2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章概率2超幾何分布學(xué)案2-3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解超幾何分布的概念。2.掌握超幾何分布的公式．知識點超幾何分布已知在10名學(xué)生中，有4名男生,現(xiàn)任選3人，用X表示選到的男生的人數(shù)．思考1X可能取哪些值？思考2“X＝2”表示的試驗結(jié)果是什么？P(X＝2）的值呢？思考3如何求P（X＝k）(k＝0，1,2,3）?梳理超幾何分步一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M（M≤N）件次品．從中任取n（n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P（X＝k）＝__________________（其中k為非負(fù)整數(shù)）．如果一個隨機(jī)變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數(shù)為____________的超幾何分布．特別提醒：（1)超幾何分布，實質(zhì)上就是有總數(shù)為N的兩類物品，其中一類有M（M≤N）件,從所有物品中任取n件，則這n件中所含這類物品的件數(shù)X是一個離散型隨機(jī)變量，它取值為k時的概率為P（X＝k)＝eq\f（C\o\al(k，M)C\o\al（n－k，N－M)，C\o\al(n，N))(k≤l，l是n和M中較小的一個)．（2）在超幾何分布中,只要知道N，M和n，就可以根據(jù)超幾何分布的公式求出X取不同值時的概率P，從而寫出X的分布列．類型一超幾何分布概念的理解例1從一批含有13件正品、2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，求取得次品數(shù)ξ的分布列，并求至少取得一件次品的概率．反思與感悟解決此類問題的關(guān)鍵是判斷所給問題是否屬于超幾何分布問題，而求其分布列的關(guān)鍵是求得P（ξ＝k)的組合關(guān)系式．跟蹤訓(xùn)練1高三（1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲：在一個口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)一次從中摸出5個球，若摸到4個紅球1個白球的就中一等獎，求中一等獎的概率．類型二求超幾何分布的分布列例2某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)、4名女同學(xué)．在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動（每位同學(xué)被選到的可能性相同）．(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列．反思與感悟解答此類題目的關(guān)鍵在于先分析隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，如果滿足超幾何分布的條件，則直接利用超幾何分布概率公式求解．當(dāng)然，此類題目也可通過古典概型解決．跟蹤訓(xùn)練2端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個,肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個．（1)求三種粽子各取到1個的概率；（2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù),求X的分布列．類型三超幾何分布的應(yīng)用例350張彩票中只有2張有獎,今從中任取n張,為了使這n張彩票中至少有一張中獎的概率大于0。5，則n至少為多少？反思與感悟利用超幾何分布的知識可以解決與概率有關(guān)的問題，其關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為超幾何分布的模型．在利用超幾何分布的模型時,將實際問題與超幾何分布的模型進(jìn)行比較，認(rèn)清實質(zhì)，把問題涉及的對象轉(zhuǎn)化為“產(chǎn)品”“次品”進(jìn)行分析．跟蹤訓(xùn)練3生產(chǎn)方提供一批50箱的產(chǎn)品，其中有2箱不合格．采購方接收該批產(chǎn)品的條件是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若至多有1箱不合格產(chǎn)品，便接收該批產(chǎn)品，則該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？1．下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是（)A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)為XB．從7名男生、3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部,選出女生的人數(shù)為XC．某射手的命中概率為0。8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為XD．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，X是首次摸出黑球時的已摸次數(shù)2．在15個村莊中，有7個村莊交通不方便,若用隨機(jī)變量X表示任選10個村莊中交通不方便的村莊的個數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為（）A．N＝15，M＝7,n＝10 B．N＝15，M＝10，n＝7C．N＝22，M＝10，n＝7 D．N＝22，M＝7,n＝103．一批產(chǎn)品共10件，次品率為20％,從中任取2件，則正好取到1件次品的概率是（）A.eq\f（28，45） B.eq\f(16,45)C。eq\f(11，45) D。eq\f(17，45)4．設(shè)袋中有80個紅球、20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為()A.eq\f(C\o\al（4,80)C\o\al（6,10),C\o\al（10,100）） B。eq\f(C\o\al(6，80)C\o\al(4,10),C\o\al(10,100））C。eq\f（C\o\al（4,80)C\o\al（6，20）,C\o\al(10，100）） D。eq\f（C\o\al（6,80）C\o\al(4，20），C\o\al（10，100))5．從5名男生和3名女生中任選3人參加奧運會火炬接力活動．若隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，求X的分布列及P（X<2）．1．超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,從形式上看超幾何分布的模型,其產(chǎn)品由較明顯的兩部分組成．2．在超幾何分布中，只要知道N，M和n,就可以根據(jù)公式求出隨機(jī)變量X取k時的概率P（X＝k),從而列出隨機(jī)變量X的分布列．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點思考10,1,2，3.思考2任選3人中恰有2人為男生，P（X＝2）＝eq\f（C\o\al(2，4）C\o\al(1,6),C\o\al(3，10)）.思考3P（X＝k)＝eq\f(C\o\al（k,4）C\o\al(3－k,6），C\o\al（3,10)).梳理eq\f(C\o\al（k，M)C\o\al（n－k,N－M)，C\o\al（n，N)）N,M,n題型探究例1解依題意得，ξ服從超幾何分布,其中N＝15,M＝2，n＝3.ξ的可能取值為0,1,2,相應(yīng)的概率依次為P（ξ＝0)＝eq\f(C\o\al（0，2)C\o\al(3，13),C\o\al（3，15））＝eq\f(22，35)，P(ξ＝1）＝eq\f(C\o\al（1，2）C\o\al(2,13）,C\o\al（3，15））＝eq\f(12,35),P(ξ＝2）＝eq\f(C\o\al（2,2）C\o\al(1，13)，C\o\al（3,15))＝eq\f(1，35）.所以ξ的分布列為ξ012Peq\f（22,35）eq\f(12,35)eq\f(1，35）故至少取得一件次品的概率為P（ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(12，35)＋eq\f（1，35）＝eq\f(13,35）.跟蹤訓(xùn)練1解若以30個球為一批產(chǎn)品，其中紅球為不合格產(chǎn)品，隨機(jī)抽取5個球，X表示取到的紅球數(shù)，則X服從超幾何分步．由公式得P（X＝4）＝eq\f（C\o\al（4，10）C\o\al(5－4，20)，C\o\al(5,30)）＝eq\f(100,3393）≈0.0295,所以獲一等獎的概率約為2。95%。例2解(1）設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P（A）＝eq\f(C\o\al（1，3）·C\o\al（2，7）＋C\o\al(0,3)·C\o\al（3,7），C\o\al(3,10））＝eq\f(49,60），所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為eq\f（49，60）。(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1,2，3。P(X＝k）＝eq\f(C\o\al（k,4)·C\o\al（3－k,6），C\o\al（3,10）)(k＝0，1,2,3），P（X＝0)＝eq\f(C\o\al（0,4)C\o\al（3，6),C\o\al(3，10））＝eq\f(1,6)，P（X＝1）＝eq\f(C\o\al（1，4）C\o\al(2,6)，C\o\al（3，10)）＝eq\f（1，2），P（X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al（1，6）,C\o\al（3,10)）＝eq\f(3,10），P（X＝3）＝eq\f(C\o\al(3，4)C\o\al（0，6）,C\o\al（3，10)）＝eq\f(1,30），其分布列為X0123Peq\f(1,6)eq\f(1，2）eq\f(3，10）eq\f（1,30)跟蹤訓(xùn)練2解（1)設(shè)A表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2）C\o\al（1,3)C\o\al（1,5),C\o\al（3，10））＝eq\f（1，4）.(2)X的所有可能值為0，1，2,且P（X＝0)＝eq\f（C\o\al(3,8），C\o\al(3,10））＝eq\f（7，15),P(X＝1）＝eq\f(C\o\al（1，2)C\o\al（2,8），C\o\al（3,10）)＝eq\f（7,15），P(X＝2)＝eq\f（C\o\al（2,2)C\o\al（1，8），C\o\al（3,10））＝eq\f（1,15）。綜上可知，X的分布列為X012Peq\f(7,15）eq\f（7,15)eq\f（1，15)例3解設(shè)隨機(jī)變量X表示“抽出中獎彩票的張數(shù)”，則X服從參數(shù)為N＝50，M＝2，n的超幾何分布，可得至少有一張中獎的概率為P(X≥1)＝eq\f(C\o\al(1,2）C\o\al(n－1,48)，C\o\al(n，50)）＋eq\f（C\o\al(2,2）C\o\al(n－2，48)，C\o\al(n，50))〉0.5，又n∈N＋，且n≤50，解得n≥15。所以n至少為15。跟蹤訓(xùn)練3解從50箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5箱，用X表示“5箱中不合格產(chǎn)品的箱數(shù)”，則X服從參數(shù)為N＝50，M＝2,n＝5的超幾何分布．這批產(chǎn)品被接收的條件是5箱全合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率為P(X≤1）＝eq\f（C\o\al（0,2)C\o\al（5，48),C\o\al（5,50））＋eq\f（C\o\al(1，2)C\o\al（4，48),C\o\al(5,50))＝eq\f(243,245）.所以該批產(chǎn)品被接收的概率為eq\f（243,245).當(dāng)堂訓(xùn)練1．B2。A3。B4。D5．解由題意分析可知,隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N＝8，M＝3,n＝3。隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2,3。所以P(X＝0)＝eq\f（C\o\al(3，5)C\o\al（0,3)，C\o\al（3,8)）＝eq\f(5，28）,P(X＝1）＝eq\f（C\o\al（2，5)C\o\al(1，3）,C\o\al（3，8）)＝eq\f（15，28）,P（X＝2)＝eq\f(C\o\al(1，5)C\o\al（2,3),C\o\al(3，8））＝eq\f（15,56），P（X＝3)＝eq\f(C\o\al（0，5）C\o\al(3