材料力學(xué)-7應(yīng)力分析、強(qiáng)度理論

第七章

應(yīng)力和應(yīng)變分析強(qiáng)度理論前言橫截面應(yīng)力分析非橫截面破壞低碳鋼拉伸鑄鐵壓縮鑄鐵扭轉(zhuǎn)斜截面應(yīng)力研究一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

1.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：通過受力構(gòu)件一點(diǎn)處所有斜截面上的應(yīng)力情況。

2.研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破壞原因并進(jìn)行失效分析。第一節(jié)應(yīng)力狀態(tài)的概念二、研究應(yīng)力狀態(tài)的方法—單元體法

1.單元體：圍繞構(gòu)件內(nèi)一所截取的微小正六面體。應(yīng)力與應(yīng)變分析（1）應(yīng)力分量的角標(biāo)規(guī)定：第一角標(biāo)表示應(yīng)力作用面的法線方向，第二角標(biāo)表示應(yīng)力平行的軸。兩角標(biāo)相同時(shí)，只用一個(gè)角標(biāo)表示2.單元體上的應(yīng)力分量應(yīng)力與應(yīng)變分析9個(gè)應(yīng)力分量(二階張量)（2）切應(yīng)力互等定理：9->63.截取原始單元體的方法、原則①用三個(gè)坐標(biāo)軸(笛卡爾坐標(biāo)和極坐標(biāo)，依問題和構(gòu)件形狀而定)在一點(diǎn)截取，因其微小，統(tǒng)一看成微小正六面體②單元體各個(gè)面上的應(yīng)力已知或可求；③幾種受力情況下截取單元體方法：應(yīng)力與應(yīng)變分析PMeMePPMeMec)同b)，但從上表面截取Ctssb)橫截面，周向面，直徑面各一對(duì)Ba)一對(duì)橫截面，兩對(duì)縱截面As=P/Ast=Me/WnABCBCAPCABtBtCsCsCsAsA三、應(yīng)力狀態(tài)主要概念及分類1.①主平面：?jiǎn)卧w上剪應(yīng)力為零的面；

②主單元體：各面均為主平面的單元體，單元體上有三對(duì)主平面；

③主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力，用s1、s2、s3表示，有s1≥s2≥s3。應(yīng)力與應(yīng)變分析旋轉(zhuǎn)y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy2.應(yīng)力狀態(tài)按主應(yīng)力分類：

①只有一個(gè)主應(yīng)力不為零稱單向應(yīng)力狀態(tài)；②只有一個(gè)主應(yīng)力為零稱兩向應(yīng)力狀態(tài)(平面應(yīng)力狀態(tài))；③三個(gè)主應(yīng)力均不為零稱三向應(yīng)力狀態(tài)(空間應(yīng)力狀態(tài))；

④單向應(yīng)力狀態(tài)又稱簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)，平面和空間應(yīng)力狀態(tài)又稱復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力與應(yīng)變分析思考：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度校核？一、平面應(yīng)力分析的解析法

1.平面應(yīng)力狀態(tài)圖示：第二節(jié)平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力研究、應(yīng)力圓

sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyx應(yīng)力與應(yīng)變分析2.任意a角斜截面上的應(yīng)力sxtxysysysxtyxABxyantasαtαsxtxytyxsyxdAsxsytxytyx

得

應(yīng)力與應(yīng)變分析C符號(hào)規(guī)定（代入公式前確認(rèn)）：a角—以x軸正向?yàn)槠鹁€，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)s—拉為正，壓為負(fù)t—使微元產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)者為正，反之為負(fù)3.主應(yīng)力及其方位（兩種方法）

①由主平面定義，令tα

=0，得：

可求出兩個(gè)相差90o的a0值，對(duì)應(yīng)兩個(gè)互相垂直主平面。②令得：即主平面上的正應(yīng)力取得所有方向上的極值。應(yīng)力與應(yīng)變分析③主應(yīng)力大?。孩苡蓅'、s"、0按代數(shù)值大小排序得出：s1≥s2≥s3

⑤判斷s'、s"作用方位(與兩個(gè)a0如何對(duì)應(yīng))

txy箭頭指向第幾象限(一、四)，則s'(較大主應(yīng)力)在第幾象限，即先判斷s'大致方位，再判斷其與算得的a0相對(duì)應(yīng)，還是與a0+90o相對(duì)應(yīng)。

⑥txys's"a0*txys"s'a0*應(yīng)力與應(yīng)變分析4.極值切應(yīng)力：

①令：，可求出兩個(gè)相差90o

的

a1，代表兩個(gè)相互垂直的極值切應(yīng)力方位。②極值切應(yīng)力：③(極值切應(yīng)力平面與主平面成45o)應(yīng)力與應(yīng)變分析403020單位：MPaasata40203014.9os"s's"s'

例一圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力并畫出主單元體；③極值切應(yīng)力。確定各個(gè)量正負(fù)-確定斜角tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)4)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，最大拉、壓應(yīng)力在與軸線成±45o斜截面上，它們數(shù)值相等，均等于橫截面上的剪應(yīng)力；5)對(duì)于塑性材料(如低碳鋼)抗剪能力差，扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，通常是橫截面上的最大剪應(yīng)力使圓軸沿橫截面剪斷；6)對(duì)于脆性材料(如鑄鐵、粉筆)抗拉性能差，扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，通常沿與軸線成45o的螺旋面發(fā)生拉斷。例7-2分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。二、平面應(yīng)力分析的圖解法—應(yīng)力圓

1.理論依據(jù)：①②以s、t為坐標(biāo)軸，則任意a斜截面上的應(yīng)力sx‘、tx’y‘為：以)為半徑的圓。2.應(yīng)力圓的繪制（利用已知點(diǎn)）：

①定坐標(biāo)及比例尺；②取x面，定出D()點(diǎn)；取y面，定出D‘()點(diǎn)；③連DD'交s軸于C點(diǎn)，以C為圓心，DD1為直徑作圓；sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1s'B1s"2a(sa,ta)EG1t'G2t"

D'(sy,tyx)BAD(sx,txy)sata3.應(yīng)力圓的應(yīng)用

①點(diǎn)面對(duì)應(yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上一點(diǎn)坐標(biāo)代表單元體某個(gè)面上的應(yīng)力；

②角度對(duì)應(yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過2a，單元體上坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)過a;

③旋向?qū)?yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上半徑的旋向與單元體坐標(biāo)軸旋向相同；

④求外法線與x軸夾角為a斜截面上的應(yīng)力，只要以D為起點(diǎn)，按a轉(zhuǎn)動(dòng)方向同向轉(zhuǎn)過2a到E點(diǎn)，E點(diǎn)坐標(biāo)即為所求應(yīng)力值。

⑤用應(yīng)力圓確定主平面、主應(yīng)力：由主平面上剪應(yīng)力t=0，確定D轉(zhuǎn)過的角度；D轉(zhuǎn)至s軸正向A1點(diǎn)代表s‘所在主平面，其轉(zhuǎn)過角度為2，轉(zhuǎn)至s軸負(fù)向B1點(diǎn)代表s"所在主平面；

⑥確定極值剪應(yīng)力及其作用面：應(yīng)力圓上縱軸坐標(biāo)最大的G1點(diǎn)為t’，縱軸坐標(biāo)最小的G2點(diǎn)為t”，作用面確定方法同主應(yīng)力。思考兩種簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓單向拉伸純剪切求：1)a=30o斜截面上的應(yīng)力；

2)主應(yīng)力及其方位；

3)極值剪應(yīng)力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020單位：MPaxasata40.3-40.3

例7-3

用應(yīng)力圓法重解例7-1題。

1.三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓：

①平行s3斜截面上應(yīng)力由s1、s2作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定；

②平行s2斜截面上應(yīng)力由s1、s3作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定；

③平行s1斜截面上應(yīng)力由s2、s3作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定；

④由彈性力學(xué)知，任意斜截面上的應(yīng)力點(diǎn)落在陰影區(qū)內(nèi)。一、三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓2.三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大剪應(yīng)力

tmax所在平面與s1和s3兩個(gè)主平面夾角為45o。第三節(jié)三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力s3s2s1s2s3s1s2s1s3s3C1C3s1s2Otst12t23t13C2三個(gè)應(yīng)力圓周上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)分別與主方向1，2，3平行的斜截面上的應(yīng)力例7-4試確定左圖所示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力，并確定主平面和最大剪應(yīng)力作用面位置。x300150y140z90解：①給定應(yīng)力狀態(tài)中有一個(gè)主應(yīng)力是已知的，即sz=90MPa。因此，可將該應(yīng)力狀態(tài)沿z方向投影，得到平面應(yīng)力狀態(tài)，可直接求主應(yīng)力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：③根據(jù)s1、s2、s3的排列順序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa④主應(yīng)力方位：最大剪應(yīng)力所在平面法線與主平面夾角45o即與x軸夾角76o或-14o。⑤單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力：xzyxzy90300150140Asy=140txy=150sx=300A視s2y'31o31os1x's3一、廣義虎克定律1.有關(guān)概念：

①主應(yīng)變：沿主應(yīng)力方向的應(yīng)變，分別用e1≥e2≥e3表示；

②正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，剪應(yīng)力只引起剪應(yīng)變；2.廣義虎克定律：①推導(dǎo)方法：疊加原理②主應(yīng)變與主應(yīng)力關(guān)系：③一般情況：第四節(jié)廣義虎克定律s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2s1方向上的應(yīng)變：s2方向上的應(yīng)變：s3方向上的應(yīng)變：IIIs3④用應(yīng)變表示應(yīng)力：上式中：

二、例題

例7-5在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到P=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取E=200GPa，n=0.30。P應(yīng)用：實(shí)驗(yàn)法測(cè)應(yīng)力pPP/Apppp④柱內(nèi)各點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為：求得：③由廣義虎克定律：②在軸向壓縮下，圓柱將向橫向膨脹，當(dāng)它脹到塞滿凹座后，凹座與柱體之間將產(chǎn)生徑向均勻壓力p。柱體內(nèi)任一點(diǎn)均為二向均壓應(yīng)力狀態(tài)，柱內(nèi)任一點(diǎn)的徑向與周向應(yīng)力均為-p，考慮到柱與凹座之間的間隙，可得應(yīng)變e2的值為：解：①在柱體橫截面上的壓應(yīng)力為：（拉壓）（彎曲）（正應(yīng)力強(qiáng)度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應(yīng)力強(qiáng)度條件）一、

桿件基本變形下的強(qiáng)度條件第五節(jié)強(qiáng)度理論滿足是否強(qiáng)度就沒有問題了？對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，幾個(gè)主應(yīng)力不等于0主應(yīng)力之間有無窮種比例關(guān)系，無法根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來直接建立強(qiáng)度條件只有提出某種假說，然后用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證強(qiáng)度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn)，不斷完善，在一定范圍與實(shí)際相符合，上升為理論。為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計(jì)算方法。二、強(qiáng)度理論構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式

(1)脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論：最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論

(2)塑性屈服（流動(dòng)）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼的拉、扭，鑄鐵的壓。關(guān)于斷裂的強(qiáng)度理論：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論1.最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）材料發(fā)生斷裂的主要因素是最大拉應(yīng)力達(dá)到極限值－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大拉應(yīng)力－極限拉應(yīng)力，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得斷裂條件強(qiáng)度條件最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)局限：p2422.最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內(nèi)的最大拉應(yīng)變（線變形）達(dá)到簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的破壞伸長(zhǎng)應(yīng)變數(shù)值。－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變－極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強(qiáng)度理論更接近實(shí)際情況。局限：P242強(qiáng)度條件

最大伸長(zhǎng)拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）斷裂條件即無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元內(nèi)的最大切應(yīng)力達(dá)到了某一極限值。3.最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的最大切應(yīng)力－極限切應(yīng)力，由單向拉伸實(shí)驗(yàn)測(cè)得屈服條件強(qiáng)度條件最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)表明：此理論對(duì)于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實(shí)。局限性：

2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象，1、未考慮的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)15%。最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的最大形狀改變比能達(dá)到一個(gè)極限值。4.形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）－構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)的形狀改變比能－形狀改變比能的極限值，由單拉實(shí)驗(yàn)測(cè)得屈服條件強(qiáng)度條件

形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)塑性材料，此理論比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。強(qiáng)度理論的統(tǒng)一表達(dá)式：相當(dāng)應(yīng)力四個(gè)強(qiáng)度理論，都用應(yīng)力的形式表達(dá)出來，成為相當(dāng)應(yīng)力。1，2用于斷裂破壞，3，4用于屈服破壞。強(qiáng)度理論的應(yīng)用進(jìn)行內(nèi)力分析，找出危險(xiǎn)截面確定危險(xiǎn)點(diǎn)，分析危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，計(jì)算單元體各界面上的應(yīng)力，主應(yīng)力第1理論只考慮最大主應(yīng)力，第2理論考慮了最大和最小主應(yīng)力但沒考