第三章貝葉斯估計(jì)理論 LMMSE

貝葉斯估計(jì)理論——LMMSE和小結(jié)羅義軍QQ:896442923貝葉斯估計(jì)理論——內(nèi)容安排主要內(nèi)容引言線(xiàn)性貝葉斯估計(jì)量（LMMSE）估計(jì)量總結(jié)一般貝葉斯估計(jì)量選擇估計(jì)量使得平均代價(jià)（貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)）最小對(duì)給定代價(jià)函數(shù)，可得最優(yōu)估計(jì)量的形式三種代價(jià)函數(shù)圖11.2不同代價(jià)函數(shù)的估計(jì)量最小均方誤差（MMSE）估計(jì)最大后驗(yàn)概率（MAP）估計(jì)條件中位數(shù)估計(jì)LMMSE的引入MMSE含有多重積分，MAP含有多維最大值求解問(wèn)題。聯(lián)合高斯假設(shè)條件下容易得到，一般情況下難以求得不能做出高斯假定時(shí)，選擇保留MMSE準(zhǔn)則限定估計(jì)量線(xiàn)性L(fǎng)MMSE估計(jì)類(lèi)似于BLUE估計(jì)量的顯式可由前兩階矩來(lái)確定卡爾曼濾波器是維納濾波器的重要推廣貝葉斯估計(jì)理論——內(nèi)容安排主要內(nèi)容引言線(xiàn)性貝葉斯估計(jì)量（LMMSE）估計(jì)量總結(jié)線(xiàn)性MMSE估計(jì)假定標(biāo)量參數(shù)給定數(shù)據(jù)矢量假定：聯(lián)合PDF未知；已知前兩階矩；

X與θ統(tǒng)計(jì)相關(guān)目標(biāo)：求滿(mǎn)足如下形式的最佳估計(jì)量選擇加權(quán)系數(shù)使貝葉斯MSE最小，導(dǎo)出的估計(jì)量稱(chēng)為L(zhǎng)MMSE估計(jì)量最佳加權(quán)系數(shù)的推導(dǎo)代入得對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，代入可得這里標(biāo)量！展開(kāi)可得對(duì)加權(quán)系數(shù)求偏導(dǎo)可得注意：LMMSE估計(jì)僅需1階和2階矩，不需PDF代入并化簡(jiǎn)可得若和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則完全基于先驗(yàn)信息，數(shù)據(jù)無(wú)用例12.1WGN中具有均勻先驗(yàn)PDF的DC電平若，需要積分而無(wú)法得到閉合形式的解因此，采用LMMSE回顧例10.11×N幾何解釋內(nèi)積空間(IPSpaces)矢量：全部隨機(jī)變量集合/0均值、有限方差（ZMFV）標(biāo)量：全部實(shí)數(shù)集合內(nèi)積：<X,Y>=E{XY}構(gòu)成內(nèi)積空間首先：是矢量空間用于估計(jì)標(biāo)量隨機(jī)變量由N個(gè)隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合進(jìn)行估計(jì)應(yīng)用正交原理假定可逆矢量LMMSE估計(jì)待估參數(shù)線(xiàn)性估計(jì)量目標(biāo)：對(duì)每個(gè)元素，使最小可將矩陣A的第i行和矢量a第i個(gè)元素，看成的標(biāo)量LMMSE估計(jì)量的形式已知每個(gè)待估參數(shù)的標(biāo)量LMMSE形式得出相應(yīng)的解組合為矢量形式

矢量LMMSE的解矢量LMMSE估計(jì)若相似地，可得矩陣LMMSE估計(jì)量的兩個(gè)性質(zhì)1.在線(xiàn)性變換上是可以轉(zhuǎn)換的若且為L(zhǎng)MMSE估計(jì)量，則為的LMMSE估計(jì)量2.未知參數(shù)之和的LMMSE估計(jì)量是每個(gè)估計(jì)量之和若則貝葉斯高斯-馬爾可夫定理令數(shù)據(jù)為應(yīng)用前面的結(jié)果，可得與貝葉斯線(xiàn)性估計(jì)（已包含高斯假定）形式相同除非最佳估計(jì)線(xiàn)性，通常為次佳估計(jì)LMMSE只需得到均值和協(xié)方差矩陣則若定理4.2一般線(xiàn)性模型的MVUE定理11.1貝葉斯線(xiàn)性模型下MMSE估計(jì)序貫LMMSE估計(jì)與序貫LS方法相同固定參數(shù)個(gè)數(shù)（在此為隨機(jī)的），增加數(shù)據(jù)樣本數(shù)目數(shù)據(jù)模型目標(biāo)：給定基于的估計(jì)，當(dāng)新的數(shù)據(jù)樣本到達(dá)時(shí)，更新估計(jì)到求序貫LMMSE在此，我們利用矢量空間得到“白噪聲中的直流電平”的解，再推廣到一般情況假定和均為0均值，給定，其LMMSE估計(jì)再由尋求該估計(jì)的序貫更新看作矢量空間首先估計(jì)新數(shù)據(jù)，即求利用正交原理由提供的新的非冗余信息，稱(chēng)為“新息”由舊數(shù)據(jù)，估計(jì)新數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)A在誤差矢量上的投影正是所求的修正項(xiàng)回顧特性：新息序列新息序列是：推導(dǎo)和應(yīng)用序貫LMMSE的關(guān)鍵正交的（即不相關(guān)的）矢量序列在信號(hào)處理和控制中非常重要一般序貫LMMSE估計(jì)

初始化：無(wú)數(shù)據(jù)，利用先驗(yàn)信息估計(jì)量更新：序貫LMMSE框圖框圖與序貫LS相同信號(hào)處理的例子——維納濾波器信號(hào)模型：?jiǎn)栴}表述：用線(xiàn)性濾波器處理，得到去噪的信號(hào)，使得所求信號(hào)相關(guān)的最小濾波、平滑、預(yù)測(cè)FIR維納濾波原理上：實(shí)際中：IIR維納濾波可看作，此時(shí)維納濾波為時(shí)不變的則維納-霍夫等式為可采用“譜因式分解”求得維納濾波為IIR時(shí)不變的定長(zhǎng)FIR維納濾波數(shù)據(jù)：FIR平滑器為便于解釋?zhuān)紤]N=1的情況：IIR平滑器基于數(shù)據(jù)估計(jì)維納-霍夫方程為：1步預(yù)測(cè)的結(jié)果：對(duì)于AR（3）貝葉斯估計(jì)理論——內(nèi)容安排主要內(nèi)容引言線(xiàn)性貝葉斯估計(jì)量（LMMSE）估計(jì)量總結(jié)估計(jì)方法在經(jīng)典方法中，數(shù)據(jù)信息總結(jié)在概率密度函數(shù)p(x;θ)中，其中PDF是θ的函數(shù)。在貝葉斯方法中，由于先驗(yàn)PDFp(θ)描述了有關(guān)θ的知識(shí)而增加