函數(shù)與復變函數(shù)

3.2柯西－古薩基本定理一、問題的提出二、基本定理三、典型例題四、小結(jié)與思考1一、問題的提出觀察上節(jié)例4,觀察上節(jié)例4,2由以上討論可知,閉曲線積分是否為零,可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.3二、基本定理柯西－古薩基本定理定理中的C可以不是簡單曲線.此定理也稱為柯西積分定理.柯西介紹古薩介紹4關于定理的說明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.5例1解根據(jù)柯西－古薩定理,有6例2解根據(jù)柯西－古薩定理得78910︵︵證明：11︵︵︵︵︵︵︵︵12得︵︵︵︵13推論：復合閉路定理那末1415三、典型例題例4解依題意知,16根據(jù)復合閉路定理,17例5解圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理,18例6解19由復合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.20例7證由柯西－古薩定理,21由柯西－古薩定理,由例6可知,22四.原函數(shù)與不定積分的概念由定理3.3知：設f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D中任意曲線C,積分∫cfdz與路徑無關，只與起點和終點有關。當起點固定在z0,終點z在D內(nèi)變動,∫cf(z)dz在D內(nèi)就定義了一個變上限的單值函數(shù)，記作23242526上面定理表明是f(z)的一個原函數(shù)。設H(z)與G(z)是f(z)的任何兩個原函數(shù)，這表明：f(z)的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。(見第二章§2例3)定義若函數(shù)F(z)

在區(qū)域D內(nèi)的導數(shù)等于f(z)

，即

,稱F(z)為f(z)在D內(nèi)的原函數(shù).272.積分計算公式定義設F(z)是f(z)的一個原函數(shù)，稱F(z)+c(c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分，記作定理設f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，F(xiàn)(z)是f(z)的一個原函數(shù)，則此公式類似于微積分學中的牛頓－萊布尼茲公式.

但是要求函數(shù)是解析的,比以前的連續(xù)條件要強28例8計算下列積分：解1)

29解2)303132小結(jié)求積分的方法33四、小結(jié)與思考通過本課學習,重點掌握柯西－古薩基本定理:并注意定理成立的條件.34思考題應用柯西–古薩定理應注意什么?35思考題答案(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過來用.放映結(jié)束，按Esc退出.36Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料37GoursatBorn:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France古薩資料383.2.2基本定理的推廣一、問題的提出二、復合閉路定理三、典型例題復合閉路定理四、小結(jié)與思考39一、問題的提出根據(jù)本章第一節(jié)例4可知,由此希望將基本定理推廣到多連域中.40二、復合閉路定理1.閉路變形原理︵︵41︵︵︵︵︵︵︵︵42得︵︵︵︵43442.復合閉路定理那末4546三、典型例題例1解依題意知,47根據(jù)復合閉路定理,48例2解圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理,49例3解50由復合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.5152535455565758四、小結(jié)與思考本課所講述的復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的重要定理,掌握并能靈活應用它是本章的難點.常用結(jié)論:59思考題