第四章 平面問題有限單元法

第四章

平面問題的有限單元法彈性力學的平面應力問題基本條件（1）等厚度的薄板；（2）體力作用于體內(nèi)，平行于板的中面，沿板厚不變；（3）面力作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變；（4）約束作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變。彈性力學的平面應力問題坐標系：由于兩板面上無面力和約束作用：由于薄板很薄，應力是連續(xù)變化的，又無z向外力，可認為：簡化為平面應力問題，僅剩：其值與z無關(guān)彈性力學的平面應變問題基本條件（1）很長的常截面柱；（2）體力作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；（3）面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；（4）約束作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變。彈性力學的平面應變問題坐標系：由于截面、外力、約束沿z向不變，外力、約束平行xy面，柱體非常長：故任何z面（截面）均為對稱面。簡化為平面應變問題：其值與z無關(guān)以平面應力問題為例介紹

平面問題的有限單元法平面應力單元類型平面應力單元類型簡介3節(jié)點三角形單元4節(jié)點4邊形單元8節(jié)點4邊形曲邊單元節(jié)點位移分量每節(jié)點2個位移分量（自由度）x方向的位移u，y方向的位移v單元位移分量（4節(jié)點）jik三角形單元單元ekijl單元e四邊形單元123456788節(jié)點單元單元e平面應力單元網(wǎng)格劃分應力梯度變化比較大的地方，網(wǎng)格應密一些有應力集中的地方，網(wǎng)格應密一些單元邊界長度不要相差過大單元各邊夾角不要太大集中載荷處要設(shè)置節(jié)點結(jié)構(gòu)不同材料交界面處要設(shè)置節(jié)點并作為單元邊界結(jié)構(gòu)厚度突變處要設(shè)置節(jié)點并作為單元邊界分布載荷突變處要設(shè)置節(jié)點施加位移約束處要設(shè)置節(jié)點注意單元間的連接平面應力單元網(wǎng)格劃分設(shè)置節(jié)點設(shè)置節(jié)點材料A材料B界面這樣不行病態(tài)單元a-邊長差別太大b-邊長差別太大c-邊夾角太大abc單元節(jié)點信息節(jié)點信息節(jié)點號xyz100021003200421051106010700.50810.50920.50單元拓撲信息單元號節(jié)點i節(jié)點j節(jié)點k節(jié)點l材料編號其它常數(shù)112871278561358941439881582331以最經(jīng)典的三角形單元為例單元位移函數(shù)（位移模式）單元位移模式概念單元內(nèi)任一點的位移要用節(jié)點上的位移值近似表達出來，這就需要假定一個近似函數(shù)來表示單元內(nèi)的位移分布，所選擇的近似函數(shù)就稱為單元位移函數(shù)或單元位移模式。對于彈性力學平面問題，一般選擇多項式(polynomial)來作為單元內(nèi)的位移解或插值函數(shù)或位移模式。一維單元二維單元多項式的項數(shù)越多，結(jié)果就越精確，但取多少項由單元形式?jīng)Q定。三角單元的位移函數(shù)節(jié)點上只有六個位移分量，所以單元內(nèi)部位移函數(shù)的待定參數(shù)不能超過這個數(shù)目?？杉僭O(shè)單元內(nèi)部位移為x、y的線性函數(shù)：參數(shù)ai由位移邊界條件確定。三角單元的位移函數(shù)節(jié)點i節(jié)點j節(jié)點k于是：三角單元的位移函數(shù)如果令則：根據(jù)線性代數(shù)的知識，可知：三角單元的位移函數(shù)T*為T的伴隨矩陣其中：三角單元的位移函數(shù)把求得的系數(shù)代入位移函數(shù)公式：得到：三角單元的位移函數(shù)表達為矩陣形式：這里：Ni,Nj,Nk是坐標的函數(shù)，它們反映了單元的位移形態(tài)，故稱為三角單元的形態(tài)函數(shù)（或形函數(shù)）三角單元的位移函數(shù)形函數(shù)具有明確的幾何意義：如圖所示三角單元IJK，P為三角單元內(nèi)任意一點，其坐標為(x,y)P點在三角單元各角點上產(chǎn)生的形函數(shù)分別是Ni,Nj,Nk同理：三角單元的位移函數(shù)位移函數(shù)運用示例：已知各節(jié)點位移為：求P點位移P點的位移可由節(jié)點位移近似表示為三角單元的位移函數(shù)于是：三角單元的位移函數(shù)形函數(shù)的本質(zhì)計算點(x,y)的位移u(x,y)、v(x,y)可用單元內(nèi)各節(jié)點的位移值ui,vi的加權(quán)之和來近似表示，其中，各節(jié)點位移加權(quán)系數(shù)為關(guān)于計算點(x,y)的函數(shù)，即為形函數(shù)三角形單元形函數(shù)的性質(zhì)1、單元節(jié)點產(chǎn)生的形函數(shù)值為1或02、形函數(shù)之和等于1位移函數(shù)應滿足的條件應滿足：單元內(nèi)位移模式必須是連續(xù)的，公共邊上位移必須協(xié)調(diào)位移模式必須反映單元的剛體位移位移模式必須反映單元的常應變可以證明三節(jié)點三角形單元是收斂的完備單元和協(xié)調(diào)單元三條準則：1、位移模式必須包含單元的剛體位移2、位移模式必須能包含單元的常應變3、位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、并使相鄰單元間的位移必須協(xié)調(diào)滿足條件1、2的單元為完備單元滿足條件3的單元為協(xié)調(diào)單元應變的離散過程應變的離散過程根據(jù)彈性力學中的幾何關(guān)系，單元內(nèi)任一點(x,y)的應變表達式為矩陣形式應變的離散過程應變的離散過程單元內(nèi)任一點(x,y)的位移(u,v)可以采用節(jié)點位移近似表示：將其代入應變表達式，則應變的離散過程應變的離散過程為書寫方便，應變分量矩陣可用分塊矩陣表示簡寫為：B也稱為“應變矩陣”應變的離散過程應變的離散過程由于形函數(shù)所以剛才的矩陣事實上可表示為B矩陣中的所有元素已經(jīng)由三角形單元的節(jié)點坐標確定。應變在單元內(nèi)為常數(shù)，所以又稱為常應變單元。應力的離散過程應力的離散過程根據(jù)廣義虎克定律，對于平面應力問題：矩陣形式物理方程應力的離散過程應力的離散過程如果令：物理方程簡寫為D又稱為“彈性矩陣”將前面應變的表達式代入，則虛位移與虛應變我們已經(jīng)知道了應變與位移的關(guān)系那么很自然的如果發(fā)生了虛位移則會發(fā)生虛應變虛功原理建立控制方程外力虛功等于內(nèi)力虛功。外力虛功內(nèi)力虛功其具體可計算為：虛功原理建立控制方程外力虛功等于內(nèi)力虛功。結(jié)果：考慮到節(jié)點虛位移的任意性：上式即為有限元控制方程。此處K稱為“剛度矩陣”剛度矩陣如果將求解域劃分為多個單元，則即總體剛度矩陣（總剛）單元剛度矩陣（單剛）單元剛度矩陣三節(jié)點等厚三角形單元中B和D的分量均為常量，則單元剛度矩陣可以表示為其具體形式為單元剛度矩陣對于平面應力問題，其具體可計算如下：單元剛度矩陣的物理意義把前面獲得的有限元控制方程展開：那么事實上就是當節(jié)點j產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i上需要施加的節(jié)點力。單元剛度矩陣的物理意義更具體一點：當節(jié)點i在垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i上需要施加的垂直節(jié)點力

當節(jié)點j在水平方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點j上需要施加的水平節(jié)點力當節(jié)點j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i上需要施加的水平節(jié)點力當節(jié)點i在水平方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點j上需要施加的垂直節(jié)點力單元剛度矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1：對稱性單元剛度矩陣的性質(zhì)性質(zhì)2：對角線上元素恒為正單元剛度矩陣的性質(zhì)性質(zhì)3：此矩陣為奇異矩陣意義：沒有對節(jié)點施加位移約束，所以單元產(chǎn)生任何的剛性位移都是可以的，由力得不到位移的唯一解。性質(zhì)4：此矩陣的各行元素之和為零，由于對稱性，各列元素之和也為零。整體剛度矩陣的形成單元剛度矩陣形成后，要將單元組成一個整體結(jié)構(gòu)，即整體分析，基本方法是剛度集成法，即整體剛度矩陣是單元剛度矩陣的集成。整體剛度矩陣的集成是按對號入座的方式疊加的。用下面的三角形薄板作為示例：共計4個單元，單元節(jié)點編號為：整體剛度矩陣的形成各個單元的剛度矩陣為：整體剛度矩陣的形成設(shè)單元節(jié)點總數(shù)為N，每個節(jié)點的自由度數(shù)為NDOF。(對于一維情況，NDOF=1；對于二維情況，NDOF=2；三維，NDOF=3)。如果是二維問題，則總自由度數(shù)為2N個，相應的整體剛度矩陣大小為2N×2N階方陣。整體剛度矩陣的意義與性質(zhì)Kij表示j自由度發(fā)生單位位移，其他位移為零時，第i個自由度上必須施加的節(jié)點力。總體剛度矩陣中的元素具有如下性質(zhì)：（1）主對角元素Kii

>0（2）總體剛度矩陣K是對稱的奇異矩陣（3）總體剛度矩陣K是帶狀稀疏矩陣。

整體剛度矩陣的存儲由于整體剛度矩陣具有對稱性、稀疏性和非零元素帶狀分布的特點，所以沒有必要將全部的整體剛度矩陣進行存儲。（1）利用對稱性：只保存整體剛度矩陣上(下)三角的帶寬內(nèi)元素即可；（2）利用稀疏性：在用分塊表示的整體剛度矩陣中，與相關(guān)節(jié)點對應的分塊才能具有非零的元素，其他位置上的分塊矩陣的元素為零（3）利用帶狀分布：整體剛度矩陣的非零元素分布在以對角線為中心的帶狀區(qū)域中，每行具有元素的元素的個數(shù)叫做“半帶寬”，用D表示。

整體剛度矩陣的存儲各行的半帶寬D怎么計算：整體剛度矩陣的存儲可用一維數(shù)組A來存儲半帶寬內(nèi)的元素，而不必儲存所有元素。本例中：總帶寬則可以采用如下方式存儲：整體剛度矩陣的存儲最大半帶寬是多少？相鄰節(jié)點的編碼最大差值+1）×NDOFDmax=(10-6+1)×2=10設(shè)整體剛度矩陣K是一個n×n的矩陣,其最大半帶寬為D，那么利用帶狀矩陣的特點和對稱性，只需要存儲以D為固定寬度的元素，這種存儲方法稱為二維等帶寬存儲。整體剛度矩陣的存儲元素Krs在整剛矩陣K中的行列編碼記為r，s，在二維等帶寬矩陣K*中的行列編碼為r*，s*邊界條件的處理非節(jié)點載荷的移植：集中力：最好在集中力處設(shè)置節(jié)點分布面力：分布體力：邊界條件的處理事實上，由于整體剛度矩陣的奇異性，仍然是沒有辦法求解。原因在于位移邊界條件沒有引入。方法一：劃零置一法若已知邊界條件：則邊界條件的處理事實上，由于整體剛度矩陣的奇異性，仍然是沒有辦法求解。原因在于位移邊界條件沒有引入。方法一：乘大數(shù)法若已知邊界條件：則M是很大的