數(shù)學(xué)文化課件

數(shù)學(xué)文化與思維主講人：吳東靈博弈論劇情回顧

影片中有這樣一個(gè)情節(jié)：在美國普林斯頓大學(xué)的酒吧里，4個(gè)男生正商量著如何去追求一位漂亮女生，當(dāng)時(shí)還正在大學(xué)讀書的納什卻在朦朧的“博弈論”思維邏輯引導(dǎo)下喃喃自語：“如果他們4個(gè)人全部去追求那漂亮女生，那她一定會(huì)擺足架子，誰也不睬。然后再去追其他女孩子，別人也不會(huì)接受，因?yàn)闆]人愿意當(dāng)‘次品’。但如果他們先追其他女生，那么漂亮女生就會(huì)感到被孤立，這時(shí)再追她就會(huì)容易得多?！痹诩{什眼里，追求女生就是一場(chǎng)“博弈”，而“博弈”是要遵循一定規(guī)則的，是需要“博弈”策略的。博弈論是什么？博弈論又被稱為對(duì)策論（GameTheory）既是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支，也是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要學(xué)科。博弈論是研究具有斗爭(zhēng)或競(jìng)爭(zhēng)性質(zhì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論和方法。它考慮游戲中的個(gè)體的預(yù)測(cè)行為和實(shí)際行為，并研究它們的優(yōu)化策略。目前已被廣泛運(yùn)用到各個(gè)領(lǐng)域，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中取得了尤為突出的發(fā)展。戰(zhàn)爭(zhēng)是怎樣發(fā)生的？

8歲的男孩問父親：“爸爸，戰(zhàn)爭(zhēng)是怎樣發(fā)生的？”男孩的父親回答：“很簡(jiǎn)單。比如說第一次世界大戰(zhàn)的爆發(fā)，是因?yàn)榈聡肭直壤麜r(shí)……”在一旁的妻子立即打斷他的話：“你講的不對(duì)。第一次世界大戰(zhàn)的起因是有人在薩拉熱窩被刺殺了?！闭煞蚵犃艘荒槻粣偅瑳_妻子不耐煩地說道：“是你回答這個(gè)問題，還是我回答？”妻子聽了也是滿臉的不高興，她轉(zhuǎn)身跑出起居室，砰的一聲將門關(guān)上。緊接著，從廚房里傳出了碗碟猛摔在地上的聲音，過了一會(huì)兒，整個(gè)屋子陷入死一般沉寂。男孩眼眶里含著淚水，輕聲說：“爸爸，你不用說了，我知道戰(zhàn)爭(zhēng)是怎樣發(fā)生的了."遠(yuǎn)觀博弈論夫妻二人以一種兩敗俱傷的方式，使自己的孩子明白了戰(zhàn)爭(zhēng)的發(fā)生和夫妻兩個(gè)人吵架之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)：讓國家之間一步一步走向世界大戰(zhàn)的機(jī)制，同樣也正是同一屋檐下夫妻失和的原因。也就是說，無論是國與國之間，還是人與人之間的合作和沖突，其中所蘊(yùn)含的博弈原理是大同小異的。諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主奧曼在權(quán)威的《帕爾格雷丈夫辭典》中，對(duì)“博弈論”此條的解釋十分精辟和凝練。他認(rèn)為，博弈論描述性的名稱應(yīng)該是“互動(dòng)的決策論”。因?yàn)槿藗冎g的決策與行為會(huì)形成互為影響的關(guān)系，一個(gè)主體在決策時(shí)必須考慮到對(duì)方的反應(yīng)。博弈的形成博弈的目的是利益，利益形成博弈的基礎(chǔ)。最基本的假設(shè)就是經(jīng)濟(jì)人或理性人的目的就在于使收益最大化。參與博弈者正是為了自身收益的最大化而互相競(jìng)爭(zhēng)。參與博弈的各方形成相互競(jìng)爭(zhēng)、相互對(duì)抗的關(guān)系，以爭(zhēng)得利益的多少來決定勝負(fù)，一定的外部條件又決定了競(jìng)爭(zhēng)和對(duì)抗的具體形式。這樣就形成了博弈。簡(jiǎn)單的案例夫妻倆下班回到家，吃完晚飯想看電視。電視預(yù)報(bào)顯示，一個(gè)頻道會(huì)播放丈夫喜愛的足球賽，而另一個(gè)頻道會(huì)播放妻子喜愛的選秀節(jié)目。但是家里只有一臺(tái)電視機(jī)。這樣，圍繞著到底看什么節(jié)目。一場(chǎng)博弈就展開了。要素分析在這場(chǎng)博弈中，完整地包含了形成一個(gè)博弈的4個(gè)要素：(1)2個(gè)或2個(gè)以上的參與者(player)。

博弈中必需的條件：不是一個(gè)人在一個(gè)毫無干擾的環(huán)境中做決策。(2)博弈要有參與各方爭(zhēng)奪的資源或收益(resources/payoff)

資源指的不僅僅是自然資源，還包括了各種社會(huì)資源，如人脈、信譽(yù)、學(xué)歷、職位等。人們之所以參與博弈是受到利益的吸引，將來所獲得利益的大小直接影響到博弈的吸引力和參與者的關(guān)注程度。

簡(jiǎn)單說就是：凡是自己主觀需要的就是資源;相反，主觀不需要的對(duì)自己就不能構(gòu)成資源。這就是“情人眼里出西施”的道理。要素分析(3)參與者有自己能夠選擇的策略(strategy)

通俗地說，策略就是計(jì)策，是博弈參與者所選擇的手段和方法。制定博弈論中的策略，要先對(duì)局勢(shì)和整體狀況進(jìn)行分析，確定局勢(shì)特征，再找出其中關(guān)鍵因素，最后才進(jìn)行手段選擇。

由此可見，博弈論中的策略是牽一發(fā)而動(dòng)全身的，直接對(duì)整個(gè)局勢(shì)造成重大影響。(4)參與者擁有一定量的信息(information)

博弈就是個(gè)人或組織在一定的環(huán)境條件與已定的規(guī)則下，同時(shí)或先后，一次或是多次選擇策略并實(shí)施從而得到某種結(jié)果的過程。案列分析上述“夫妻博弈”模型大致會(huì)出現(xiàn)三種情況:一是兩人爭(zhēng)執(zhí)不下，于是干脆關(guān)掉電視，誰都別看;二是你看足球，我到其他地方看選秀，或你看選秀，我到其他地方看足球;三是其中一方說服另一方，兩人同看足球或同看選秀節(jié)目。案例分析夫妻二人通常不會(huì)因?yàn)殡娨暪?jié)目的分歧而分開活動(dòng)的。這是研究該問題的潛在前提。但是，對(duì)于看什么節(jié)目，雙方又各有偏好。因此我們可以假定:如果丈夫和妻子分開活動(dòng)，男女雙方的效用為0，如果雙方一起去看球賽，則丈夫的效用為5，而妻子的效用為1;如果雙方一起看選秀，則丈夫的效用為1，妻子的效用為5。案例分析

根據(jù)上述假定夫妻雙方不同選擇的所有結(jié)果及其效用組合如下表。

就是這樣一個(gè)矩陣，可以一目了然地把我們介紹的幾種因素包含在里面。

矩陣是博弈論中用來描述兩個(gè)或多個(gè)參與人的策略和效用的最常用工具，又被稱為“收益矩陣”或“得益矩陣”。均衡思想

均衡可以說是博弈論中最重要的思想之一，但是卻并不復(fù)雜。我們可以用描述法來加以定義:在博弈達(dá)到均衡時(shí)，局中的每一個(gè)博弈者都不可能因?yàn)閱畏矫娓淖冏约旱牟呗远黾邮找?，于是各方為了自己利益的最大化而選擇了某種最優(yōu)策略，并與其他對(duì)手達(dá)成了某種暫時(shí)的平衡。在外界環(huán)境沒有變化的情況下，倘若各方堅(jiān)持原有的利益最大化原則并理性面對(duì)現(xiàn)實(shí)，那么這種平衡狀況就能夠長期保持穩(wěn)定。納什均衡

在所有的均衡中，“納什均衡”又是一個(gè)基礎(chǔ)性的概念。簡(jiǎn)單地說，所謂“納什均衡”就是所有人的選擇綜合在一塊，不一定所有選擇都能實(shí)現(xiàn)最大化原則，但能使所有人都達(dá)到最大化的均衡狀態(tài)。

納什均衡是一種最常見的均衡。在納什均衡點(diǎn)上，每個(gè)參與者的策略是最好的，此時(shí)沒有人愿意先改變或主動(dòng)改變自己的策略。也就是說此時(shí)如果他改變策略，他的收益將會(huì)降低，每一個(gè)理性的參與者都不會(huì)有單獨(dú)改變策略的沖動(dòng)。納什均衡不僅要求所有的博弈參與人都是理性的，而且要求每個(gè)參與人都了解所有其他參與人也都是理性的。需要注意的是，博弈的結(jié)果并不都能成為均衡。博弈的均衡是穩(wěn)定的，因此可以預(yù)測(cè)。輕松一刻在斯大林時(shí)代的蘇聯(lián)，一位樂隊(duì)指揮坐火車前往下一個(gè)演出地點(diǎn)。正當(dāng)他在車上翻看當(dāng)晚就要指揮演奏的作品樂譜時(shí)，兩名克格勃(KGB，蘇聯(lián)國家安全警察，實(shí)際是政治特務(wù))將他作為間諜逮捕了。他們以為那樂譜是某種密碼。這位樂隊(duì)指揮爭(zhēng)辯說那只是柴可夫斯基的小提琴協(xié)奏曲，根本無濟(jì)于事。在樂隊(duì)指揮被投入牢房的第二天，審問者自鳴得意地走進(jìn)來說:“我看你最好還是老實(shí)招了吧，我們已經(jīng)抓住你的朋友柴可夫斯基了。他這會(huì)兒正向我們交代呢。你如果再不招就槍斃了你。如果交代了，只判你10年?！苯?jīng)典模型之一：囚徒困境模型

1950年，擔(dān)任斯坦福大學(xué)客座教授的數(shù)學(xué)家圖克(Tucker)，給一些心理學(xué)家解釋他正在研究的完全信息靜態(tài)博弈問題。為了更形象地說明博弈過程，他用兩個(gè)犯罪嫌疑人的故事構(gòu)造了一個(gè)博弈模型，即“囚徒困境模型”。

這一模型的過程具體是這樣的:囚徒困境模型兩個(gè)共同偷竊的犯罪嫌疑人甲和乙被帶進(jìn)警察局。警方對(duì)兩名犯罪嫌疑人實(shí)行隔離關(guān)押，隔離審訊，每個(gè)犯罪嫌疑人都無法觀察到同伴的選擇。警方懷疑他們作案，但手中并沒有掌握確鑿證據(jù)，于是明確地分別告知兩名犯罪嫌疑人，對(duì)他們犯罪事實(shí)的認(rèn)定及相應(yīng)的罪刑完全取決于他們自己的供認(rèn)。警方提出條件如下：囚徒困境模型分析

兩名囚徒面臨的選擇及其帶來的后果組合用收益矩陣表示如下：哪一種選擇對(duì)犯罪嫌疑人更有利呢?囚徒困境模型分析

從上表中可以知道:每個(gè)犯罪嫌疑人都有兩種可供選擇的策略:供認(rèn)或抵賴。而且，每個(gè)犯罪嫌疑人選擇的最優(yōu)策略不依賴于其同伙的策略選擇。如果甲選擇抵賴，那么就可能會(huì)出現(xiàn)兩種情況:如果乙選擇供認(rèn)，那么甲將被加重懲罰，判刑10年，而乙則無罪釋放;如果乙也同樣選擇抵賴，那么他們兩個(gè)都將因證據(jù)不足而被釋放。很顯然，這第二種結(jié)果對(duì)于兩個(gè)人都是最有利的。但是，因?yàn)榫經(jīng)]有把兩名嫌疑人放在一間囚室里，因而這種合作難以順利進(jìn)行，使得結(jié)果預(yù)測(cè)的不確定性加大，或者說增加了抵賴合作的風(fēng)險(xiǎn)性。

因此，基于人是理性的這一前提。由于犯罪嫌疑人不知道對(duì)方的想法，最理性的博弈策略，就是選擇供認(rèn)。這時(shí)的策略，我們可以稱為占優(yōu)策略。占優(yōu)策略與劣勢(shì)策略

而如果所有參與人都有占優(yōu)策略存在，那么博弈將在所有參與人的占優(yōu)策略的基礎(chǔ)上達(dá)到均衡，這種均衡稱為占優(yōu)策略均衡。在囚徒困境中，“甲供認(rèn)，乙供認(rèn)”就是占優(yōu)策略均衡，因?yàn)椴还芗滓覂扇苏l供認(rèn)，都將得到減輕懲罰的結(jié)果:如果甲供認(rèn)了，乙抵賴。甲將免于懲罰，如果乙也供認(rèn)了，那么罪名各擔(dān)一半，從甲個(gè)人看來，也減輕了懲罰;甲乙互換位置，結(jié)果依然是一樣。顯然，這一策略是一個(gè)占優(yōu)策略。

與占優(yōu)策略相對(duì)應(yīng)，劣勢(shì)策略則是指在博弈中，不論其他參與人采取什么策略，某一參與人可能采取的策略中，對(duì)自己嚴(yán)格不利的策略。

有一個(gè)要注意的問題是，采用優(yōu)勢(shì)策略得到的最壞結(jié)果，并不一定比采用其他策略得到的最佳結(jié)果要好。應(yīng)該說，參與人采用優(yōu)勢(shì)策略時(shí)，無論對(duì)方采取任何策略總能夠顯示出優(yōu)勢(shì)。聰明還是不聰明？兩個(gè)旅行者從一個(gè)出產(chǎn)細(xì)瓷花瓶的地方回來，都買了花瓶?？墒翘崛⌒欣畹臅r(shí)候，發(fā)現(xiàn)花瓶被摔壞了。于是。他們向航空公司索賠。航空公司知道花瓶的價(jià)格總在八九十元上下浮動(dòng)，但是不知道兩位旅客買的確切價(jià)格是多少。于是，航空公司請(qǐng)兩位旅客在100元以內(nèi)自己寫下花瓶的價(jià)格。如果兩人寫的一樣，航空公司將認(rèn)為他們講的是真話，并按照他們寫的數(shù)額賠償;如果兩人寫的不一樣，航空公司就論定寫得低的旅客講的是真話，并且照這個(gè)低的價(jià)格賠償。但是對(duì)講真話的旅客獎(jiǎng)勵(lì)10元錢，對(duì)講假話的旅客罰款10元。為了獲取最大賠償，甲乙兩位旅客最好的策略就是都寫100元，這樣兩人都能夠獲賠100元。可是甲很聰明，他想:如果我少寫1元變成99元，而乙會(huì)寫100元，這樣我將得到109元。何樂而不為?所以他準(zhǔn)備寫99元。可是乙更加聰明，他算計(jì)到甲要算計(jì)自己而寫99元。“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”，于是他準(zhǔn)備寫98元。想不到甲又聰明一層，算計(jì)出乙要這樣寫98元來坑他，“來而不往非禮也”，他準(zhǔn)備寫97元…