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平面任意力系的平衡條件和平衡方程2023/2/51第一頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分條件
二、關(guān)于平面任意力系的例題
三、平面任意力系平衡方程的其他形式
四、平面平行力系
第二頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程一、平面任意力系平衡的必要和充分條件第三頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程
1.平面任意力系的充分條件現(xiàn)在討論靜力學(xué)中最重要的情形,即平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形
(3-6)第四頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程顯然,主矢等于零,表明作用于簡化中心O的匯交力系為平衡力系;主矩等于零,表明附加力偶系也是平衡力系,所以原力系必為平衡力系。因此,式(3-6)為平面任意力系的充分條件。第五頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程
2.平面任意力系平衡的必要條件由上一節(jié)分析結(jié)果可見:若主矢和主矩有一個不等于零,則力系應(yīng)簡化為合力或合力偶;若主矢與主矩都不等于零時,可進一步簡化為一個合力。上述情況下力系都不能平衡,只有當(dāng)主矢和主矩都等于零時,力系才能平衡,因此,式(3-6)又是平面任意力系平衡的必要條件。第六頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程
3.平面任意力系平衡的必要和充分條件于是,平面任意力系平衡的必要和充分條件是:力系的主矢和對于任一點的主矩都等于零。這些平衡條件可用解析式表示。第七頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程將式(3-2)和(3-3)代入式(3-6),可得(3-7)
第八頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程
結(jié)論:
平面任意力系平衡的解析條件是:所有各力在兩個任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零,以及各力對于任意一點的矩的代數(shù)和也等于零。式(3-7)稱為平面任意力系的平衡方程
(為便于書寫,下標(biāo)i
可略去)。第九頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程二、關(guān)于平面任意力系的例題第十頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程例3-2
起重機P1=10kN,可繞鉛直軸AB轉(zhuǎn)動;起重機的掛鉤上掛一重為P2=40kN的重物,如圖3-6所示。起重機的重心C到轉(zhuǎn)動軸的距離為1.5m,其他尺寸如圖所示。求在止推軸承A和軸承B處的約束力。第十一頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-6第十二頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解:(1)以起重機為研究對象以起重機為研究對象,它所受的主動力有P1和P2。由于對稱性,約束力和主動力都位于同一平面內(nèi)。止推軸承A處有兩個約束力FAx
,F(xiàn)Ay
,軸承B處只有一個與轉(zhuǎn)動軸垂直的約束力FB
,約束力方向如圖3-6所示。第十三頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程(2)列平衡方程取坐標(biāo)系如圖3-6所示,列平面任意力系的平衡方程,即第十四頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程(3)求解方程求解以上方程,得
FB為負值,說明它的方向與假設(shè)的方向相反,即應(yīng)指向左。第十五頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程例3-3
圖3-7所示的水平梁AB,A端為固定鉸鏈支座,B端為一滾動支座。梁的長為4a,梁重P,作用在梁的中點C。在梁的AC段上受均布載荷q作用,在梁的BC段上受力偶作用,力偶矩M=Pa。試求A和B處的支座約束力。第十六頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-7第十七頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解:(1)選梁AB為研究對象梁AB所受的主動力有:均布載荷q,重力P和矩為M的力偶。梁AB所受的約束力有:鉸鏈A的兩個分力Fax和FAy
,滾動支座B處鉛直向上的約束力FB。第十八頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程(2)列平衡方程取坐標(biāo)系如圖3-7所示,列出平衡方程:第十九頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程(3)解方程解上述方程,得第二十頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程例3-4
自重為P=100kN的T字型剛架ABD,置于鉛垂面內(nèi),載荷如圖3-8a所示。其中
M=20kN·m
,F(xiàn)=400kN
,q=20kN/m
,
l=1m
。試求固定端A的約束力。第二十一頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-8a第二十二頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解:(1)取T
字形鋼架ABD
為研究對象鋼架ABD上除主動力外,還受有固定端
A處的約束力FAx
,F(xiàn)ay和約束力偶MA
。線性分布載荷可視為一組平行力系,將其簡化為一個集中力F1
,其大小為
第二十三頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程
其作用線可利用合力矩定理確定:第二十四頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程式中,h是點A到集中力F1的距離,由上式求得h=l,即集中力作用于三角形分布載荷的幾何中心。剛架受力圖如圖3-8b所示。第二十五頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-8b第二十六頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程(2)按圖示坐標(biāo)列平衡方程第二十七頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程(3)解方程解方程,求得負號說明圖中所設(shè)方向與實際情況相反,即
MA為順時針轉(zhuǎn)向。第二十八頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程解題技巧:
(1)從上述例題可見,選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸和力矩中心,可以減少每個平衡方程中的未知數(shù)的數(shù)目。
(2)在平面任意力系情形下,矩心應(yīng)取在多個未知力的交點上,而坐標(biāo)軸應(yīng)當(dāng)與盡可能多的未知力相垂直。第二十九頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程三、平面任意力系平衡方程的其他形式第三十頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程在例3-3中,若以方程取代方程可以不解聯(lián)立方程直接求得Fay值。因此在計算某些問題時,采用力矩方程往往比投影方程簡便。下面介紹平面任意力系平衡方程的其他兩種形式。第三十一頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程
1.二矩式平衡方程
(1)三個平衡方程中有兩個力矩方程和一個投影方程,即(3-8)第三十二頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程其中x軸不垂直于A,B兩點的連線。
(2)為什么上述形式的平衡方程也能滿足力系平衡的必要和充分條件呢?
a.這是因為,如果力系對點A的主矩等于零,則這個力系不可能簡化為一個力偶;但可能有兩種情形:這個力系或者是簡化為經(jīng)過點A的一個力,或者平衡。第三十三頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程
b.如果力系對另一點B的主矩也同時為零,則這個力系或一合力沿A,B兩點的連線,或者平衡(圖3-9)。
c.如果再加上,那么力系如有合力,則此合力必與x軸垂直。第三十四頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程圖3-9第三十五頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程式(3-8)的附加條件(x軸不得垂直于連線AB)完全排除了力系簡化為一個合力的可能性,故所研究的力系必為平衡力系。第三十六頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程
2.三矩式平衡方程
(1)同理,也可寫出三個力矩式的平衡方程,即,,
(3-9)其中A,B,C三點不得共線。第三十七頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程
(2)為什么必須有
“A,B,C三點不得共線”這個附加條件?同學(xué)們可自行證明。第三十八頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程
3.根據(jù)具體條件選擇三組平衡方程
(1)上述三組方程(3-7)、(3-8)、(3-9),究竟選用哪一組方程,須根據(jù)具體條件確定。
(2)對于受平面任意力系作用的單個剛體的平衡問題,只可以寫出三個獨立的平衡方程,求解三個未知量。第三十九頁,共四十五頁,2022年,8月28日理論力學(xué)3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程
(3)任何第四個方程只是前三個方程的線性組合,因而不是獨立的。我們可以利用這個方程來校核計算的結(jié)果
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