線形分組碼的碼字

aH=?其中滿足公式的H矩陣形式不唯一，但一個(gè)碼的對(duì)偶碼是惟一的。T系統(tǒng)碼：生成矩陣具有如下形式

在碼字集合不變的情況下，任何一個(gè)線性分組碼都可以一對(duì)一的去對(duì)應(yīng)一個(gè)系統(tǒng)碼。對(duì)于系統(tǒng)碼相應(yīng)的一致校驗(yàn)矩陣注意與仍然滿足。

以線性分組碼的一致校驗(yàn)矩陣為生成產(chǎn)生的線性分組碼稱為原線性分組碼的對(duì)偶碼。例6.2.3一個(gè)（5，3）線性分組碼的

其中到的行初等變換過(guò)程為（表示第i行），

（5，3）線性分組碼碼例

消息mG生成碼字Gs生成碼字對(duì)偶碼碼字00000101001110010111011100000110100101110001101100110011101001110000000111010110110010001101101101011101

00000111010111010011由一致校驗(yàn)矩陣可以比較容易確定線性分組碼的最小碼距

定理

線性分組碼的最小碼距為，當(dāng)且僅當(dāng)其一致校驗(yàn)矩陣H中任意列線性無(wú)關(guān)，某列線性相關(guān)。

該定理實(shí)際給出了計(jì)算線性分組碼最小碼距的一種方法。

§6.2.1線性分組碼的描述§6.2.2線性分組碼的譯碼§6.2.3碼例與碼的重構(gòu)譯碼的概念檢錯(cuò)譯碼：譯碼器輸出為當(dāng)前接收向量r和r是否有差錯(cuò)的標(biāo)志s，即。糾錯(cuò)譯碼的譯碼成功狀態(tài)：譯碼器能夠在達(dá)到譯碼碼字差錯(cuò)概率最小條件下輸出一個(gè)確切的碼字，即。糾錯(cuò)譯碼的譯碼成功狀態(tài)：譯碼器能夠在達(dá)到譯碼碼字差錯(cuò)概率最小條件下輸出一個(gè)確切的碼字，即。糾錯(cuò)譯碼的譯碼失敗狀態(tài)：譯碼器不能輸出一個(gè)確切的碼字，通常此時(shí)的輸出y與檢錯(cuò)譯碼輸出相同。

定義：(n,k）線形分組碼的伴隨式是一個(gè)r(r=n-k)維向量s

，則傳輸中一定有錯(cuò)誤發(fā)生，則傳輸中要么無(wú)差錯(cuò)發(fā)生，要么差錯(cuò)圖案恰好為一個(gè)碼字。

定理

可糾t錯(cuò)的q元線性分組碼滿足

伴隨式糾錯(cuò)譯碼的通用譯碼方法

（1）按最可能出現(xiàn)的個(gè)差錯(cuò)圖案，計(jì)算相應(yīng)的伴隨式，并構(gòu)造伴隨式—差錯(cuò)圖案表；（2）對(duì)接收向量計(jì)算伴隨式；（3）查表得；（4）糾錯(cuò)計(jì)算?！?.2.1線性分組碼的描述§6.2.2線性分組碼的譯碼§6.2.3碼例與碼的重構(gòu)常見(jiàn)的線形分組碼有重復(fù)碼，漢明碼，里德-穆勒碼，戈雷碼（1）漢明碼：二元Hamming碼是一種的完備碼，滿足

其中列向量為全部可能的非零元組。

Hamming碼的對(duì)偶碼是一個(gè)線性分組碼，稱為最大長(zhǎng)度碼，由于所有非零碼字的重量均為，又稱為等距碼或單形（simplex）碼。例6.2.4一個(gè)二元（7，4）Hamming碼的系統(tǒng)碼形式的矩陣和校驗(yàn)矩陣分別為

等價(jià)的編碼方程為

伴隨式計(jì)算方程

（2）Hadamard碼

Hadamard碼是由Hadamard矩陣派生出的一種糾錯(cuò)碼。

階實(shí)Hadamard矩陣由元素為+1，-1的矩陣遞歸定義為

例如

Hadamard矩陣為正交矩陣，即中的任意不同兩行（列）的點(diǎn)積為0，即

超正交矩陣：Hadamard矩陣中的第1列（全+1列）去掉后由于任兩行的點(diǎn)積為-1。

將Hadamard矩陣元素+1/-1映射為0/1，則Hadamard矩陣映射后的行向量為一個(gè)二元向量，以這些二元向量的部份或全體就構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)0/1二元意義上的分組碼，并稱為Hadamard碼。具體的Hadamard碼的選擇構(gòu)成有正交碼、雙正交碼和超正交碼三種形式。

（A）正交碼：以的全部行向量的0/1映射向量為碼字。（B）雙正交碼：以和-的全部行向量的0/1映射向量為碼字。

（C）超正交碼：以的全部行向量的0/1映射向量為碼字。

可以證明正交碼、雙正交碼和超正交碼均是線性分組碼。

例6.2.5（7，3）超正交碼的超正交矩陣和生成矩陣G分別為

(3)里德-穆勒（Reed-Muller）階碼是一種 線性分組碼，滿足其中各個(gè)子矩陣的定義為

1）為矩陣，由全1向量構(gòu)成。2）為矩陣，由所有可能的m元組組成矩陣的列向量。3）為的所有兩不同行向量的叉積構(gòu)成其全部行向量的矩陣。兩向量的叉積為4）為的所有三不同行向量的叉積構(gòu)成其全部行向量的矩陣。5）為的所有個(gè)不同行向量的叉積構(gòu)成其全部行向量的矩陣。

r例6.2.6

的階RM碼的各個(gè)子矩陣有

碼的對(duì)偶碼仍是一個(gè)Reed-Muller碼，為碼。

（4）戈雷碼二元戈雷碼是一種就糾3個(gè)錯(cuò)的完備線形分組碼，滿足：

n=23k=12{由于

因此某種二元（23,12）碼一定可以糾正任意小于等于3個(gè)差錯(cuò)，所以

§6.3循環(huán)碼§6.3.1循環(huán)碼的多項(xiàng)式描述§6.3.2循環(huán)碼的生成矩陣§6.3.4多項(xiàng)式運(yùn)算電路§6.3.3系統(tǒng)循環(huán)碼§6.3.5循環(huán)碼的編碼電路§6.3.6循環(huán)碼的伴隨多項(xiàng)式與檢測(cè)§6.3.7BCH碼與RS碼

更好的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)線性分組碼的方法是引入特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)界定某一類(lèi)線性分組碼。循環(huán)碼即是采用循環(huán)移位特性界定的一類(lèi)線性分組碼。

6.3.1循環(huán)碼的多項(xiàng)式描述定義如果一個(gè)線性分組碼的任意一個(gè)碼字c(n元組)都是另外一個(gè)碼字c’的循環(huán)移位,稱此線性分組碼為一個(gè)循環(huán)碼.

將循環(huán)碼的碼字用多項(xiàng)式c(x)，稱為碼多項(xiàng)式（簡(jiǎn)稱碼式）表示后，循環(huán)碼集合表示C(x),

例6.3.2如下確定的CA是線性循環(huán)碼，CB是非循環(huán)的線性分組碼，CC是非線性的循環(huán)碼。

，

，

定理：

（n,k）循環(huán)碼C(x)中存在唯一的一個(gè)非零的，首一的和最低次為r（r<n）的碼

多項(xiàng)式g(x)滿足：

g(x)=xr+gr-1xr-1+….+g1X+g0

g0≠0

r=n-k并且c(x)是碼式當(dāng)且僅當(dāng)c(x)是g(x)的倍式定義由上述定理確定的碼式g(x)稱為循環(huán)碼(n,k)的生成多項(xiàng)式.

因此(n,k)循環(huán)碼的構(gòu)造是如何構(gòu)造生成多項(xiàng)式g(x)。

循環(huán)碼由生成多項(xiàng)式的倍式組成定理：

g(x)是（n,k）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式，當(dāng)且僅當(dāng)g(x)是xn-1的r=n-k次因式。6.3.2循環(huán)碼的生成矩陣和校驗(yàn)矩陣(n,k)循環(huán)碼的生成矩陣為(n,k)循環(huán)碼的校驗(yàn)矩陣為6.3.3系統(tǒng)循環(huán)碼循環(huán)碼的系統(tǒng)碼碼式為6.3.4多項(xiàng)式運(yùn)算電路因?yàn)槎囗?xiàng)式表示時(shí)間序列所以多項(xiàng)式的計(jì)算表現(xiàn)為對(duì)時(shí)間序列的操作.多項(xiàng)式a(x)與b(x相加電路

a(x)與g(x)的一般乘法電路非循環(huán)碼編碼器

根據(jù)多項(xiàng)式乘法電路和循環(huán)碼碼式是生多項(xiàng)式倍式原理，多項(xiàng)式乘法電路(圖6.3.4)是循環(huán)碼的非系統(tǒng)碼電路，又稱為循環(huán)碼乘法編碼電路圖6.3.42.系統(tǒng)編碼電路

循環(huán)碼系統(tǒng)編碼電路由乘法電路，求余式電路以及加法開(kāi)關(guān)電路組成,如圖6.3.14所示,電路工作過(guò)程如表6.3.2所示.圖6.3.14表6.3.2循環(huán)碼系統(tǒng)碼編碼電路工作過(guò)程循環(huán)碼的譯碼分成檢錯(cuò)譯碼與糾錯(cuò)譯碼兩類(lèi).1.檢錯(cuò)譯碼原理2.糾錯(cuò)譯碼循環(huán)碼的糾錯(cuò)譯碼要達(dá)到碼的最小距離依賴于具體的循環(huán)碼的結(jié)構(gòu).§6.3.1循環(huán)碼的多項(xiàng)式描述§6.3.2循環(huán)碼的生成矩陣§6.3.3系統(tǒng)循環(huán)碼§6.3.4多項(xiàng)式運(yùn)算電路§6.3.5循環(huán)碼的編碼電路§6.3.6循環(huán)碼的伴隨多項(xiàng)式與檢測(cè)§6.3.7BCH碼與RS碼BCH碼是一類(lèi)能夠先確定糾錯(cuò)能力t，然后設(shè)計(jì)碼長(zhǎng)和生成多項(xiàng)式的碼。對(duì)于任意的整數(shù)m和可達(dá)到糾錯(cuò)數(shù)t，都可以構(gòu)造出一個(gè)設(shè)計(jì)距離為d0的二元本原BCH碼滿足：

n=2m-1,r=n-k≤mt,dmin≥d0=2t+1RS碼是多元BCH碼的一個(gè)子類(lèi)，碼字向量的每個(gè)分量可以表示`為m比特，其基本參數(shù)為：碼長(zhǎng)：n=2m-1(符號(hào))=m(2m-1)（比特）

校驗(yàn)位長(zhǎng)：r=n-k=2t(符號(hào))=m·2t其中t為RS碼可以糾正的差錯(cuò)符號(hào)數(shù).§6.4卷積碼§6.4.2卷積碼的多項(xiàng)式描述

§6.4.3卷積碼的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與格描述§6.4.4維特比（Viterbi）譯碼算法§6.4.1卷積碼的矩陣描述§6.4.1卷積碼的矩陣描述§6.4.2卷積碼的多項(xiàng)式描述§6.4.3卷積碼的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與格描述§6.4.4維特比（Viterbi）譯碼算法卷積碼編碼：當(dāng)前輸出

不僅與當(dāng)前輸入消息

相關(guān)，還與此前輸入的

個(gè)消息

相關(guān)，

二元線性卷積碼：是僅由模二加運(yùn)算組成的布爾函數(shù)

的長(zhǎng)度恒為

比特，

的長(zhǎng)度恒為

n比特，均稱為一段

任意一輸入段

與輸出段

的關(guān)系都是一個(gè)特殊的

線性分組碼的編碼

卷積編碼的離散卷積表達(dá)式卷積碼的記憶長(zhǎng)度（段）：

約束長(zhǎng)度（段）：

或

結(jié)尾處理：額外輸入

段無(wú)效的0數(shù)據(jù)

比特，保證編碼器回到全0的初態(tài)

有限

段長(zhǎng)消息的編碼速率為：

漸近編碼速率：

卷積碼的生成矩陣

二元線性

卷積碼

定義基本生成矩陣

：生成矩陣

的前

行，

列組成的子矩陣

第

個(gè)生成元

：

的第

行，描述

了所有各段輸入中的第

位輸入比特

對(duì)所有輸出比特的影響

將的元素

的列下標(biāo)

表示為

則輸入移位寄存器中的第

段的第

位輸入比特

參與第

位輸出比特的編碼

<-->

不參與第

位輸出比特的編碼<-->

卷積碼的子生成元或生成序列：

元組

線性卷積碼的矩陣（或向量）描述：

生成矩陣

，基本生成矩陣

，生成序列（生成元）

系統(tǒng)卷積碼：卷積碼每段輸出的

位中有

位（如當(dāng)前

位）恒等于每段輸入的

位

其中

均為

矩陣。

由于對(duì)每個(gè)獨(dú)立的輸入段（每段

比特，共3段）分別有

基本生成矩陣

為

，生成矩陣為

，生成元為

，生成

序列為

§6.4.1卷積碼的矩陣描述§6.4.2卷積碼的多項(xiàng)式描述§6.4.3卷積碼的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與格描述§6.4.4維特比（Viterbi）譯碼算法6.4.2卷積碼的多項(xiàng)式描述消息段序列的多項(xiàng)式表示多項(xiàng)式描述更直接的描述了（二元）

卷積碼作為一個(gè)

（比特）入，

（比特）

出的編碼關(guān)系

編碼輸出段序列的多項(xiàng)式表示線性

卷積碼的多項(xiàng)式表達(dá)式為

線性

卷積碼的多項(xiàng)式矩陣

：為

的多項(xiàng)式矩陣

又稱

為卷積碼的延遲算子生成矩陣。定理

線性

卷積碼的多項(xiàng)式生成矩陣

對(duì)

滿足

的

冪次項(xiàng)系數(shù)等于

生成序列

的第

個(gè)分量，

1即

的最大次數(shù)等于卷積碼的記

憶長(zhǎng)度

，即

2例6.4.5

前述例（2,1,2）卷積碼重畫(huà)如圖

§6.4.1卷積碼的矩陣描述§6.4.2卷積碼的多項(xiàng)式描述§6.4.3卷積碼的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖與格描述§6.4.4維特比（Viterbi）譯碼算法卷積碼與分組碼的明顯區(qū)別是卷積碼編碼器要存儲(chǔ)m段信息，這些信息數(shù)據(jù)既要因新的輸入而改變，又要影響當(dāng)前的編碼輸出，因此稱存儲(chǔ)表達(dá)這些數(shù)據(jù)的參量為卷積編碼器的內(nèi)部狀態(tài)，簡(jiǎn)稱狀態(tài)。狀態(tài)：既要因新的輸入而改變，又要

影響當(dāng)前的編碼輸出的數(shù)據(jù)。

卷積編碼器有效的存貯單元數(shù)為

其中

為每個(gè)輸入移位寄存器的

有效級(jí)數(shù)（寄存單元數(shù)）。因此二元卷積

碼的狀態(tài)變量記為狀態(tài)向量

或簡(jiǎn)記為

狀態(tài)數(shù)：二元

卷積碼共有

個(gè)不同的狀態(tài)，記為

狀態(tài)轉(zhuǎn)移：當(dāng)狀態(tài)為

（或

）時(shí)，

輸入段

（或

）產(chǎn)生編碼輸出段

（或

），并使該

狀態(tài)改變（稱為

轉(zhuǎn)移）到新的狀態(tài)

（或

）。

轉(zhuǎn)移分支：到

的轉(zhuǎn)移過(guò)程，記為

（

，

）或（

，

），并標(biāo)

記為

或

分支為有向邊描述卷積碼的所有不同狀態(tài)

轉(zhuǎn)移的有向圖

狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：以狀態(tài)為結(jié)點(diǎn)，轉(zhuǎn)移

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

與

的關(guān)系

輸出方程：

與

的關(guān)系

盡管卷積碼有

個(gè)狀態(tài)，但是由于每段

的輸入為

比特只有

種狀態(tài)的變

化，每個(gè)狀態(tài)只轉(zhuǎn)移到

個(gè)狀態(tài)的某個(gè)

子集（個(gè)狀態(tài)）中去，每個(gè)狀態(tài)

也只能由某

個(gè)狀態(tài)的狀態(tài)子集轉(zhuǎn)移

而來(lái)。

例6.4.10狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖（閉合形）

狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖（開(kāi)放形）

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和輸出方程分別為

卷積編碼器工作過(guò)程：

*卷積編碼器工作初態(tài)為（全0狀態(tài)）

*消息段序列產(chǎn)生輸出段序列

*消息段序列產(chǎn)生狀態(tài)序列

柵格圖或籬笆圖：開(kāi)放形的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖按時(shí)間順序級(jí)聯(lián)

編碼路徑：狀態(tài)序列在柵格圖中形成一條有向路徑

一個(gè)卷積碼碼字：有向路徑始于全0狀態(tài)，又終于時(shí)的一條有向路徑

對(duì)于的卷積碼，常用實(shí)線表示 時(shí)輸入產(chǎn)生的轉(zhuǎn)移分支，用虛線表示 時(shí)輸入產(chǎn)生的轉(zhuǎn)移分支

例6.4.13

前述例6.4.1（2，1，2）碼的柵格圖及幾條路徑例

路徑A消息A（100）輸出A（111011）路徑B消息B（10110）輸出B（1110000101）路徑C消息C（110100）輸出C（1101100111）

（1）卷積碼的一個(gè)分支或轉(zhuǎn)移是柵格圖（或狀態(tài)圖）中接續(xù)狀態(tài)的容許連接。（2）

卷積碼的一條路徑是可容許連接的分支串。（3）

卷積碼的碼字是始于零狀態(tài)并首次終于零狀態(tài)的路徑。結(jié)論§6.4.1