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文檔簡介
4.5平衡二叉樹假定二叉搜索樹中每個結(jié)點(diǎn)的查找概率都是相同的,稱查找所有結(jié)點(diǎn)的比較次數(shù)的平均值為樹的“平均查找長度”(ASL)。一、什么是平衡二叉樹〖例〗搜索樹結(jié)點(diǎn)不同插入次序,將導(dǎo)致不同的深度和平均查找長度ASL
Jan AprAprFeb
MarJuneMayFebJulyMayAugAugJulySeptAugJanMarOctOctDecOctAprDecJuneNovSeptSeptNov
(a)自然月份序列ASL(a)=(1+2×2+3×3+4×3+5×2+6×1)/12=3.5
(b)按July,Feb,May,Mar,Aug,Jan,Apr,Jun,Oct,Sept,Nov,Dec
ASL(b)=3.0
(c)月份字符串大小順序
ASL(c)=6.5
樹深在最好的情況下是O(logN),所以,二叉搜索樹在最好情況下的查找復(fù)雜度是O(logN)。上述ASL的計(jì)算結(jié)果表明,一棵樹的ASL值越小,它的結(jié)構(gòu)越好,與完全二叉樹越接近,其查找時間復(fù)查度也越接近O(logN)。因此,為了保證二叉搜索樹查找的對數(shù)級時間效率,應(yīng)盡可能創(chuàng)建枝繁葉茂的樹,而避免樹枝過長、過少。最好的結(jié)構(gòu)是完美二叉樹,從根到葉的各條路徑都是相同的,稱這種樹為完全平衡的。
二、定義
“平衡因子(BalanceFactor,簡稱BF):BF(T)=hL-hR, 其中hL和hR分別為T的左、右子樹的高度。
平衡二叉樹(BalancedBinaryTree)(AVL樹)
①空樹,或者
②任一結(jié)點(diǎn)左、右子樹高度差的絕對值不超過1,即|BF(T)|≤1
因此,平衡二叉樹上每個結(jié)點(diǎn)的平衡因子只可能是-1、0和1,否則,只要有一個結(jié)點(diǎn)的平衡因子的絕對值大于1,該二叉樹就不是平衡二叉樹。三、平衡二叉樹的調(diào)整
一般的二叉排序樹是不平衡的,若能通過某種方法使其既保持有序性,又具有平衡性,就找到了構(gòu)造平衡二叉排序樹的方法,該方法稱為平衡化旋轉(zhuǎn)。
在對AVL樹進(jìn)行插入或刪除一個結(jié)點(diǎn)后,通常會影響到從根結(jié)點(diǎn)到插入(或刪除)結(jié)點(diǎn)的路徑上的某些結(jié)點(diǎn),這些結(jié)點(diǎn)的子樹可能發(fā)生變化。這時就需要做“平衡化”處理,即相應(yīng)的局部“旋轉(zhuǎn)”調(diào)整,使得調(diào)整后的樹達(dá)到平衡。1000MarMayNov
2Mar1右單旋
MayMay0
0Mar
0Nov
Nov
不平衡的“發(fā)現(xiàn)者”是Mar,“麻煩結(jié)點(diǎn)”Nov在發(fā)現(xiàn)者右子樹的右邊, 因而叫RR插入,需要RR旋轉(zhuǎn)(右單旋)AL1
A0BRR插入AL2
A1
BRR旋轉(zhuǎn)0A0BBRBLBRBLBRALBL1.單旋調(diào)整cc1010011AugApr2
2May0
LL旋轉(zhuǎn)左單旋1
2May0
0AugMarNov
0AprAug
0MarNov
0
Apr“發(fā)現(xiàn)者”是Mar,“麻煩結(jié)點(diǎn)”Apr在發(fā)現(xiàn)者左子樹的左邊,因而叫LL插入,需要LL旋轉(zhuǎn)(左單旋)0B1AAR
LL插入1B2AAR
LL旋轉(zhuǎn)BL0B0ABLBRBLBRBRARcc001000110001Jan
0
Apr
1Aug
0
2May
1Mar
0Nov
LR左-右雙旋
0
Apr
1Aug
2Mar
0Jan
1May
0NovJan旋轉(zhuǎn)“發(fā)現(xiàn)者”是May,“麻煩結(jié)點(diǎn)”Jan在左子樹的右邊,因而叫LR插入,需要LR旋轉(zhuǎn)
LR2LR0B0A插入1
B
A1旋轉(zhuǎn)0or1
0C1or0CARCARBABLCLCRBLCLCRBLCLCRAROROR2.雙旋調(diào)整DDDDD0Apr200110110200011010001DecJulyFeb
0Apr
1Aug
1Dec
2
Mar
0
Jan0
1May
0July
2
0NovRL
右-左雙旋旋轉(zhuǎn)1
Dec
1
Aug
0
Feb
2Mar
1Jan
1May
0July
0Nov
Feb一般情況調(diào)整如下:
RL2RLA00B插入A
11B旋轉(zhuǎn)0or1
0C1or0ALCALCABCLCRBRCLCRBRALCLCRBRORORDDDDD101Jan110012110DecMarMay110100AprApr0Feb0July0112020010202011Nov00JuneOctSeptAprJune
110
DecDecMar AugAugFebJanJuly AugFebJuly000
11
JanMar110001June
2May Nov
0May June
1Nov0
Oct
0
Oct0
Sept
注意:有時候插入元素即便不需要調(diào)整結(jié)構(gòu),也可能需要重新計(jì)算 一些平衡因子。typedefstructAVLNode*Position;typedefPositionAVLTree;
/*AVL樹類型*/typedefstructAVLNode{
ElementTypeData;
/*結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)*/AVLTreeLeft;/*指向左子樹*/AVLTreeRight;/*指向右子樹*/intHeight;/*樹高*/}四、AVL樹的插入intMax(inta,intb){returna>b?a:b;}AVLTreeInsert(AVLTreeT,ElementTypeX){/*將X插入AVL樹T中,并且返回調(diào)整后的AVL樹*/if(!T)
{/*若插入空樹,則新建包含一個結(jié)點(diǎn)的樹*/
T=(AVLTree)malloc(sizeof(structAVLNode));T->Data=X;
T->Height=0;
T->Left=T->Right=NULL;}/*if(插入空樹)結(jié)束*/elseif(X<T->Data){/*插入T的左子樹*/T->Left=Insert(T->Left,X);
/*如果需要左旋*/
if(GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right)==2)
if(X<T->Left->Data)
T=SingleLeftRotation(T);/*左單旋*/
else
T=DoubleLeftRightRotation(T);/*左-右雙旋*/}/*elseif(插入左子樹)結(jié)束*/elseif(X>T->Data){/*插入T的右子樹*/T->Right=Insert(T->Right,X);/*如果需要右旋*/if(GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right)==-2)
if(X>T->Right->Data)T=SingleRightRotation(T);/*右單旋*/
else
T=DoubleRightLeftRotation(T);/*右-左雙旋*/}/*elseif(插入右子樹)結(jié)束*//*elseX==T->Data,無須插入*/T->Height=Max(GetHeight(T->Left),GetHeight(T->Right))+1;
/*別忘了更新樹高*/returnT;}AVLTreeSingleLeftRotation(AVLTreeA)16.{/*注意:A必須有一個左子結(jié)點(diǎn)B*/17./*將A與B做左單旋,更新A與B的高度,返回新的根結(jié)點(diǎn)B*/18.19.AVLTreeB=A->Left;20.A->Left=B->Right;21.B->Right=A;22.A->Height=Max(GetHeight(A->Left),GetHeight(A->Right))+1;23.B->Height=Max(GetHeight(B->Left),A->Height)+1;24.25.returnB;26.}27.28.AVLTreeDoubleLeftRightRotation(AVLTreeA)29.{/*注意:A必須有一個左子結(jié)點(diǎn)B,且B必須有一個右子結(jié)點(diǎn)C*/30./*將A、B與C做兩次單旋,返回新的根結(jié)點(diǎn)C*/31.32./*將B與C做右單旋,C被返回*/33.A->Left=SingleRightRotation(A->Left);34./*將A與C做左單旋,C被返回*/35.returnSingleLeftRotation(A);36.}37.38./*************************************/39./*對稱的右單旋與右-左雙旋請自己實(shí)現(xiàn)*/40./*************************************/41.AVLTreeSingleLeftRotation(AVLTreeA){/*注意:A必須有一個左子結(jié)點(diǎn)B*//*將A與B做左單旋,更新A與B的高度,返回新的根結(jié)點(diǎn)B*/
AVLTreeB=A->Left;
A->Left=B->Right;
B->Right=A;
A->Height=Max(GetHeight(A->Left),GetHeight(A->Right))+1;
B->Height=Max(GetHeight(B->Left),A->Height)+1;returnB;
}AVLTreeDoubleLeftRightRotation(AVLTreeA){/*注意:A必須有一個左子結(jié)點(diǎn)B,且B必須有一個右子結(jié)點(diǎn)C*//*將A、B與C做兩次單旋,返回新的根結(jié)點(diǎn)C*/A->Left=SingleRightRotation(A->Left);/*將B與C做右單旋,C被返回*/returnSingleLeftRotation(A);/*將A與C做左單旋,C被返回*/}
作業(yè):1、在分量1~11的數(shù)組中按從小到大順序存放11個元素,如果用順序查找和二分查找分別查找這11個元素,哪個位置的元素在這兩種方法的查找中總次數(shù)最少?..A.1B.2C.3D.62、在分量1~11的數(shù)組中按從小到大順序存放11個元素,如果進(jìn)行二分查找,查找次數(shù)最少的元素位于什么位置?..A.1B.5C.6D.11測驗(yàn):1.設(shè)有如圖6-27所示的二叉樹。①分別用順序存儲方法和鏈接存儲方法畫出該二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)。②寫出該二叉樹的先序、中序、后序遍歷序列。2.已知一棵二叉樹的先序遍歷序列和中序遍歷序列分別為ABDGHCEFI和GDHBAECIF,請畫出這棵二叉樹,然后給出該樹的后序遍歷序列。圖6-27二叉樹adebfgchkmn3、一棵度為m的樹有n個節(jié)點(diǎn)。若每個節(jié)點(diǎn)直接用m個鏈指向相應(yīng)的兒子,則表示這個樹所需要的總空間是n*(m+1)(假定每個鏈以及表示節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)域都是一個單位空間).。當(dāng)采用兒子/兄弟(FirstChild/NextSibling)表示法時,所需的總空間是:..A.3nB.2nC.n*mD.n*(m-1)4、如果一個完全二叉樹最底下一層為第六層(根為第一層)且該層共有8個葉結(jié)點(diǎn),那么該完全二叉樹共有多少個結(jié)點(diǎn)?..A.31B.39C.63D.715、若有一二叉樹的總結(jié)點(diǎn)數(shù)為98,只有一個兒子的結(jié)點(diǎn)數(shù)為48,則該樹的葉結(jié)點(diǎn)數(shù)是多少?..A.25B.50C.不確定D.這樣的樹不存在6、設(shè)深度為d(只有一個根結(jié)點(diǎn)時,d為1)的二叉樹只有度為0和2的結(jié)點(diǎn),則此類二叉樹的結(jié)點(diǎn)數(shù)至少為2d-1..A.√B.×7、假定只有四個結(jié)點(diǎn)A、B、C、D的二叉樹,其前序遍歷序列為ABCD,則下面哪個序列是不可能的中序遍歷序列?..A.ABCDB.ACDBC.DCBAD.DABC8、對于二叉樹,如果其中序遍歷結(jié)果與前序遍歷結(jié)果一樣,那么可以斷定該二叉樹________..A.是完全二叉樹B.所有結(jié)點(diǎn)都沒有左兒子C.所有結(jié)點(diǎn)都沒有右兒子D.這樣的樹不存在9、已知一二叉樹的后序和中序遍歷的結(jié)果分別是FDEBGCA和FDBEACG,那么該二叉樹的前序遍歷結(jié)果是什么?..A.ABDFECGB.ABDEFCGC.ABDFEGCD.ABCDEFG10、假定只有四個結(jié)點(diǎn)A、B、C、D的二叉樹,其前序遍歷序列為ABCD,則下面哪個序列是不可能的中序遍歷序列?..A.ABCDB.ACDBC.DCBAD.DABC11、對于二叉樹,如果其中序遍歷結(jié)果與前序遍歷結(jié)果一樣,那么可以斷定該二叉樹________..A.是完全二叉樹B.所有結(jié)點(diǎn)都沒有左兒子C.所有結(jié)點(diǎn)都沒有右兒子D.這樣的樹不存在12、已知一二叉樹的后序和中序遍歷的結(jié)果分別是FDEBGCA和FDBEACG,那么該二叉樹的前序遍歷結(jié)果是什么?..A.ABDFECGB.ABDEFCGC.ABDFEGCD.ABCDEFG13、非遞歸方法中序遍歷下面這顆二叉樹,其堆棧操作序列(P代表為push,O代表為pop)是什么?..A.PPOOPOPPOOB.PPPPPOOOOOC.PPOOOPPOOD.PPOPOOPPOO14、已知
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