OK盧瑜-期貨從業(yè)-期貨投資分析-精講-第三章(美工版2013420)

期貨從業(yè)期貨投資分析精講班主講老師：盧瑜第三章數(shù)理方法一、概率與隨機(jī)變量（一）事件和概率隨機(jī)試驗(yàn)——試驗(yàn)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果，是不確定的。樣本點(diǎn)——每一種可能的結(jié)果。樣本空間——全體樣本點(diǎn)集合。事件——樣本空間子集。第一節(jié)概率基礎(chǔ)1．集合、事件與概率。概率——對(duì)某個(gè)事件發(fā)生可能性的度量。事件運(yùn)算——子事件、事件并（和）、事件交（積）、事件補(bǔ)（余事件）。（1）概率主觀定義。依據(jù)各自的經(jīng)驗(yàn)和自信，三人分別對(duì)于事件A發(fā)生的可能性有不同的看法，分別給出的估計(jì)概率。第一節(jié)概率基礎(chǔ)

（2）概率的公理化定義。樣本空間s上的概率測(cè)度P滿足以下概率公理：①對(duì)于任意的事件A屬于S，0≤P（A）≤1，表示一個(gè)事件的概率必定在0和1之間；②P（S）=1，表示樣本空間s包含所有可能的結(jié)果，事件s的概率應(yīng)該為1；③如果對(duì)于任意的i≠j，Ai∩Ai=Φ那么P（A1∪A2∪…）=P（A1）+P（A2）+…，表示如果事件A和事件B不相交，那么它們并集的概率等于兩個(gè)事件概率和。第一節(jié)概率基礎(chǔ)2．條件概率與事件獨(dú)立。在給定事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率記為P（A/B）。在給定事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率為：

如果說事件A和事件B是相互獨(dú)立的，則P（A/B）=P（A），表示事件B的發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的機(jī)會(huì)不產(chǎn)生任何影響。如果P（A∩B）=P（A/B）P（B）=P（A）P（B），我們說事件A和事件B是相互獨(dú)立的。否則，我們說事件A和事件B是相互依賴的。第一節(jié)概率基礎(chǔ)例題：考慮擲骰子的試驗(yàn)。樣本空間S是六個(gè)樣本點(diǎn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1的概率，記為集合A={1}，則P（A）=1/6。但是，如果考慮奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)的條件下點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的概率，則在給定信息影響下，使得樣本空間從S={1，2，3，4，5，6}縮小到B={1，3，5}，此條件概率記為P（A丨B）=1/3。第一節(jié)概率基礎(chǔ)（二）隨機(jī)變量和概率分布隨機(jī)變量——從樣本空間到實(shí)數(shù)集的一個(gè)函數(shù)，一般我們用大寫字母表示它，它的取值用小寫字母表示。1．離散隨機(jī)變量及其概率分布函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量X取值為有限個(gè)或者可數(shù)多個(gè)值，則：P（X=xi）=pii=i，2，…，n稱為隨機(jī)變量X的（概率）分布。第一節(jié)概率基礎(chǔ)2．連續(xù)隨機(jī)變量與概率密度函數(shù)。概率分布函數(shù)——隨機(jī)變量取值范圍在一個(gè)區(qū)間或者整個(gè)實(shí)數(shù)軸。設(shè)X是隨機(jī)變量，其值小于等于x的事件{X≤x}發(fā)生概率用F（x）表示，我們稱F（x）=P（X≤x）為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。某個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)滿足的三條性質(zhì)：（1）對(duì)于所有的x∈R，有f（x）≥0；（2）第一節(jié)概率基礎(chǔ)（3）對(duì)于任何兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b,-∞＜a＜b＜∞有：P（a≤X≤b）=連續(xù)的隨機(jī)變量X的累計(jì)分布函數(shù)為：F（x）=P（X≤x）=并且第一節(jié)概率基礎(chǔ)3．常用分布。二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、t分布和F分布。（1）二項(xiàng)式分布。B（n，P）。其中n和P是兩個(gè)參數(shù)，n是正整數(shù)，0≤p≤1?？紤]一個(gè)僅有兩個(gè)結(jié)果的試驗(yàn)，比如價(jià)格上漲或下跌，隨機(jī)變量X的值為0或1。隨機(jī)變量X服從貝努利分布的假設(shè)為P（X=1）=p，P（X=0）=1-p，這里0≤p≤1如果X1，X2，．．．，Xn是相互獨(dú)立，且服從貝努利分布，那么是一個(gè)取值為0，1，2，…，n的離散的隨機(jī)變量。第一節(jié)概率基礎(chǔ)假定所有的X1是同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)變量，并且取值為1表示成功，那么X的值就表示在這n試驗(yàn)中成功的次數(shù)。它的概率密度函數(shù)為:第一節(jié)概率基礎(chǔ)小概率概念——一個(gè)事件發(fā)生概率小于0.05假定小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生，如果該事件發(fā)生，說明該事件發(fā)生的前提不對(duì)。第一節(jié)概率基礎(chǔ)例題：在著名的心靈感應(yīng)試驗(yàn)中，兩個(gè)試驗(yàn)者A、B分在兩個(gè)房間，裁判給A分發(fā)了4紅4黑的8張撲克牌，每發(fā)一張，要求B說出什么顏色的牌，B只知道共發(fā)了4紅4黑的8張牌。問題：①如果一次試驗(yàn)中，乙至少說對(duì)了6張牌，B是否有心靈感應(yīng)?②如果10次試驗(yàn)，至少有5次乙說對(duì)了6或6張以上的牌，是否有心靈感應(yīng)?③如果10次試驗(yàn)，至少有6次乙說對(duì)了6或6張以上的牌，是否有心靈感應(yīng)?第一節(jié)概率基礎(chǔ)分析：①如果A與B沒有心靈感應(yīng)B說對(duì)6張的有利場(chǎng)合為B說對(duì)8張（全部猜對(duì)）的有利場(chǎng)合為1種合計(jì)為17種全部發(fā)4紅和4黑的8張牌的構(gòu)成70種不同順序B猜對(duì)6或8張的概率P=17／70=0.243。說明了沒有心靈感應(yīng)，B猜對(duì)6或8張的概率近1／4，這完全可以用隨機(jī)性解釋，因此不能說A和B有心靈感應(yīng)。第一節(jié)概率基礎(chǔ)②如果獨(dú)立重復(fù)10次，以X表示乙猜對(duì)6或8張的次數(shù)，在沒有心靈感應(yīng)的前提下，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（10，0.243），故：說明有超過6%的概率猜對(duì)5次以上，不能說明A與B有心靈感應(yīng).第一節(jié)概率基礎(chǔ)③如果猜對(duì)了6次以上，則概率為：說明不到2％的概率猜對(duì)6次以上，A與B沒有心靈感應(yīng)的假定是有問題的，可以說明A與B有心靈感應(yīng)。第一節(jié)概率基礎(chǔ)（2）正態(tài)分布。連續(xù)的隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：分位點(diǎn)——對(duì)于給定的概率P（如5%），使得P≤F（XP）=成立的最小實(shí)數(shù)xp稱為隨機(jī)變量X的p-分位點(diǎn)。第一節(jié)概率基礎(chǔ)（三）隨機(jī)變量的數(shù)字特征（隨機(jī)變量的矩）1．?dāng)?shù)學(xué)期望。一般地，如果X是一個(gè)離散的隨機(jī)變量，它的分布為P（X=xi）=pi,i=1,2,…n…,它的期望值為E[X]=

第一節(jié)概率基礎(chǔ)如果X是一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量，它的概率密度函數(shù)為f（x），那么它的期望值為：第一節(jié)概率基礎(chǔ)數(shù)學(xué)期望的結(jié)論：第一節(jié)概率基礎(chǔ)2、矩一個(gè)隨機(jī)變量X的r階原點(diǎn)矩陣定義為Ｅ[Xr]記為則所以x的數(shù)學(xué)期望就是它的一階原點(diǎn)矩。簡(jiǎn)單地記它為μ。一個(gè)隨機(jī)變量X的r階中心矩被定義為Ｅ[（X-μ）r]

記為μr第一節(jié)概率基礎(chǔ)3．方差與標(biāo)準(zhǔn)差。如果r=2，E[（X-μ）2]被稱為X的分布的方差或x的方差。常常記它為σ2或var（X）。σ2的正平方根σ被稱為x的標(biāo)準(zhǔn)差，反映了隨機(jī)變量波動(dòng)程度的量。關(guān)于方差，常用公式：第一節(jié)概率基礎(chǔ)例題：計(jì)算貝努利分布和二項(xiàng)分布的均值與方差。對(duì)于貝努利分布，很容易獲得E[X]=p，var（X）=p（1-P）。對(duì)于二項(xiàng)分布，也容易得到：如果X服從二項(xiàng)分布，一個(gè)相關(guān)的隨機(jī)變量是y=X/n，它的值表示在這n試驗(yàn)中成功的次數(shù)占總試驗(yàn)次數(shù)的比例。它的均值和方差分E[Y]=p，var（Y）=P（1-p）／n。第一節(jié)概率基礎(chǔ)例題：正態(tài)分布的基本性質(zhì)如下：（1）隨機(jī)變量X服從均值為μ，方差為σ2的正態(tài)分布。記為X~N（μ，σ2）（2）正態(tài)分布關(guān)于參數(shù)μ對(duì)稱，其中μ是位置參數(shù)，σ是刻度參數(shù)。（3）一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍然服從正態(tài)分布，也即是如果X~N（μ，σ2）

，Y=aX+b,a≠0，b是常數(shù)，那么Y~N（aμ+b，a2σ2）（4）如果X~N（μ，σ2），特別地我們稱z是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。第一節(jié)概率基礎(chǔ)4．偏度與峰度。（1）偏度。衡量分布是否有偏（用來描述隨機(jī)變量的對(duì)稱程度），如果X的概率密度函數(shù)關(guān)于期望值是對(duì)稱的，比如正態(tài)分布，μ3=E[X—E(X)]3=0是無偏的,對(duì)于u3>0，說明分布是正偏或者右偏，反之為負(fù)偏或者左偏。第一節(jié)概率基礎(chǔ)偏度系數(shù)：負(fù)的偏度系數(shù)，揭示了分布有很長(zhǎng)的左尾（概率），反映了出現(xiàn)大負(fù)值的概率高。如果組合資產(chǎn)的收益率分布是負(fù)（左）偏的，則出現(xiàn)巨額損失的概率增加。第一節(jié)概率基礎(chǔ)（2）峰度。衡量分布在均值附近的陡峭程度，如果x取值在概率上集中在均值附近，則u4

將傾向于小，否則就傾向于大。峰度系數(shù)為β2=u4／u22超額峰度=β2-3正態(tài)分布的峰度=3正態(tài)隨機(jī)變量的超額峰度=0。第一節(jié)概率基礎(chǔ)厚尾——分布有正的超額峰度，分布在其支撐的尾部有比正態(tài)分布更多的“質(zhì)量”。意味著來自于這樣一個(gè)分布的隨機(jī)樣本會(huì)有更多的極端值，故稱這樣的分布為尖峰的。輕尾——具有負(fù)的超額峰度的分布，也稱為低峰的。第一節(jié)概率基礎(chǔ)5．契比雪夫定理（不等式）。隨機(jī)變量和它的均值的差的絕對(duì)值超過它的標(biāo)準(zhǔn)差K倍的概率小于1/K2

該定理給出了任一隨機(jī)變量取值的界限。在判斷程序化投機(jī)（趨勢(shì)）交易或者價(jià)差（套利）交易中觸發(fā)條件的發(fā)生概率較為有效。第一節(jié)概率基礎(chǔ)例題：下列關(guān)于正態(tài)分布的結(jié)論哪個(gè)是不正確的?A．峰度為3．B．偏度為1．C．整個(gè)分布特性可由均值和方差描述。D．正態(tài)分布的密度函數(shù)表示如下：

答案：B第一節(jié)概率基礎(chǔ)二、多元分布函數(shù)（一）聯(lián)合分布第一節(jié)概率基礎(chǔ)第一節(jié)概率基礎(chǔ)聯(lián)合累計(jì)分布函數(shù)：X和Y是相互獨(dú)立的，當(dāng)且僅當(dāng)：f（x,y）=g（x）h（y）第一節(jié)概率基礎(chǔ)第一節(jié)概率基礎(chǔ)第一節(jié)概率基礎(chǔ)（二）協(xié)方差、相關(guān)關(guān)系和協(xié)方差矩陣1．協(xié)方差。σXY，或COV（X,Y）σXY=E[(X-EX)(Y-EY)]=E[XY]-E[X]E[Y]

X于Y相關(guān)的一個(gè)測(cè)度。如果X和Y是相互獨(dú)立的，那么cov（X，Y）=0。第一節(jié)概率基礎(chǔ)2．相關(guān)關(guān)系。第一節(jié)概率基礎(chǔ)3．協(xié)方差矩陣。一個(gè)隨機(jī)向量的期望值等于它的各個(gè)分量的期望值組成的向量第一節(jié)概率基礎(chǔ)隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣如下第一節(jié)概率基礎(chǔ)例題：給定隨機(jī)變量X、Y，常數(shù)a、b、c、d，下列哪個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。A．若x和Y是相關(guān)的，則E（ax+by+c）=aE（x）+bE（y）+cB．若x和Y是相關(guān)的，則Var（ax+by+c）=Var（ax+6y）+cC．若x和Y是相關(guān)的，則Cov（ax+by,cx+dy）=acVar（X）+bdVar（Y）+（ad+bc）Coy（x，Y）D．若x和Y是不相關(guān)的，則Var（x—Y）=Var（x+y）=Var（x）+Var（y）答案：B第一節(jié)概率基礎(chǔ)三、隨機(jī)變量的函數(shù)1．隨機(jī)變量的線性組合。對(duì)于以人民幣計(jì)價(jià)的投資組合中現(xiàn)金為1000萬元，組合中美元資產(chǎn)為1000萬美元，美元匯率為X，其均值為0.01，標(biāo)準(zhǔn)差為0.001，這個(gè)組合可以被表示為Y=a+bX，其期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：E（a+bX）=a+bE（X），var（a+bX）=b2var（X），

第一節(jié)概率基礎(chǔ)y的均值：E（Y）=E（1+1000X）=1+1000×0.01=11y的標(biāo)準(zhǔn)差=1000×0.001=1第一節(jié)概率基礎(chǔ)第一節(jié)概率基礎(chǔ)例題：已知：Cov（X,Y）=3,Var（X）=9,Var（Y）=4,求Var（2X-Y）。

VAR（ax+by）=a^2Var（x）+b^2Var（y）-2abcov（x,y）

Var（2X-Y）=Var（2X）+Var（Y）-2Cov（2X,Y）=4Var（x）+Var（Y）-4Cov（X,Y）=4*4+9+4*3=37第一節(jié)概率基礎(chǔ)2、隨機(jī)變量的加權(quán)和隨機(jī)變量乘積Y=X1Y2，其期望為：E（X1X2）=E（X1）E（X2）+Cov（X1，X2）當(dāng)這些變量相互獨(dú)立時(shí)，乘積期望就是均值的積。4．隨機(jī)變量變換（函數(shù)）的分布。假設(shè)X是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為f（x），g（x）是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，那么Y=g（X）是一個(gè)新的隨機(jī)變量。我們把x表述成y的函數(shù)為X=W（y），那么y的概率密度函數(shù)h（y）為：第一節(jié)概率基礎(chǔ)例題：對(duì)于債券價(jià)格因素包含了債券收益率的概率分布信息中，對(duì)于某一零息債券的市場(chǎng)價(jià)值V為：V=100/（1+r）T其中，r是收益率。其逆函數(shù)為：V=100/V1/T-1如果我們希望能夠估測(cè)債券價(jià)格低于收盤價(jià)V=40元的概率。對(duì)于一個(gè)20年期的零息債，其收益率r=（100/40）1/20-1=4.688%。收盤價(jià)低于40元德爾概率表示為：P（V≤40）=P（r≥4.668%）第一節(jié)概率基礎(chǔ)四、幾個(gè)重要分布（一）對(duì)數(shù)正態(tài)分布與三大統(tǒng)計(jì)分布1．對(duì)數(shù)正態(tài)分布。如果一個(gè)隨機(jī)變量x的對(duì)數(shù)形式Y(jié)=ln（X）是正態(tài)分布，則可以稱這一變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。第一節(jié)概率基礎(chǔ)例題：下列哪個(gè)結(jié)論描述正態(tài)分布與對(duì)數(shù)正態(tài)分布間的關(guān)系?A．對(duì)數(shù)正態(tài)分布是正態(tài)分布的對(duì)數(shù)B．如果隨機(jī)變量X的自然對(duì)數(shù)是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的，則X是正態(tài)分布C．如果X是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的，則X的自然對(duì)數(shù)是正態(tài)分布D．這兩種分布相互之間毫無關(guān)系答案：C第一節(jié)概率基礎(chǔ)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)如下表示：則X的均值和方差分別為：第一節(jié)概率基礎(chǔ)例題：對(duì)于一個(gè)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X，ln（X）是一個(gè)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.5的正態(tài)分布。下面哪個(gè)是X的期望值和方差?A．1.025和0.187B．1.126和0.217C．1.133和0.365D．1.203和0.399答案：C第一節(jié)概率基礎(chǔ)如果資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率是獨(dú)立同分布，且都正態(tài)分布，那么在此假定下，簡(jiǎn)單收益率是獨(dú)立同分布的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，均值和方差分別為：第一節(jié)概率基礎(chǔ)反之，假設(shè)簡(jiǎn)單收益率Rt服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，均值為m1，方差為m2，則對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)收益率rt的均值和方差分別為：第一節(jié)概率基礎(chǔ)2．卡方（χ2）分布。一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的平方服從自由度為1的χ2分布。即如果Z~N（0,1），那么Z2~χ2(1)。如果Z1，Z2，…，Zn是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那么第一節(jié)概率基礎(chǔ)T的概率密度函數(shù)可通過變量替換方法得到，基本性質(zhì)如下：（1）它是關(guān)于0對(duì)稱的；（3）當(dāng)r趨于無窮大時(shí)，T的分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。第一節(jié)概率基礎(chǔ)第一節(jié)概率基礎(chǔ)例題：有著相同均值和標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布和t分布，下列哪個(gè)結(jié)論正確?A．它們有著相同的偏度和峰度B．t分布有著更大的偏度和峰度C．隨著自由度增加，t分布的峰度逐漸收斂到正態(tài)分布峰度D．當(dāng)自由度相對(duì)較小的時(shí)候，對(duì)t分布而言，正態(tài)分布是一個(gè)較好的近似估計(jì)答案：C第一節(jié)概率基礎(chǔ)（二）尾概率分布特點(diǎn)

1．尾分布。極值理論（EVT）——x超過某個(gè)閥值點(diǎn)U的極限分布服從以下分布族：F（y）=1-exp（-y），ξ=0當(dāng)y=（x-u）/β時(shí)。簡(jiǎn)單而言就是通過刻度（Scale）參考β和形狀（Shape）參數(shù)ξ確定，其中參數(shù)ξ決定了尾概率中尾巴趨于零（消失）的速度第一節(jié)概率基礎(chǔ)正態(tài)分布對(duì)應(yīng)于ξ=0，則尾巴概率以指數(shù)速度消失（趨于0）。但是，經(jīng)典的金融數(shù)據(jù)，基本都有ξ>0，這就是著名的厚尾（肥尾或者重尾）現(xiàn)象。第一節(jié)概率基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)推斷——由總體抽取一個(gè)樣本（樣本大小為n）來推知總體的某一性質(zhì)。可信度問題——有多大把握說明統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)論精度——在區(qū)間估計(jì)中可信度依賴區(qū)間的長(zhǎng)度影響統(tǒng)計(jì)推斷的基本因素包括：樣本大小、總體的波動(dòng)規(guī)律（分布）、我們希望的可靠程度（置信水平）。第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)一、總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量總體——研究對(duì)象的全體，稱為X個(gè)體——組成總體的每個(gè)成員總體分布函數(shù)——x的分布函數(shù)抽樣——依照一定的規(guī)則抽取n個(gè)個(gè)體，對(duì)個(gè)體進(jìn)行測(cè)試或觀察得到一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn。樣本——隨機(jī)向量（X1，X2…，Xn）。樣本容量——n。樣本觀測(cè)值——（x1，x2，…，xn）第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)2．統(tǒng)計(jì)量。（1）樣本均值：用來估計(jì)總體的均值：μ第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)（2）樣本方差：用于估計(jì)總體方差：σ2

第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)例題：關(guān)于市場(chǎng)回報(bào)的隨機(jī)游走假設(shè)的基本前提是認(rèn)為一期回報(bào)與下一期回報(bào)在統(tǒng)計(jì)上是獨(dú)立的。這一假設(shè)暗含著：A．從一期到下一期回報(bào)是不可能相等的B．從一期到下一期回報(bào)是不相關(guān)的C．有關(guān)一期回報(bào)的信息對(duì)預(yù)測(cè)下一期回報(bào)是沒有幫助的D．上述B和C都是正確的。答案：D第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)例題：考慮一只日回報(bào)率服從隨機(jī)游走的股票。其年波動(dòng)率為34％。假設(shè)一年有52周，估計(jì)該股票的周波動(dòng)率：A．6.80％B．5.83％C．4.85％D．4.71％答案：D解析：由于是隨機(jī)游走的情況，我們可以使用時(shí)間規(guī)則的平方跟。其周波動(dòng)率為第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)例題：考慮一個(gè)40%投資于X資產(chǎn)和60%投資于Y的投資組合。資產(chǎn)X回報(bào)率的均值和方差分別為0和25，資產(chǎn)Y回報(bào)率的均值和方差分別為1和12.1，x和y相關(guān)系數(shù)為0.3．下面哪一個(gè)值最接近該組合的波動(dòng)率?A．9.51B．8.60C．13.38D．7.45答案：D

解析：組合的方差=（0.4）2x25+（0.6）2×121+2×0.4×0.6×0.3×=55.48。其波動(dòng)率為7.45。第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)二、統(tǒng)計(jì)推斷之參數(shù)估計(jì)（點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)）（一）點(diǎn)估計(jì)——使用樣本數(shù)據(jù)以及一些非樣本的先驗(yàn)信息為未知參數(shù)提供一個(gè)估計(jì)值。設(shè)（X1,X2，…，Xn。）是來自總體x的樣本，

θ是總體的未知參數(shù)，若用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)點(diǎn)估計(jì)方法——矩估計(jì)和最大似然估計(jì)1．矩估計(jì)法?！脴颖镜母麟A原點(diǎn)矩去估計(jì)對(duì)應(yīng)的各階總體的原點(diǎn)矩第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)稱在所有的g(θ)無偏估計(jì)中，方差最小的那一個(gè)為一致最小方差無偏估計(jì)。第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)（二）區(qū)間估計(jì)

1．區(qū)間估計(jì)中的統(tǒng)計(jì)思想。以總體均值為例，一般以點(diǎn)估計(jì)為中心的一個(gè)區(qū)間

，d是估計(jì)的精度，對(duì)于給定的小正數(shù)α，比如5％，1％等（顯著性），１－α

是置信水平（置信度），我們希望：第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)我們稱

為總體均值μ的（1-α）×100%的置信區(qū)間。第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)2．區(qū)間估計(jì)的數(shù)學(xué)定義。設(shè)X1，···，Xn是來自總體f(x，θ)的樣本，θ∈Θ未知，對(duì)于任意θ<α<1，若統(tǒng)計(jì)量第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)3．求置信區(qū)間的一般步驟：（1）先求出θ的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)(通常為最大似然估計(jì))第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)4．給定α及d時(shí)，樣本大小的確定。在區(qū)間估計(jì)中，我們知道置信度和精度是一對(duì)矛盾，如果在保證置信度的前提下還要滿足精度的要求，我們只能增加樣本大小n。由于一般σ2可以通過前一階段數(shù)據(jù)的積累來估計(jì)，即用s估計(jì)σ。由這一公式，就可以由給定的置信度和精度給出最小的樣本大小n以同時(shí)滿足置信度和精度的要求。第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)【例3-15】正態(tài)總體下參數(shù)估計(jì)置信區(qū)間設(shè)X1，···，Xn是取自正態(tài)總體N（μ,σ2）的一個(gè)樣本，置信水平為1-α，第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)例題：百分比的估計(jì)。由中心極限定理（或正態(tài)逼近定理）一個(gè)二項(xiàng)分布隨機(jī)變量x～B（n，P）的分布，當(dāng)n充分大（通常為n>30）時(shí)，可以用正態(tài)分布來近似。因此百分比的估計(jì)

的分布也可以用正態(tài)分布N（p，p（1-p）/n）來近似，這里n為樣本大小，r為n次試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)。由此可以得到百分比的近似區(qū)間估計(jì)：第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)例題：考慮一只初始股價(jià)為100元的股票。其一年后的股價(jià)由公式S=100·exp（r）所決定，其中收益率r表現(xiàn)為均值為0.1，標(biāo)準(zhǔn)差為0.2的正態(tài)分布。考慮95％的置信區(qū)間，四舍五人后，S將會(huì)處于哪個(gè)區(qū)間：A．67.57和147.99B．70.80和149.20C．74.68和163.56D．102.18和119.53答案：C第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)三、統(tǒng)計(jì)推斷之假設(shè)檢驗(yàn)（一）假設(shè)檢驗(yàn)基本概念1．假設(shè)檢驗(yàn)問題與假設(shè)檢驗(yàn)的處理思路。（1）假設(shè)檢驗(yàn)問題提出。H0

原假設(shè)（也稱為零假設(shè)）H1對(duì)立假設(shè)或備擇假設(shè)（2）假設(shè)檢驗(yàn)基本思路。先假定原假設(shè)成立，如果導(dǎo)致觀察數(shù)據(jù)的表現(xiàn)與此假定矛盾，則否定原假設(shè)。第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)2．兩類錯(cuò)誤概率。第一類錯(cuò)誤（概率）即原假設(shè)成立，而錯(cuò)誤地加以拒絕（的棄真概率）；第二類錯(cuò)誤（概率）即原假設(shè)不成立，而錯(cuò)誤地接受它（的取偽概率）。3．顯著水平。理想的檢驗(yàn)規(guī)則是使得棄真概率和取偽概率都很小

Neyman—Pearson原則：在控制棄真概率的條件下，使得取偽概率盡量小，有時(shí)把原則簡(jiǎn)化為控制第一類錯(cuò)誤的概率α（也稱為“顯著性水平”）。第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)在原假設(shè)成立條件下，樣本落入拒絕域的概率不超過事先設(shè)定的，則稱該拒絕域所代表的檢驗(yàn)為顯著水平α的檢驗(yàn)，而α稱為顯著水平。第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)4．假設(shè)檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)概念。假設(shè)檢驗(yàn)需要顯著性水平（定義的小概率），依據(jù)這個(gè)小概率，確定否定H0的空間——拒絕域，利用樣本計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量落在了拒絕域，就說明小概率事件發(fā)生了，這時(shí)對(duì)于H0的否決就是顯著的。P[第Ⅰ類型的錯(cuò)誤]=P[拒絕H0丨H0為真]≤α第Ⅱ類型的錯(cuò)誤是指H1為真時(shí)而接受了H0。所以，如果θ∈Ω1，P[第Ⅱ類型的錯(cuò)誤]=P[接受H0丨H0為真]=1-Π（θ）第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)由于上述規(guī)則，對(duì)給定的一個(gè)很小的數(shù)α(稱為顯著性水平，一般為查表方便起見α=0.1，0.05，0.01等)，要求：第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)2．參數(shù)檢驗(yàn)的步驟。對(duì)于上述的σ2已知時(shí)，單正態(tài)總體均值的參數(shù)檢驗(yàn)步驟如下：（1）列出問題，即明確原假設(shè)和備選假設(shè)。先設(shè)σ2已知，檢驗(yàn)：H0：μ=μ0?H1：μ≠μ0其中，μ0已知。Z滿足如下要求：①在H0下，Z的分布完全已知，此處Z~N（0，1）；②由Z可誘導(dǎo)出與H0背離的準(zhǔn)則，此處當(dāng)︱Z︱偏大時(shí)與H0背離。（3）對(duì)給定水平α，構(gòu)造水平α檢驗(yàn)的拒絕域：W1=｛（χ1，…，χｎ）：︱Z︱>uα/2｝其中，ua為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的a分位點(diǎn)。

第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)（4）基于數(shù)據(jù)，算出z的觀察值2，如z∈Wl則拒絕H0，否則只能接受H0.因此，檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量Z，稱之為Z-檢驗(yàn)。3．σ2未知，單正態(tài)總體參數(shù)μ檢驗(yàn)?？傮wX~N（μ，σ2）時(shí)，單正態(tài)總體均值μ檢驗(yàn)。當(dāng)σ2未知時(shí)，改檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z為：其中，S*為修正樣本標(biāo)準(zhǔn)差。相應(yīng)的拒絕域?yàn)椋篧1=｛（χ1，…，χｎ）：︱T︱>tα/2（n-1）｝tα（n-1）為自由度n-1的t分布的α-分位點(diǎn)。其他的檢驗(yàn)步驟相同。例題：假設(shè)檢驗(yàn)在5％顯著性水平意味著（）。A．P（接受H0丨H0為真）=0.05％B．P（接受H0丨H0為假）=0.05％C．P（拒絕H0丨H0為真）=0.05％D．P（拒絕H0丨H0為假）=0.05％答案：C

第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)例題：下面哪個(gè)關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)的論述是不正確的?A．第二類錯(cuò)誤指在原假設(shè)錯(cuò)誤時(shí)，未能拒絕原假設(shè)的錯(cuò)誤B．假設(shè)檢驗(yàn)是依據(jù)來自某總體的樣本計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量，推斷總體參數(shù)C．在其他條件相同的時(shí)候，降低犯第一類錯(cuò)誤的代價(jià)是增加犯第二類錯(cuò)誤的概率D．對(duì)于P值決策規(guī)則，就是說如果p值大于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)答案：D解析：當(dāng)所觀察到的p值低于（不高于）顯著性水平時(shí)，我們可以拒絕原假設(shè)。第二節(jié)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)步驟：（1）理論模型設(shè)計(jì)（2）對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。（3）回歸方程、參數(shù)估計(jì)顯著性檢驗(yàn)，確定模型的有效性。（4）利用回歸方程進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)。第三節(jié)回歸分析（一）模型基本假定與OLS估計(jì)1．模型假定。

只有一個(gè)因變量和一個(gè)自變量的線性回歸模型，叫一元線性回歸模型。一元線性回歸模型可表示為y=0+1

x+y是x的線性函數(shù)（部分）加上誤差項(xiàng)第三節(jié)回歸分析+E（yi）=α+βxiYi~N（α+βxi

，σu

2）第三節(jié)回歸分析2．回歸參數(shù)的0LS估計(jì)。1）散點(diǎn)圖：描述變量之間關(guān)系的一種直觀方法，從相關(guān)圖中大體上可以看出變量之間的關(guān)系形態(tài)及關(guān)系強(qiáng)度。線性相關(guān)——變量之間的關(guān)系近似地表現(xiàn)為一條直線非線性相關(guān)或者曲線相關(guān)——變量之問的關(guān)系近似地表現(xiàn)為一條曲線完全相關(guān)——如果一個(gè)變量的取值完全依賴于另一個(gè)變量，各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)落在一條直線上，相無相關(guān)關(guān)系——兩個(gè)變量的觀測(cè)點(diǎn)很分散，無任何規(guī)律。第三節(jié)回歸分析正相關(guān)——在線性相關(guān)關(guān)系中，若兩個(gè)變量的變動(dòng)方向相同，一個(gè)變量的數(shù)值增加（減少），另一個(gè)變量數(shù)值也隨之增加（減少）；負(fù)相關(guān)——若兩個(gè)變量的變動(dòng)方向相反，一個(gè)變量數(shù)值增加（減少），另一個(gè)變量數(shù)值隨之減少（增加）。第三節(jié)回歸分析散點(diǎn)圖圖例：完全正線性相關(guān)完全負(fù)線性相關(guān)正線性相關(guān)負(fù)線性相關(guān)零相關(guān)第三節(jié)回歸分析滬銅與LME三月期銅價(jià)格散點(diǎn)圖第三節(jié)回歸分析LME三月期銅價(jià)格美元/噸滬銅連續(xù)合約價(jià)格元/噸LME三月期銅價(jià)格與美元指數(shù)散點(diǎn)圖第三節(jié)回歸分析LME三月期銅價(jià)格美元/噸美元指數(shù)LME三月期銅價(jià)格與美元指數(shù)散點(diǎn)圖主要運(yùn)用EXCELL軟件生成散點(diǎn)圖，再根據(jù)散點(diǎn)圖分析變量間存在怎樣的相關(guān)關(guān)系第三節(jié)回歸分析LME三月期銅價(jià)格美元/噸美元指數(shù)例題：從下圖可以看出，滬銅期貨價(jià)格與3月份倫銅表現(xiàn)出較強(qiáng)的（）。A.負(fù)向相關(guān)關(guān)系B.負(fù)向線性相關(guān)關(guān)系C.零相關(guān)性D.正向線性相關(guān)性答案：D滬銅期貨價(jià)格第三節(jié)回歸分析第三節(jié)回歸分析回歸線殘差可以看作量ui的估計(jì)量，而εi完全由樣本數(shù)據(jù)，yi和xi構(gòu)成，是可以計(jì)算的，因此，我們可以用εi的方差來估計(jì)ui的方差

。便有的無偏估計(jì)量：

第三節(jié)回歸分析例題：關(guān)于回歸方程

，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A.如果β1＝0，表明因變量不依賴于自變量，兩個(gè)變量之間沒有線性關(guān)系B.如果β1≠0，即可得出兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系的結(jié)論C.回歸系數(shù)β1，檢驗(yàn)是常用的檢驗(yàn)方法是正態(tài)分布下的t檢驗(yàn)方法D.在檢驗(yàn)回歸系數(shù)β1的顯著性時(shí)，t的正負(fù)并不重要，關(guān)注t的絕對(duì)值答案：B第三節(jié)回歸分析例題：一般地，在作一元線性回歸復(fù)習(xí)過程中，回歸分析是建立一系列假設(shè)的基礎(chǔ)上的，這些假設(shè)為（）。A.回歸模型因變量y與自變量x之間具有線性關(guān)系B.在重復(fù)抽樣中，自變量x的取值是固定的C.誤差項(xiàng)ε的均值為零D.誤差項(xiàng)ε是獨(dú)立隨機(jī)變量且服從正態(tài)分布，誤差項(xiàng)ε的分差為常數(shù)答案：ABCD第三節(jié)回歸分析（二）回歸參數(shù)顯著性檢驗(yàn)和回歸參數(shù)區(qū)間估計(jì)

1．回歸參數(shù)的t檢驗(yàn)得到回歸方程后，還需要對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)：◎以確認(rèn)自變量x對(duì)因變量y的影響是否顯著◎如果r=0，回歸直線是條水平線，表明因變量與自變量無線性關(guān)系；◎如果反之，兩個(gè)變量之間可能存在線性關(guān)系，還需進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的顯著性檢驗(yàn)。第三節(jié)回歸分析★回歸系數(shù)的檢驗(yàn)步驟（正態(tài)分布下的t檢驗(yàn)法）1.

提出假設(shè)–H0：β1=0（沒有線性關(guān)系）–H1：β1≠0（有線性關(guān)系）2.

計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量3.

確定顯著性水平α，并進(jìn)行計(jì)算丨t丨>ta/2，拒絕H0；丨t丨＜ta/2，不拒絕H02．回歸參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。（三）回歸方程顯著性檢驗(yàn)與擬合優(yōu)度1．總離差平方和分解。因變量y的取值是不同的，y取值的這種波動(dòng)稱為變差。變差來源于兩個(gè)方面①由于自變量x的取值不同造成的②除x以外的其他因素（如x對(duì)y的非線性影響、測(cè)量誤差等）的影響對(duì)一個(gè)具體的觀測(cè)值來說，變差的大小可以通過該實(shí)際觀測(cè)值與其均值之差來表示。第三節(jié)回歸分析（xi；yi）總平方和（SST）=回歸平方和（SSR）+殘差平方和（SSE）★總平方和（SST）：反映因變量的n個(gè)觀察值與其均值的總離差★回歸平方和（SSR）：反映自變量x的變化對(duì)因變量y取值變化的影響，或者說，是由于x與y之間的線性關(guān)系引起的y的取值變化，也稱為可解釋的平方和★殘差平方和（SSE）：反映除x以外的其他因素對(duì)y取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和第三節(jié)回歸分析2．?dāng)M合優(yōu)度（樣本決定系數(shù)）?！颮2——回歸平方和占總離差平方和的比例★反映回歸直線的擬合程度★取值范圍在[0,1]之間★R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差★判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2＝r2第三節(jié)回歸分析例題：滬銅現(xiàn)貨價(jià)格對(duì)滬銅期貨價(jià)格的回歸方程為y=2231.051+0.944410x。下列說法正確的是（）。A.當(dāng)︱t︱=14.12166＞t0.025（25），滬銅現(xiàn)貨價(jià)格對(duì)滬銅期貨價(jià)格有顯著影響B(tài).當(dāng)︱t︱=14.12166＞t0.025（25），滬銅現(xiàn)貨價(jià)格對(duì)滬銅期貨價(jià)格沒有影響C.當(dāng)︱t︱=14.12166＜t0.025（25），滬銅現(xiàn)貨價(jià)格對(duì)滬銅期貨價(jià)格有顯著影響D.當(dāng)R2=1-=0.8886，說明滬銅現(xiàn)貨價(jià)格對(duì)滬銅期貨價(jià)格有著較強(qiáng)的線性關(guān)系A(chǔ)D第三節(jié)回歸分析3．回歸方程的顯著性F檢驗(yàn)——判斷回歸方程的解釋變量x對(duì)于被解釋變量Y的影響的顯著性，實(shí)際上是對(duì)于回歸方程擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)。

第三節(jié)回歸分析步驟：（1）設(shè)定假設(shè)H0：β=0，備擇假設(shè)H0：β≠0。（2）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量第三節(jié)回歸分析（3）當(dāng)風(fēng)成立時(shí)，F(xiàn)～F（1，n-2）。（4）給定顯著性水平α，確定臨界值Fα（5）判定方程顯著性：①若F>Fa，則拒絕假設(shè)H0，即解釋變量總體對(duì)于Y的影響是顯著的，方程可靠。②若F<Fa，則接受假設(shè)H0，說明解釋變量對(duì)于Y的影響不顯著，方程估計(jì)不可靠。第三節(jié)回歸分析F與R2成正比，擬合優(yōu)度越大，F(xiàn)值越大，總體的F檢驗(yàn)越顯著。第三節(jié)回歸分析方差分析表：

離差名稱

平方和自由度

均方差F值

回歸

（因素x）1

剩余（隨機(jī)因素）

n-2

總計(jì)

n-1第三節(jié)回歸分析（四）利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)——通過自變量x的取值來預(yù)測(cè)因變量y的取值，分為點(diǎn)預(yù)測(cè)與區(qū)間預(yù)測(cè)。（一）點(diǎn)預(yù)測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)就是將x的一個(gè)特定值x0代入樣本回歸方程，計(jì)算得出就是對(duì)應(yīng)y0的點(diǎn)預(yù)測(cè)值。第三節(jié)回歸分析【例】根據(jù)教材上面例子中，滬銅期貨價(jià)格與滬銅現(xiàn)貨價(jià)格一元線性回歸方程，當(dāng)銅現(xiàn)貨報(bào)價(jià)為60000元/噸時(shí)，預(yù)測(cè)滬銅期貨價(jià)格的季度收盤價(jià)。將x0=60000帶入樣本回歸方程yi=2213.051+0.9441xi,即得到滬銅期貨季度收盤價(jià)格預(yù)測(cè)結(jié)果：=2213.051+0.9441×60000=58859.051（元/噸）第三節(jié)回歸分析

（二）區(qū)間預(yù)測(cè)1、預(yù)測(cè)的潛在誤差：（1）均值誤差。不會(huì)等于樣本均值（2）斜率誤差。在總體真正的回歸系數(shù)β與擬合直線斜率β之間也存在一些誤差。（3）隨機(jī)誤差。即使已知真正的總體回歸直線，仍然會(huì)產(chǎn)生誤差。

第三節(jié)回歸分析

2、區(qū)間預(yù)測(cè)——在給定顯著性水平α的條件下，找到一個(gè)區(qū)間（T1，T2），使對(duì)應(yīng)于特定x0的y0包含在這個(gè)區(qū)間（T1，T2）的概率為1-α。用式子表示為：P（T1＜y0＜T2）=1-α預(yù)測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差由下式得出：

第三節(jié)回歸分析

在置信水平為1-α的置信區(qū)間為：其中，s為估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。由上式可知，x0越靠近，越小，置信區(qū)間的長(zhǎng)度越小，預(yù)測(cè)精度越高。因此，在預(yù)測(cè)時(shí)要注意預(yù)測(cè)點(diǎn)‰與估計(jì)模型時(shí)用的樣本x1，x2，…，x0的距離，如果x0與所估計(jì)模型的樣本偏離太大，預(yù)測(cè)效果會(huì)很差。一般地：第三節(jié)回歸分析

（1）樣本容量n越大，預(yù)測(cè)精度越高，反之預(yù)測(cè)精度越低；（2）樣本容量一定時(shí)，置信區(qū)間的寬度在x均值處最小，預(yù)測(cè)點(diǎn)x0離x均值越小精度越高；越遠(yuǎn)精度越低。當(dāng)x0=時(shí)，的置信區(qū)間為：

第三節(jié)回歸分析【例】由上述滬銅期貨價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格回歸分析例子，如果要預(yù)測(cè)x0=60000時(shí)，顯著性水平α=0.05下的置信區(qū)間。由前面計(jì)算的結(jié)果知：

=2213.051+0.9441×60000=58859.051n=27，x=46462.37，s=5639.879，查t分布表得到：t0.025（27-2）=2.0639，則：第三節(jié)回歸分析滬銅期貨價(jià)格95％的預(yù)測(cè)區(qū)間為：58859.051±2.0639×5639.879×=58859.051±12938.43即：的預(yù)測(cè)區(qū)間為（45920.62，71797.49）第三節(jié)回歸分析例題：滬銅期貨價(jià)格對(duì)滬銅期貨價(jià)格的回歸方程為y=2213.051+0.944410X，如果要預(yù)測(cè)x0=60000時(shí)，顯著水平α=0.05下的置信區(qū)間，下列計(jì)算過程錯(cuò)誤的是（）A.=2213.051+0.9441×60000=58859.051B.當(dāng)n=27，=46462.37，s=5639.879，查t分布表得到：t0.025（27-2）=2.0639C.滬銅期貨價(jià)格95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為：58859.051±2.0639×5639.879×=58859.051±12938.43D.的預(yù)測(cè)區(qū)間為（0，58859.051）或(58859.051，71797.49)答案：D二、多元線性回歸模型多元線性回歸方程——簡(jiǎn)單線性回歸方程的擴(kuò)展，主要描述因變量與兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量之間的線性關(guān)系。回歸方程——線性方程Z=5x+2y+1非線性方程Z=x2+4y2

，Z=㏒x+㏒y第三節(jié)回歸分析（一）多元線性回歸模型假定1．模型：y=β1x1+β2x2+…+βkxk+μ描述被解釋變量y的期望值與解釋變量x1，x2，…，xk線性關(guān)系的方程為：

βi：偏回歸系數(shù)——如果所有其他自變量保持不變，xi中的單位變化引起因變量y的變化。殘差——因變量的觀測(cè)值yi與擬合值間的差額，它包括除x1，x2，…，xk影響之外的其他因素對(duì)因變量y的影響。第三節(jié)回歸分析2．模型假定。（1）被解釋變量和解釋變量之間具有一種線性關(guān)系。（2）解釋變量之間不存在線性關(guān)系。（3）隨機(jī)擾動(dòng)條件在觀察值X上的期望值為零，也即是E[εi|X]=0表明所有的x的觀察值都不能為隨機(jī)擾動(dòng)的期望值提供任何信息。（4）關(guān)于隨機(jī)擾動(dòng)的方差和協(xié)方差的。假設(shè)：（5）xi是非隨機(jī)的?；騲是一個(gè)T×K的常數(shù)矩陣。第三節(jié)回歸分析（二）參數(shù)估計(jì)——最小二乘法（借助統(tǒng)計(jì)分析軟件估計(jì)）1、參數(shù)β0，β1，β2，…βk是未知的，需要用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)估計(jì)的多元線性回歸方程，一般形式如下：是參數(shù)β0，β1，β2，…βk的估計(jì)值，是因變量y的估計(jì)值2．估計(jì)參數(shù)σ2和b的協(xié)方差矩陣第三節(jié)回歸分析【例】實(shí)際研究中，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)銅期貨價(jià)格受英國倫敦LME銅期貨價(jià)格X1、美元指數(shù)X2、道瓊斯工業(yè)指數(shù)X3、原油期貨價(jià)格X4、國內(nèi)銅現(xiàn)貨價(jià)格X5影響較大，擬建立多元線性回歸方程對(duì)國內(nèi)銅期貨價(jià)格進(jìn)行分析。仍然采用例6-1中數(shù)據(jù)。以下采用統(tǒng)計(jì)分析軟件Eviews得到輸出結(jié)果，其他統(tǒng)計(jì)軟件輸出結(jié)果基本類似。具體結(jié)果見表6-9。第三節(jié)回歸分析表6-9應(yīng)用Eviews輸出結(jié)果第三節(jié)回歸分析續(xù)表多元線性回歸方程為：=-44822.6032+7.644x1+447.4331x2+1.0967x3-45.8511x4+0.0946x5第三節(jié)回歸分析（三）解釋度與預(yù)測(cè)1、預(yù)測(cè)問題利用給定的自變量，求出因變量均值的置信區(qū)間及個(gè)別值的預(yù)測(cè)區(qū)間，完全依賴于計(jì)算機(jī)已有的統(tǒng)計(jì)軟件。但是必須學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)軟件的使用，考試不會(huì)涉及軟件的使用題目，但實(shí)際工作中必須掌握

第三節(jié)回歸分析2、擬合優(yōu)度和決定系數(shù)（與一元線性回歸大致相同）（1）總平方和分解SST=SSR+SSE（2）R2

與修正的R2

R2——多元線性回歸方程的擬合優(yōu)度多元樣本可決系數(shù)R2R2=1最好0最差第三節(jié)回歸分析調(diào)整的R2——用樣本量與自變量的個(gè)數(shù)去調(diào)整R2，避免增加自變量而高估R2修正的R2第三節(jié)回歸分析例題：國內(nèi)銅期貨價(jià)格受英國倫敦LME銅期貨價(jià)格x1、美元指數(shù)x2、道瓊斯工業(yè)指數(shù)x3，原油期貨價(jià)格x4，國內(nèi)銅現(xiàn)貨價(jià)格x5影響較大，采用統(tǒng)計(jì)分析軟件Eviews得到線性回歸方程為：

=-44822.6032+7.6444x1+447.4331x2+1.0967x3-45.8511x5+0.0946x5，針對(duì)該方程，下列說法正確的是（）A.回歸方程中的參數(shù)是根據(jù)最小二乘法估計(jì)出來的B.回歸方程除Eviews外，還可利用SPSS，SAS，Excel軟件C.國內(nèi)銅期貨價(jià)格受英國倫敦LME銅期貨價(jià)格，美元指數(shù)，道瓊斯工業(yè)指數(shù)，國內(nèi)銅現(xiàn)貨價(jià)格的影響為正影響D.判定系數(shù)R2=0.9889=98.89%，實(shí)際意義實(shí)在滬銅期貨價(jià)格的變差中，能被英國倫敦LME銅期貨價(jià)格、美元指數(shù)、道瓊斯工業(yè)指數(shù)、原油期貨價(jià)格、國內(nèi)銅現(xiàn)貨價(jià)格的多元線性回歸方程所解釋的比例為98.89%答案：ABCD三、非線性模型的線性化——通過變量的替換，轉(zhuǎn)化為線性的回歸模型處理。第三節(jié)回歸分析【例3—21】可以線性化的模型有y=α+β/X+ε,這個(gè)例子中，只要將z=1／x代人變換即可線性化?！纠?—22】y=α+βlnx+ε是可以線性化的模型。典型的對(duì)數(shù)線性模型是我們經(jīng)常用的一個(gè)模型，它的表達(dá)式為：兩邊取自然對(duì)數(shù)可得：lny=β1+β2lnX2+β3lnX3+...+βklnXk+ε第三節(jié)回歸分析四、回歸模型常見問題及處理（一）多重共線性1．多重共線性概念與產(chǎn)生原因。多重共線性——解釋變量之間存在嚴(yán)格或近似的線性關(guān)系。多重共線性產(chǎn)生的原因：自變量之間有相同和相反的趨勢(shì)；數(shù)據(jù)取樣過少；自變量之間具有某種類型的近似線性關(guān)系等

第三節(jié)回歸分析2．多重共線性后果★參數(shù)估計(jì)值不精確不穩(wěn)定。樣本觀測(cè)值稍微變化，增加或者減少解釋變量等都會(huì)使參數(shù)估計(jì)值產(chǎn)生較大的變化。★估計(jì)量的方差很大★t檢驗(yàn)失效；估計(jì)量的方差很大，相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差增大，進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，接受零假設(shè)的可能性增大，從而舍去對(duì)被解釋變量有顯著影響的解釋變量?！飬^(qū)間估計(jì)預(yù)測(cè)精度降低

第三節(jié)回歸分析３．多重共線性的判別?！讲顢U(kuò)大因子法、特征根分析法等。（1）多重共線性是否存在問題。①對(duì)兩個(gè)解釋變量的模型，采用簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)法。相關(guān)系數(shù)r，若lrl接近l，則說明兩變量存在較強(qiáng)的多重共線性②對(duì)多個(gè)解釋變量的模型，采用綜合統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)法多元線性回歸方程的R2值較大，F(xiàn)值較大，但t檢驗(yàn)值較小，回歸系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上幾乎均不顯著，說明存在多重共線性。

第三節(jié)回歸分析（2）判明存在多重共線性的范圍。①判定系數(shù)檢驗(yàn)法。每一個(gè)解釋變量分別以其余解釋變量為解釋變量進(jìn)行回歸，并計(jì)算相應(yīng)的擬合優(yōu)度。Xji=α1X1i+α2X2i+...+αkXki回歸的判定系數(shù)較大，說明Xj與其他x間存在共線性第三節(jié)回歸分析②逐步回歸法。以y為被解釋變量，逐個(gè)引入解釋變量，構(gòu)成回歸模型，進(jìn)行模型估計(jì)。根據(jù)擬合優(yōu)度的變化決定新引入的變量是否獨(dú)立。如果擬合優(yōu)度變化顯著，則說明新引入的變量是一個(gè)獨(dú)立解釋變量；如果擬合優(yōu)度變化很不顯著，則說明新引入的變量與其他變量之問存在共線性關(guān)系。第三節(jié)回歸分析4．消除多重共線性影響的方法。（1）剔除一些不重要的解釋變量，使用逐步回歸法找出引起多重共線性的解釋變量，將它排除；（2）差分法。對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，將原模型變換為差分模型：ΔYi=β1ΔX1i+β2ΔX2i+...+βkΔXki+Δεi（3）增加樣本容量；

第三節(jié)回歸分析（二）異方差問題。1、異方差的概念和后果異方差：由于實(shí)際問題是錯(cuò)綜復(fù)雜的，因而建立的回歸分析模型偶爾也會(huì)出現(xiàn)某一因素或者一些因素隨著解釋變量觀測(cè)值的變化而對(duì)解釋變量產(chǎn)生不同的影響，導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生不同的方差。異方差的出現(xiàn)會(huì)降低回歸方程的可靠性。第三節(jié)回歸分析異方差的后果：（1）參數(shù)估計(jì)量非有效：OLS估計(jì)量仍然具有無偏性，但不具有有效性（2）變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義（3）模型的預(yù)測(cè)失效：當(dāng)模型出現(xiàn)異方差性時(shí)，參數(shù)OLS估計(jì)值的變異程度增大，從而造成對(duì)y的預(yù)測(cè)誤差變大，降低預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)功能失效。第三節(jié)回歸分析

2．異方差的檢驗(yàn)方法。（1）散點(diǎn)圖判斷。同方差與異方差散點(diǎn)圖：第三節(jié)回歸分析用X-ε2殘差圖判斷異方差性，看是否形成一斜率為零的直線第三節(jié)回歸分析（2）統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法

G—Q檢驗(yàn)的思想：先將樣本一分為二，對(duì)子樣①和子樣②分別作回歸，然后利用兩個(gè)子樣的殘差平方和之比構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。該統(tǒng)計(jì)量服從F分布，因此假如存在遞增的異方差，則F遠(yuǎn)大于1；反之，就會(huì)等于1（同方差）或小于1（遞減方差）。第三節(jié)回歸分析G—Q檢驗(yàn)的步驟：①將n對(duì)樣本觀察值（Xi，Yi）按觀察值墨的大小排隊(duì)。②將序列中間的c=n／4個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣樣本容量均為（n—c）／2第三節(jié)回歸分析③對(duì)每個(gè)子樣分別進(jìn)行OLS回歸，并計(jì)算各自的殘差平方和；分別和用和表示較大和較小的樣本殘差平方和。④在同方差性假定下，構(gòu)造如下滿足F分布的統(tǒng)計(jì)量：⑤給定顯著性水平α，確定臨界值Fα（v1，v2）,若F＞Fα（v=，v2）則拒絕同方差性假設(shè)，表明存在異方差第三節(jié)回歸分析3、異方差的處理對(duì)回歸模型存在異方差問題的主要處理方法：有加權(quán)最小二乘法與改變模型的數(shù)學(xué)形式兩種方法。①加權(quán)最小二乘法。對(duì)原模型加權(quán)，使之變成一個(gè)新的不存在異方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估計(jì)其參數(shù)。②改變模型的數(shù)學(xué)形式。改變模型的數(shù)學(xué)表達(dá)形式可以有效改善異方差問題。比如將線性模型改為對(duì)數(shù)線性模型，異方差的情況將有所改善。第三節(jié)回歸分析（三）序列相關(guān)性問題1．自相關(guān)概念及后果。自相關(guān)——模型的誤差項(xiàng)間存在相關(guān)性。自相關(guān)的來源①經(jīng)濟(jì)變量的慣性。如國民生產(chǎn)總值、固定資產(chǎn)投資、國民消費(fèi)、物價(jià)指數(shù)、股票收益率等隨時(shí)間緩慢地變化，從而建立模型時(shí)導(dǎo)致誤差項(xiàng)自相關(guān)。第三節(jié)回歸分析②回歸模型的形式設(shè)定存在錯(cuò)誤。比如平均成本與產(chǎn)量呈拋物線關(guān)系，當(dāng)用線性回歸模型擬合時(shí)，誤差項(xiàng)必存在自相關(guān)。③回歸模型中漏掉了重要解釋變量。④因?qū)?shù)據(jù)加工整理而導(dǎo)致誤差項(xiàng)之間產(chǎn)生自相關(guān)。比如對(duì)季度數(shù)據(jù)的消除季節(jié)性影響的處理，有時(shí)會(huì)帶來序列的自相關(guān)陛。

第三節(jié)回歸分析后果：①不影響參數(shù)估計(jì)量的線性和無偏性，但是參數(shù)估計(jì)量失去有效性；②變量的顯著性檢驗(yàn)失去意義；③模型的預(yù)測(cè)失效。第三節(jié)回歸分析2．序列相關(guān)的檢驗(yàn)。（1）檢驗(yàn)思路和常用方法。首先采用0LS對(duì)模型做估計(jì)，獲得隨機(jī)干擾項(xiàng)的近似估計(jì)量。然后，通過分析這些“近似估計(jì)量”之間的相關(guān)性，以判斷隨機(jī)誤差項(xiàng)是否具有序列相關(guān)性。圖示法、回歸檢驗(yàn)法、杜賓一瓦森（Durbin—Watson）檢驗(yàn)法、拉格朗日乘數(shù)（LagrangeMultiplier）檢驗(yàn)

第三節(jié)回歸分析圖示法：用隨機(jī)項(xiàng)的近似估計(jì)量的變化圖判斷隨機(jī)項(xiàng)的序列相關(guān)性。第三節(jié)回歸分析（2）DW檢驗(yàn)。DW統(tǒng)計(jì)量——德賓一沃森統(tǒng)計(jì)量，是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠翊嬖谧韵嚓P(guān)的一種簡(jiǎn)單有效的方法，其公式