第4章 透鏡的位相調(diào)制和傅里葉變換性質(zhì)

普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材

《傅里葉光學(xué)?第2版》電子教案

周哲海呂乃光編著機械工業(yè)出版社第四章透鏡的位相調(diào)制和傅里葉變換性質(zhì)分析方法：(孔徑+透鏡)(有限大小,有衍射作用,位相變換作用)+光在自由空間的傳播(菲涅耳衍射)逐面計算,在不同的幾何配置下可以得到傅里葉變換或成像目的與分析方法 目的： 從單透鏡的位相變換作用入手,導(dǎo)出透鏡的傅里葉變換性質(zhì)和成像性質(zhì)； 將透鏡成像看成線性不變系統(tǒng)的變換，研究評價透鏡成像質(zhì)量的頻域方法。本章主要內(nèi)容1、透鏡的位相調(diào)制作用2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3、光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)光學(xué)成像系統(tǒng)是一種最基本的光信息處理系統(tǒng)，它用于傳遞二維的光學(xué)圖像信息。光波攜帶輸入圖像信息（圖像的細(xì)節(jié)、對比等）從光學(xué)系統(tǒng)物面?zhèn)鞑サ较衩?，輸出的圖像信息取決于光學(xué)系統(tǒng)的傳遞特性。對于相干與非相干照明的成像系統(tǒng)可以分別給出其本征函數(shù)，把輸入信息分解為由本征函數(shù)構(gòu)成的頻率分量，考察這些空間頻率分量在系統(tǒng)傳遞過程中，衰減、相移等等變化，研究系統(tǒng)空間頻率特性即傳遞函數(shù)。這是一種全面評價光學(xué)系統(tǒng)傳遞光學(xué)信息的能力的方法，也是一種評價光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的方法。

光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性透鏡是光學(xué)系統(tǒng)的最基本的元件，具有成像和光學(xué)傅里葉變換的基本功能，本章將首先討論透鏡的成像和光學(xué)傅里葉變換性質(zhì)；透鏡可以用來實現(xiàn)透過物體的光場分布的夫瑯和費衍射，而透鏡之所以可以實現(xiàn)傅里葉變換的原因是它具有位相變換的作用；無像差的正薄透鏡對點光源的成像過程是點物成點像，從波面變換的觀點看，透鏡將一個發(fā)散球面波變換成一個會聚球面波；發(fā)散球面波和會聚球面波在透鏡平面上都具有球面波的二次位相因子，因此透鏡的功能就是改變二次位相因子的大小，實際上也就是具有附加的二次位相因子。透鏡的位相變換作用基本假設(shè)透鏡是薄的,忽略折射引起的光線的橫向偏移透鏡無吸收,完全透明,均勻,折射率為n，不改變光場振幅,僅改變位相透鏡孔徑為無限大(以后再考慮孔徑影響)透鏡的位相變換作用1、透鏡的位相調(diào)制作用1.1透鏡對入射波前的作用——分析復(fù)振幅透過率透鏡的復(fù)振幅透過率：Ul

(x,y)和Ul

(x,y)分別是緊靠透鏡前后平面上的光場復(fù)振幅分布。下面從復(fù)振幅透過率的定義式導(dǎo)出復(fù)振幅透過率。這是在傍軸近似下的完善成像，發(fā)散球面波經(jīng)過透鏡變換成會聚球面波。1、透鏡的位相調(diào)制作用在傍軸近似下，忽略透鏡對光波振幅的影響，緊靠透鏡前后的平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為則透鏡復(fù)振幅透過率表示為：在傍軸近似下，1、透鏡的位相調(diào)制作用則透鏡復(fù)振幅透過率表示為：(常數(shù)項)(調(diào)制項)對于常數(shù)項，它改變的是光波整體的位相分布，并不影響平面上位相的相對空間分布，分析時可忽略掉。對于調(diào)制項，它改變了平面上位相的相對空間分布，能把發(fā)散球面波變換為會聚球面波。1、透鏡的位相調(diào)制作用根據(jù)幾何光學(xué)中介紹的透鏡成像公式(為透鏡的焦距)因此，透鏡的復(fù)振幅透過率或透鏡的位相調(diào)制因子(相位變換因子)：結(jié)論：通過上面的分析可知，透鏡對透射的光波具有位相調(diào)制的功能。1、透鏡的位相調(diào)制作用透鏡本身的厚度變化，使得入射光波在通過透鏡的不同部位時，經(jīng)過的光程差不同，即所受時間延遲不同，從而使得光波的等相位面發(fā)生彎曲。透鏡對透射的光波具有位相調(diào)制的功能。但是，透鏡為什么會具有這種能力呢？Answer:1、透鏡的位相調(diào)制作用薄透鏡：忽略光線在透鏡內(nèi)由于折射而產(chǎn)生的平移(忽略了折射效應(yīng))。薄透鏡的作用：忽略吸收，僅使入射波前產(chǎn)生相位延遲，其大小正比于透鏡各點的厚度。把透鏡看成是一個相位型的衍射屏。透鏡的相位變換(位相調(diào)制)函數(shù)：（復(fù)振幅透過率函數(shù)）1.2透鏡的厚度函數(shù)主要考慮薄透鏡的情況從另一角度-厚度函數(shù)導(dǎo)出透過率L(x,y)1、透鏡的位相調(diào)制作用L(x,y)是Q到Q之間的光程：則透鏡的相位變換(位相調(diào)制)函數(shù)：1、透鏡的位相調(diào)制作用上式具有普遍意義，對于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度函數(shù)(x,y)，就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。透鏡的相位變換(位相調(diào)制)函數(shù)：（復(fù)振幅透過率函數(shù)）下面具體分析一下厚度函數(shù)(x,y)和透鏡主要結(jié)構(gòu)參數(shù)(構(gòu)成透鏡的兩個球面的曲率半徑R1和R2)之間的關(guān)系。1、透鏡的位相調(diào)制作用為求出厚度函數(shù)，將透鏡一剖為二，如圖所示：符號規(guī)則：為使導(dǎo)出的公式適合于不同類型的透鏡，規(guī)定：當(dāng)光線從左到右時，它遇到的每個凸面的曲率半徑為正，而每個凹面的曲率半徑為負(fù)。1、透鏡的位相調(diào)制作用僅考慮傍軸光，(x2+y2)足夠小厚度函數(shù)1、透鏡的位相調(diào)制作用1、透鏡的位相調(diào)制作用1.3透鏡的復(fù)振幅透過率根據(jù)厚度函數(shù)的表達(dá)式，可得到在傍軸近似下，光波通過透鏡時在(x,y)點發(fā)生的位相延遲(n為透鏡材料的折射率)1、透鏡的位相調(diào)制作用常數(shù)因子透鏡位相因子以上推導(dǎo)的關(guān)系適用于各種形式的薄透鏡，而且是在傍軸近似條件下推導(dǎo)出來的。透鏡相位變換函數(shù)：在分析時，可忽略常數(shù)和常相位因子。忽略了常復(fù)數(shù)因子后，兩者相同?！啥x得到——由厚度函數(shù)和得到比較兩種方法得到的復(fù)振幅透過率1、透鏡的位相調(diào)制作用1、透鏡的位相調(diào)制作用透鏡的作用：將入射平面波變換為會聚（發(fā)散）球面波，如下圖所示。理解透鏡相位變換的物理意義，可通過考察透鏡對垂直入射的單位振幅平面波的效應(yīng)，來理解透鏡相位變換的物理意義。1、透鏡的位相調(diào)制作用第一項是常數(shù)相位延遲，第二項可理解為球面波的二次曲面近似。1、透鏡的位相調(diào)制作用 入射平面波變換為球面波，這正是由于透鏡具有的位相因子，能夠?qū)θ肷洳ㄇ笆┘游幌嗾{(diào)制的結(jié)果。1、透鏡的位相調(diào)制作用1）球面透鏡將平面波變換成球面波的結(jié)論，在很大程度上依賴于傍軸近似。若在非傍軸近似條件下，即使透鏡表面是理想球面，透射光波也將偏離理想球面波，即透鏡產(chǎn)生波像差。事實上，常常把透鏡表面磨成非球面形式，以減少出射波前對球面的偏離，從而“校正透鏡的像差。”2）實際透鏡總是有大小的，即存在一個有限大小的孔徑。引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限孔徑，即1、透鏡的位相調(diào)制作用其中，表示透鏡對入射波前的位相調(diào)制；P(x,y)表示透鏡對于入射波前大小范圍的限制。于是透鏡的復(fù)振幅透過率可以完整的表示為：透鏡的相位變換作用，是由透鏡本身的性質(zhì)決定。1、透鏡的位相調(diào)制作用透過率的第二種推導(dǎo)方法：（前面已經(jīng)有了）1、透鏡的位相調(diào)制作用2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)回顧一下：利用透鏡實現(xiàn)夫瑯和費衍射，可以在透鏡的焦平面上得到入射場的空間頻譜，即實現(xiàn)傅里葉變換的運算。因此，會聚透鏡除具有成像性質(zhì)外，另一個最突出和最有用的性質(zhì)就是它能夠進行二維FT。正因如此，傅里葉分析方法才得以用于光學(xué)。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡為什么具有這種功能呢？***根本原因在于它具有能對入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說是透鏡的二次位相因子在起作用；然而出現(xiàn)二次位相因子的原因是透鏡的厚度函數(shù)。下面將具體分析一下這種作用發(fā)生的具體過程，并深入討論透鏡實現(xiàn)傅里葉變換的一些性質(zhì)。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2.1物體放置在透鏡前d

處透鏡后焦面上的場是透鏡前端場U1(x,y)的傅里葉變換(空間頻譜)；根據(jù)透鏡的位相調(diào)制功能，透鏡后端場U2(x,y)為:U1U2U0Uf物體的透射光場透鏡前端場透鏡后端場后焦面上的場2012-3-312、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)從透鏡后端到后焦面光的傳播屬于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的場U(x,y)為：透鏡后端場U2(x,y)為:將U2(x,y)代入:菲涅耳衍射公式2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上的場分布為焦面場是透鏡前端場的傅里葉變換(空間頻譜)。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)如上圖所示，距離透鏡前端有一物體，其透過率為t(x0,y0)。若用振幅為A的平面波垂直照明物體，則物體的透射光場為：U1U2U0Uf2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)根據(jù)角譜理論，透鏡前端場的角譜為：則有：H是費涅耳衍射在頻域中的傳遞函數(shù),并略去常量位相延遲。注意：Uf與t的聯(lián)系菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)是2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)（二次位相彎曲因子）其中，T()為透過率函數(shù)t()的頻譜。結(jié)論：透鏡后焦面上的光場分布正比于物體的傅里葉變換。其頻率取值與后焦面坐標(biāo)的關(guān)系為一般情況下,FT前面仍有二次相位因子,不是準(zhǔn)確的FT。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上(xf,xy)點的振幅和位相正比于物體頻譜所包含的頻率分量（fx=xf

/f，fy=yf

/f

）的振幅和位相。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)上式具有普遍意義，它證明在物體透射場的菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)放置一透鏡，在透鏡的后焦面上就可以得到該透射場的傅里葉變換(空間頻譜)。物體的功率譜對應(yīng)的強度分布為一般情況下，F(xiàn)T前面仍有二次相位因子，不是準(zhǔn)確的FT，但不影響強度分布（通常觀察的是強度分布）。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)如果d>0，物體在透鏡前方，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜產(chǎn)生一個位相彎曲。（二次位相彎曲因子）討論d（物體到透鏡距離）的三種情況：df2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)如果d=d0=f，物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面的光場分布是物體準(zhǔn)確的傅里葉變換。這正是通常所用的光路。

用單色平面波照明物體，物體置于透鏡的前焦面，則在透鏡的后焦面上得到物體的準(zhǔn)確的傅里葉變換。透鏡的后焦面稱為頻譜面。物理解釋后焦面上光場分布與頻譜的對應(yīng)關(guān)系物分布t

(x0,y0)是一個復(fù)雜結(jié)構(gòu),含有多種空頻成分.它調(diào)制入射的均勻平面波,使透射光場攜帶物體的信息.透射光場的角譜代表物函數(shù)的頻譜,即含有向不同方向衍射的許多平面波.其中向角方向衍射的平面波分量經(jīng)過透鏡后聚焦到(0,yf)點.2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)U0yfzfy0(0,yf)后焦面輸出面Uf2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)U0yfzfy0(0,yf)后焦面輸出面Uf此平面波分量的空頻fy=cosb

=yf/f由幾何關(guān)系易見:yf=ftan

fsin=fcosb(傍軸近似)方向余弦后焦面上(0,yf)點的復(fù)振幅,對應(yīng)空頻為(fx=0,fy=yf/f

)的平面波分量的振幅和位相.推廣之,任意(xf

,yf

)點的復(fù)振幅,對應(yīng)空頻為

(fx=xf/f,fy=yf/f)的平面波分量的振幅和位相.2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)∴透鏡的后焦面是物體的頻譜面.透鏡的后焦面是輸入物體的頻譜面透鏡后焦面上不同位置的點,對應(yīng)物體衍射光場的不同空間頻率分量fx0xffx1fx2fx2>

fx12、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的后焦面是輸入物體的頻譜面頻譜點出現(xiàn)在與空間條紋結(jié)構(gòu)垂直的方向上.F.T.F.T.2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)變換的尺度問題對應(yīng)于物的同一空頻分量,變換的尺度隨波長和焦距而變f1l2l2>l1l1f2>f1f2xf=lffx,yf=lffy2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)如果d=0，物體在透鏡前端面，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜也產(chǎn)生一個位相彎曲。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2.2物體放置在透鏡后方沿光波傳播方向逐面進行計算，最終可獲得透鏡后焦面上的場分布.暫不考慮透鏡的有限孔徑透鏡的透射光場幾何光學(xué)近似下，會聚球面波投射到物平面上的場分布物體的透射光場2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)對應(yīng)的強度分布為物體的功率譜物體的透射光場根據(jù)菲涅耳衍射公式，透鏡后焦面上的場分布當(dāng)d=f時，結(jié)果與物在透鏡前相同，即物從兩面緊貼透鏡都是等價的。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)注意：與前兩種情況不同，這里頻率取值與后焦面上坐標(biāo)的關(guān)系是對于給定頻率(fx,fy),隨著d的增大，xf

和yf的絕對值增大；通過改變d，可以調(diào)整物體傅里葉變換的空間尺寸大小。這種靈活性，為相干光空間濾波的應(yīng)用帶來很大方便。前兩種情況：xf=lffx,yf=lffy2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結(jié)：在單色平面波照明下，無論物體位于透鏡前方、后方還是緊靠透鏡，在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；對于這樣的照明方式，透鏡后焦面常稱為傅里葉變換平面或（空間）頻譜面。如果采用球面波照明時，透鏡還能進行傅里葉變化嗎？那頻譜面還是焦平面嗎?Answer:

透鏡還能起傅里葉變換作用，但是頻譜面不再是焦平面，而是點光源的像面位置。具體推導(dǎo)過程可參考有關(guān)參考書，這里不再贅述。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)復(fù)習(xí)題(小結(jié))：1、什么情況下得到準(zhǔn)確的傅里葉變換？（物體在什么位置）（二次位相彎曲因子）物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面的光場分布是物體準(zhǔn)確的傅里葉變換。在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；透鏡后焦面常稱為傅里葉變換平面或（空間）頻譜面。物體在透鏡前：2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)物體在透鏡后：（同樣存在二次位相彎曲因子）對于給定頻率(fx,fy),隨著d的增大，xf

和yf的絕對值增大；通過改變d，可以調(diào)整物體傅里葉變換的空間尺寸大小。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2.3透鏡孔徑的影響引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限孔徑，透鏡的復(fù)振幅透過率可以完整地表示為：下面將由簡而繁地討論透鏡孔徑的影響。有效物體則后焦面上的光場分布為：2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)1、物體緊靠透鏡放置考慮透鏡的有限孔徑，其透射場分布為當(dāng)透鏡孔徑大于物體尺度時，P(x,y)對實際物體不造成限制，可從公式中略去。當(dāng)透鏡孔徑小于物體尺度時，后焦面上的光場分布只是正比于一個有效物體的傅里葉變換。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)其中，以一維物函數(shù)t(x)為例，假定透鏡孔徑是寬度為l的矩形函數(shù)，即其傅里葉變換式為2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)卷積的效果是使物體頻譜圖像產(chǎn)生某種程度的模糊，或者說失真。透鏡孔徑越小，這種模糊越嚴(yán)重。下圖是物體頻譜與光瞳函數(shù)傅里葉變換卷積的結(jié)果。平面波2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2、物體放置在透鏡后方它是透鏡孔徑沿會聚光錐在物平面上的投影，可用投影光瞳函數(shù)表示透鏡的圓形孔徑（直徑l）限制的出射會聚球面波照明的圓形區(qū)域的直徑=ld/f物體的透射光場為物體的透射光場后焦面上的復(fù)振幅分布為2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2012-4-92、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)其中，***若物體被完全照明，則投影光瞳函數(shù)可從式中略去；否則，后焦面上的場分布只是部分物體的傅里葉變換，此時頻譜圖像產(chǎn)生模糊。焦平面上的復(fù)振幅分布為1、物體緊靠透鏡放置當(dāng)透鏡孔徑大于物體尺度時，P(x,y)對實際物體不造成限制，可從公式中略去。當(dāng)透鏡孔徑小于物體尺度時，后焦面上的光場分布只是正比于一個有效物體的傅里葉變換。***若物體被完全照明，則投影光瞳函數(shù)可從式中略去；否則，后焦面上的場分布只是部分物體的傅里葉變換，此時頻譜圖像產(chǎn)生模糊。2、物體放置在透鏡后方卷積的效果是使物體頻譜圖像產(chǎn)生某種程度的模糊小結(jié)2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3、物體放置在透鏡前方回顧漸暈：A物平面B1B2B3M1M2M入射窗入射光瞳P1P2PP2P2P2PPP1P1P1這種軸外點光束被部分地攔掉的現(xiàn)象稱為光學(xué)系統(tǒng)的軸外點光束的漸暈。2.3透鏡孔徑的影響2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)通常物體的距離d0相對于透鏡孔徑都不太大，仍采用光學(xué)近似。后焦面上(xf,yf)點的光場應(yīng)是物體上所有點所發(fā)出的方向余弦(cosxf

/f,cosyf

/

f)的光線經(jīng)透鏡會聚后疊加而成的。但物平面上只有一個圓形區(qū)域所發(fā)出的光線能夠到達(dá)(xf

,yf)點，沿(xf

,yf)點與透鏡中心連線方向，把透鏡孔徑投影到物平面上就可確定這個圓形區(qū)域。f物平面(xf

,yf)y0d02、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)把透鏡孔徑投影到物平面上就可確定這個圓形區(qū)域。其中心位于投影光瞳函數(shù)(圓形區(qū)域)：此處投影光瞳函數(shù)的中心位置是隨(xf

,yf)點變化的。有效物體函數(shù)：f物平面(xf

,yf)y0d02、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上的復(fù)振幅分布正比于有效物體函數(shù)的傅里葉變換，即有效物體函數(shù)：2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)以波矢量在y0z平面內(nèi)傳播的平面波分量受透鏡孔徑限制的情況來說明對于頻譜面光場的影響。如圖所示，對于0方向，透鏡孔徑投影能完全覆蓋物體的極限情況.相應(yīng)空間頻率假設(shè)圓形物體的直徑為L透鏡直徑為l截止頻率(1)<0部分的空間頻率，相應(yīng)方向的光線都可以全部成像在焦平面上(<0部分的空間頻率將全部成像在焦平面上)，就可準(zhǔn)確代表相應(yīng)頻率成分的頻譜值。Ll2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)僅當(dāng)物體上各點的某一空間頻率成分(對應(yīng)于某一方向的平面波)不受阻擋地通過透鏡時，在透鏡后焦面上的相應(yīng)會聚點所得到的強度分布才是準(zhǔn)確代表整個物體上相應(yīng)頻譜的模的平方。滿足這一條件平面波的傳播方向與光軸的最大夾角可見，透鏡孔徑的大小及焦距的大小決定了物面上能到達(dá)皮頻譜面的頻率成分。（或被處理物面的大小）2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)部分的空間頻率將部分成像在焦平面上（2）偏離這一頻率成分的頻譜值，空間頻率越高，誤差越大。頻譜面上，雖有頻譜值，但不是準(zhǔn)確的頻譜值。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)部分的空間頻率都不能成像在焦平面上。（3）相應(yīng)空間頻率物體盡管有空間頻率大于fM的頻率成分，譜面上卻不再能得到它們的頻譜值。2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結(jié)：（1）有限大小的透鏡孔徑可能會造成物體頻譜的失真，原因就在于透鏡實際上是一個低通濾波器：低頻成分可以通過，稍高頻率成分可以部分通過，高頻部分則完全被濾除。（2）因此由于透鏡有限孔徑的影響，后焦面上不能得到準(zhǔn)確的物體頻譜，給傅里葉變換結(jié)果帶來誤差，頻率越高，誤差越大。我們把這種現(xiàn)象稱為漸暈效應(yīng)。（3）采用盡可能大的透鏡孔徑，或物體盡可能靠近透鏡，可以減小漸暈的影響。例題單位振幅的單色平面波垂直照明一個直徑為5cm,焦距為80cm的透鏡。在透鏡的后面20cm的地方，以光軸為中心放置一個余弦型振幅光柵，其復(fù)振幅透過率為假定L=1cm,f0=100周/cm,l=0.6mm。畫出焦平面上沿xf

軸的強度分布。標(biāo)出各衍射分量之間的距離和各個分量的寬度（第一個零點之間）的數(shù)值。x’-y’∑0S’d0xf-yfx0-y0∑pf例題解：由幾何關(guān)系可知，在物面上投影光瞳大于物體尺寸，故可不考慮透鏡孔徑的效應(yīng)。透鏡:D=5cm,f=80cm,物體：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cm復(fù)振幅分布：強度分布:x’-y’∑0S’d0xf-yfx0-y0∑pf單位振幅的單色平面波垂直照明，q=f,透鏡后焦面上出現(xiàn)物體的傅里葉變換，但有一個二次位相因子。例題透鏡:D=5cm,f=80cm,物體：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cm強度分布:x’-y’∑0S’d0xf-yfx0-y0∑pf例題透鏡:D=5cm,f=80cm,物體：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cm強度分布:沿fx軸:∵f0>>1/L,∴將代入,并取l=0.6mm:q=f例題透鏡:D=5cm,f=80cm,物體：d0=20cm，L=1cm,f0=100周/cm將代入,并取l=0.6mm:f0=100,l(q-d0)=3.610-30.36xf03.610-3-3.610-3-0.36I03、光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)光學(xué)頻譜分析的基本原理就是利用透鏡的傅里葉變換性質(zhì)來產(chǎn)生物體的空間頻譜，然后對它進行測量、分析來研究物體的空間結(jié)構(gòu)。二維光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)上圖所示為二維光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)的光路。S為相干點光源，L1為準(zhǔn)直透鏡，L2為傅里葉變換透鏡。P1平面（L2前焦面）放置輸入物體，其復(fù)振幅透過率為t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，輸出光場分布正比于物體的空間頻譜，即在P2平面（L2后焦面）上，輸出光場分布正比于物體的空間頻譜，即3、光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)強度記錄得到物體的功率譜為光學(xué)頻譜分析可用于微小物體的形狀尺寸檢測、質(zhì)量檢測、圖像分析等領(lǐng)域。本章小結(jié)1）透鏡具有成像和傅里葉變換的功能，其根本原因在于透鏡具有對入射波前進行位相調(diào)制的功能；而透鏡之所以具有這種位相調(diào)制的功能就在于透鏡本身存在的厚度變化。2）透鏡具有傅里葉變換的功能當(dāng)采用平面波垂直照明時，總可以在透鏡后焦面上得到物體的功率譜，無論物體放置在透鏡前方、后方還是緊靠透鏡；但當(dāng)用球面波照明時，頻譜面不在透鏡焦平面上，而是點光源的成像位置。3）透鏡有限大小的孔徑對傅里葉變換有很大的影響，給傅里葉變換結(jié)果帶來誤差，頻率越高，誤差越大。透鏡相當(dāng)于一個低通濾波器。快速搶答?。?！透鏡的F.T.性質(zhì)透鏡的復(fù)振幅透過率：變換的空頻坐標(biāo)與后焦面空間坐標(biāo)xf,yf

的關(guān)系：物體放在焦距為f的透鏡的前焦面，用波長為l的單色平面波垂直入射照明，在透鏡后焦面上得到：物函數(shù)t(x0,y0)的準(zhǔn)確的傅里葉變換數(shù)學(xué)表達(dá)式：選擇填空！?。》颇苌涞腇.T.表達(dá)式（空域）會聚球面波的復(fù)振幅表達(dá)式薄透鏡以上述形式對Ul(x,y)進行相位變換的條件是

。只要傍軸條件滿足有限透鏡的復(fù)振幅透過率（相位變換因子）任何衍射屏,若其復(fù)振幅透過率可寫為的形式,都可看成一個焦距為f

的透鏡.例題：廣義透鏡屏的復(fù)振幅透過率:問:1.是否類似透鏡?2.焦距?3.成像的波長特性?解:#設(shè)a>0,分別考察圓括號中的三項:代表正透鏡焦距f=k/2a=p/al代表負(fù)透鏡，焦距f=-k/2a=-p/al代表平鏡,焦距f=∞,無焦度,僅衰減振幅circ(r0/l)是孔徑函數(shù)P(x,y),代表直徑為l的圓孔.此屏類似透鏡,等效于平、凹、凸三個透鏡,可作位相變換三個透鏡的直徑為2l,焦距分別為∞,-/a和/a.當(dāng)單色平面波垂直入射時,有三部分出射光束(1)直接透過,循原方向傳播(2)會聚到透鏡后焦面處,與透鏡距離為/a(3)從透鏡前焦點/a處發(fā)散的球面波正、負(fù)透鏡的焦距與波長有關(guān),即有很大的色差.只有用單色光照明,才能得到清晰的像三個衍射級不能完全分開用全息方法很容易實現(xiàn)上述透過率函數(shù),此屏即為同軸全息透鏡,是球面波與平面波干涉的結(jié)果目的證明:平面型透明片,在單色光照明下,通過透鏡的位相調(diào)制作用，在照明光源的共軛平面上可以得到透明片的傅里葉變換§3.2透鏡的傅里葉變換性質(zhì)

FourierTransformPropertyofLenses光學(xué)系統(tǒng)由孔徑和透鏡組成,光波由一個平面向另一個平面?zhèn)鞑タ讖?真實開孔,屏,透明片等用復(fù)振幅透過率t(x0,y0)描述,光學(xué)系統(tǒng)的一般描述實現(xiàn)位相變換:傳播光波由一個平面(x0,y0)向另一個平面(x,y)傳播一段距離(z).y0x0U(x,y)U0(x0,y0)yxzz有限距離的傳播用菲涅耳衍射處理.在空域有二種表達(dá)形式#FresnelDiffraction

菲涅耳衍射公式 觀察平面 孔徑平面 空域 U(x,y)

U(x0,y0)U(x,y)F.T.表達(dá):上述基本單元和過程組成光學(xué)系統(tǒng)確定坐標(biāo)系.

一個特定平面用一組固定的xy坐標(biāo)描述,不要混淆正確描述入射光波復(fù)振幅U(x,y) (平面波:垂直入射或斜入射;球面波:會聚或發(fā)散)光波由左向右傳播,傳播距離標(biāo)絕對值遇到孔徑:

乘上透過率函數(shù)t(x,y),遇到透鏡:

乘上位相變換因子傳播過程:

看成菲涅耳衍射,采用適當(dāng)?shù)男问統(tǒng)lxlU(xi,yi)U0(x0,y0)yixizy0x0UlUl’did0分析時注意：在一定的幾何關(guān)系下,可以得到傅里葉變換性質(zhì)和成像性質(zhì)#球面波照明

1.物在透鏡前S:

單色點光源發(fā)出球面波照明物體t

(x0,y0)的前表面Ul’Ulx’-y’∑p透鏡前|后平面P1

|P2x-yzqpS’SS’:S的共軛像點。注意：x-y平面不是t

(x0,y0)的像平面。要證明：t

(x0,y0)的傅里葉變換T(fx,fy)出現(xiàn)在x-y平面上。t

(x0,