第四章 平面問(wèn)題有限單元法

第四章

平面問(wèn)題的有限單元法彈性力學(xué)的平面應(yīng)力問(wèn)題基本條件（1）等厚度的薄板；（2）體力作用于體內(nèi)，平行于板的中面，沿板厚不變；（3）面力作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變；（4）約束作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變。彈性力學(xué)的平面應(yīng)力問(wèn)題坐標(biāo)系：由于兩板面上無(wú)面力和約束作用：由于薄板很薄，應(yīng)力是連續(xù)變化的，又無(wú)z向外力，可認(rèn)為：簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題，僅剩：其值與z無(wú)關(guān)彈性力學(xué)的平面應(yīng)變問(wèn)題基本條件（1）很長(zhǎng)的常截面柱；（2）體力作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體長(zhǎng)度方向不變；（3）面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長(zhǎng)度方向不變；（4）約束作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長(zhǎng)度方向不變。彈性力學(xué)的平面應(yīng)變問(wèn)題坐標(biāo)系：由于截面、外力、約束沿z向不變，外力、約束平行xy面，柱體非常長(zhǎng)：故任何z面（截面）均為對(duì)稱面。簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題：其值與z無(wú)關(guān)以平面應(yīng)力問(wèn)題為例介紹

平面問(wèn)題的有限單元法平面應(yīng)力單元類型平面應(yīng)力單元類型簡(jiǎn)介3節(jié)點(diǎn)三角形單元4節(jié)點(diǎn)4邊形單元8節(jié)點(diǎn)4邊形曲邊單元節(jié)點(diǎn)位移分量每節(jié)點(diǎn)2個(gè)位移分量（自由度）x方向的位移u，y方向的位移v單元位移分量（4節(jié)點(diǎn)）jik三角形單元單元ekijl單元e四邊形單元123456788節(jié)點(diǎn)單元單元e平面應(yīng)力單元網(wǎng)格劃分應(yīng)力梯度變化比較大的地方，網(wǎng)格應(yīng)密一些有應(yīng)力集中的地方，網(wǎng)格應(yīng)密一些單元邊界長(zhǎng)度不要相差過(guò)大單元各邊夾角不要太大集中載荷處要設(shè)置節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)不同材料交界面處要設(shè)置節(jié)點(diǎn)并作為單元邊界結(jié)構(gòu)厚度突變處要設(shè)置節(jié)點(diǎn)并作為單元邊界分布載荷突變處要設(shè)置節(jié)點(diǎn)施加位移約束處要設(shè)置節(jié)點(diǎn)注意單元間的連接平面應(yīng)力單元網(wǎng)格劃分設(shè)置節(jié)點(diǎn)設(shè)置節(jié)點(diǎn)材料A材料B界面這樣不行病態(tài)單元a-邊長(zhǎng)差別太大b-邊長(zhǎng)差別太大c-邊夾角太大abc單元節(jié)點(diǎn)信息節(jié)點(diǎn)信息節(jié)點(diǎn)號(hào)xyz100021003200421051106010700.50810.50920.50單元拓?fù)湫畔卧?hào)節(jié)點(diǎn)i節(jié)點(diǎn)j節(jié)點(diǎn)k節(jié)點(diǎn)l材料編號(hào)其它常數(shù)112871278561358941439881582331以最經(jīng)典的三角形單元為例單元位移函數(shù)（位移模式）單元位移模式概念單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移要用節(jié)點(diǎn)上的位移值近似表達(dá)出來(lái)，這就需要假定一個(gè)近似函數(shù)來(lái)表示單元內(nèi)的位移分布，所選擇的近似函數(shù)就稱為單元位移函數(shù)或單元位移模式。對(duì)于彈性力學(xué)平面問(wèn)題，一般選擇多項(xiàng)式(polynomial)來(lái)作為單元內(nèi)的位移解或插值函數(shù)或位移模式。一維單元二維單元多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)越多，結(jié)果就越精確，但取多少項(xiàng)由單元形式?jīng)Q定。三角單元的位移函數(shù)節(jié)點(diǎn)上只有六個(gè)位移分量，所以單元內(nèi)部位移函數(shù)的待定參數(shù)不能超過(guò)這個(gè)數(shù)目?？杉僭O(shè)單元內(nèi)部位移為x、y的線性函數(shù)：參數(shù)ai由位移邊界條件確定。三角單元的位移函數(shù)節(jié)點(diǎn)i節(jié)點(diǎn)j節(jié)點(diǎn)k于是：三角單元的位移函數(shù)如果令則：根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)，可知：三角單元的位移函數(shù)T*為T的伴隨矩陣其中：三角單元的位移函數(shù)把求得的系數(shù)代入位移函數(shù)公式：得到：三角單元的位移函數(shù)表達(dá)為矩陣形式：這里：Ni,Nj,Nk是坐標(biāo)的函數(shù)，它們反映了單元的位移形態(tài)，故稱為三角單元的形態(tài)函數(shù)（或形函數(shù)）三角單元的位移函數(shù)形函數(shù)具有明確的幾何意義：如圖所示三角單元IJK，P為三角單元內(nèi)任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)為(x,y)P點(diǎn)在三角單元各角點(diǎn)上產(chǎn)生的形函數(shù)分別是Ni,Nj,Nk同理：三角單元的位移函數(shù)位移函數(shù)運(yùn)用示例：已知各節(jié)點(diǎn)位移為：求P點(diǎn)位移P點(diǎn)的位移可由節(jié)點(diǎn)位移近似表示為三角單元的位移函數(shù)于是：三角單元的位移函數(shù)形函數(shù)的本質(zhì)計(jì)算點(diǎn)(x,y)的位移u(x,y)、v(x,y)可用單元內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的位移值ui,vi的加權(quán)之和來(lái)近似表示，其中，各節(jié)點(diǎn)位移加權(quán)系數(shù)為關(guān)于計(jì)算點(diǎn)(x,y)的函數(shù)，即為形函數(shù)三角形單元形函數(shù)的性質(zhì)1、單元節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的形函數(shù)值為1或02、形函數(shù)之和等于1位移函數(shù)應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足：?jiǎn)卧獌?nèi)位移模式必須是連續(xù)的，公共邊上位移必須協(xié)調(diào)位移模式必須反映單元的剛體位移位移模式必須反映單元的常應(yīng)變可以證明三節(jié)點(diǎn)三角形單元是收斂的完備單元和協(xié)調(diào)單元三條準(zhǔn)則：1、位移模式必須包含單元的剛體位移2、位移模式必須能包含單元的常應(yīng)變3、位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、并使相鄰單元間的位移必須協(xié)調(diào)滿足條件1、2的單元為完備單元滿足條件3的單元為協(xié)調(diào)單元應(yīng)變的離散過(guò)程應(yīng)變的離散過(guò)程根據(jù)彈性力學(xué)中的幾何關(guān)系，單元內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)的應(yīng)變表達(dá)式為矩陣形式應(yīng)變的離散過(guò)程應(yīng)變的離散過(guò)程單元內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)的位移(u,v)可以采用節(jié)點(diǎn)位移近似表示：將其代入應(yīng)變表達(dá)式，則應(yīng)變的離散過(guò)程應(yīng)變的離散過(guò)程為書寫方便，應(yīng)變分量矩陣可用分塊矩陣表示簡(jiǎn)寫為：B也稱為“應(yīng)變矩陣”應(yīng)變的離散過(guò)程應(yīng)變的離散過(guò)程由于形函數(shù)所以剛才的矩陣事實(shí)上可表示為B矩陣中的所有元素已經(jīng)由三角形單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)確定。應(yīng)變?cè)趩卧獌?nèi)為常數(shù)，所以又稱為常應(yīng)變單元。應(yīng)力的離散過(guò)程應(yīng)力的離散過(guò)程根據(jù)廣義虎克定律，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題：矩陣形式物理方程應(yīng)力的離散過(guò)程應(yīng)力的離散過(guò)程如果令：物理方程簡(jiǎn)寫為D又稱為“彈性矩陣”將前面應(yīng)變的表達(dá)式代入，則虛位移與虛應(yīng)變我們已經(jīng)知道了應(yīng)變與位移的關(guān)系那么很自然的如果發(fā)生了虛位移則會(huì)發(fā)生虛應(yīng)變虛功原理建立控制方程外力虛功等于內(nèi)力虛功。外力虛功內(nèi)力虛功其具體可計(jì)算為：虛功原理建立控制方程外力虛功等于內(nèi)力虛功。結(jié)果：考慮到節(jié)點(diǎn)虛位移的任意性：上式即為有限元控制方程。此處K稱為“剛度矩陣”剛度矩陣如果將求解域劃分為多個(gè)單元，則即總體剛度矩陣（總剛）單元?jiǎng)偠染仃嚕▎蝿偅﹩卧獎(jiǎng)偠染仃嚾?jié)點(diǎn)等厚三角形單元中B和D的分量均為常量，則單元?jiǎng)偠染仃嚳梢员硎緸槠渚唧w形式為單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，其具體可計(jì)算如下：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x把前面獲得的有限元控制方程展開(kāi)：那么事實(shí)上就是當(dāng)節(jié)點(diǎn)j產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i上需要施加的節(jié)點(diǎn)力。單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x更具體一點(diǎn)：當(dāng)節(jié)點(diǎn)i在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i上需要施加的垂直節(jié)點(diǎn)力

當(dāng)節(jié)點(diǎn)j在水平方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)j上需要施加的水平節(jié)點(diǎn)力當(dāng)節(jié)點(diǎn)j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i上需要施加的水平節(jié)點(diǎn)力當(dāng)節(jié)點(diǎn)i在水平方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)j上需要施加的垂直節(jié)點(diǎn)力單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)性質(zhì)1：對(duì)稱性單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)性質(zhì)2：對(duì)角線上元素恒為正單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)性質(zhì)3：此矩陣為奇異矩陣意義：沒(méi)有對(duì)節(jié)點(diǎn)施加位移約束，所以單元產(chǎn)生任何的剛性位移都是可以的，由力得不到位移的唯一解。性質(zhì)4：此矩陣的各行元素之和為零，由于對(duì)稱性，各列元素之和也為零。整體剛度矩陣的形成單元?jiǎng)偠染仃囆纬珊?，要將單元組成一個(gè)整體結(jié)構(gòu)，即整體分析，基本方法是剛度集成法，即整體剛度矩陣是單元?jiǎng)偠染仃嚨募伞Ｕw剛度矩陣的集成是按對(duì)號(hào)入座的方式疊加的。用下面的三角形薄板作為示例：共計(jì)4個(gè)單元，單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)為：整體剛度矩陣的形成各個(gè)單元的剛度矩陣為：整體剛度矩陣的形成設(shè)單元節(jié)點(diǎn)總數(shù)為N，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)為NDOF。(對(duì)于一維情況，NDOF=1；對(duì)于二維情況，NDOF=2；三維，NDOF=3)。如果是二維問(wèn)題，則總自由度數(shù)為2N個(gè)，相應(yīng)的整體剛度矩陣大小為2N×2N階方陣。整體剛度矩陣的意義與性質(zhì)Kij表示j自由度發(fā)生單位位移，其他位移為零時(shí)，第i個(gè)自由度上必須施加的節(jié)點(diǎn)力?？傮w剛度矩陣中的元素具有如下性質(zhì)：（1）主對(duì)角元素Kii

>0（2）總體剛度矩陣K是對(duì)稱的奇異矩陣（3）總體剛度矩陣K是帶狀稀疏矩陣。

整體剛度矩陣的存儲(chǔ)由于整體剛度矩陣具有對(duì)稱性、稀疏性和非零元素帶狀分布的特點(diǎn)，所以沒(méi)有必要將全部的整體剛度矩陣進(jìn)行存儲(chǔ)。（1）利用對(duì)稱性：只保存整體剛度矩陣上(下)三角的帶寬內(nèi)元素即可；（2）利用稀疏性：在用分塊表示的整體剛度矩陣中，與相關(guān)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分塊才能具有非零的元素，其他位置上的分塊矩陣的元素為零（3）利用帶狀分布：整體剛度矩陣的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶狀區(qū)域中，每行具有元素的元素的個(gè)數(shù)叫做“半帶寬”，用D表示。

整體剛度矩陣的存儲(chǔ)各行的半帶寬D怎么計(jì)算：整體剛度矩陣的存儲(chǔ)可用一維數(shù)組A來(lái)存儲(chǔ)半帶寬內(nèi)的元素，而不必儲(chǔ)存所有元素。本例中：總帶寬則可以采用如下方式存儲(chǔ)：整體剛度矩陣的存儲(chǔ)最大半帶寬是多少？相鄰節(jié)點(diǎn)的編碼最大差值+1）×NDOFDmax=(10-6+1)×2=10設(shè)整體剛度矩陣K是一個(gè)n×n的矩陣,其最大半帶寬為D，那么利用帶狀矩陣的特點(diǎn)和對(duì)稱性，只需要存儲(chǔ)以D為固定寬度的元素，這種存儲(chǔ)方法稱為二維等帶寬存儲(chǔ)。整體剛度矩陣的存儲(chǔ)元素Krs在整剛矩陣K中的行列編碼記為r，s，在二維等帶寬矩陣K*中的行列編碼為r*，s*邊界條件的處理非節(jié)點(diǎn)載荷的移植：集中力：最好在集中力處設(shè)置節(jié)點(diǎn)分布面力：分布體力：邊界條件的處理事實(shí)上，由于整體剛度矩陣的奇異性，仍然是沒(méi)有辦法求解。原因在于位移邊界條件沒(méi)有引入。方法一：劃零置一法若已知邊界條件：則邊界條件的處理事實(shí)上，由于整體剛度矩陣的奇異性，仍然是沒(méi)有辦法求解。原因在于位移邊界條件沒(méi)有引入。方法一：乘大數(shù)法若已知邊界條件：則M是很大的