2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程1.2橢圓的簡單性質(zhì)（一）學(xué)案1-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE21學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1。2橢圓的簡單性質(zhì)(一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì),并正確地畫出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形．知識點(diǎn)一橢圓的簡單性質(zhì)已知兩橢圓C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程:C1：eq\f（x2，25）＋eq\f（y2,16）＝1,C2：eq\f（y2，25）＋eq\f(x2，16）＝1.思考1怎樣求C1、C2與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)？交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？思考2橢圓具有對稱性嗎？思考3橢圓方程中x，y的取值范圍分別是什么？梳理標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1(a〉b〉0)eq\f（y2,a2)＋eq\f(x2，b2）＝1(a>b〉0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)焦距|F1F2｜＝2c(c＝eq\r(a2－b2)）｜F1F2|＝2c(c＝eq\r(a2－b2））范圍對稱性關(guān)于____________________對稱頂點(diǎn)軸長軸長________，短軸長________知識點(diǎn)二橢圓的離心率思考觀察不同的橢圓可見它們的扁平程度不一樣，哪些量影響其扁平程度？怎樣刻畫?梳理（1)定義：橢圓的焦距與長軸長度的比叫作橢圓的________，用e表示．(2）性質(zhì):離心率e的取值范圍是________，當(dāng)e越接近1,橢圓越______，當(dāng)e越接近______,橢圓就越接近圓．類型一橢圓的簡單性質(zhì)引申探究已知橢圓方程為4x2＋9y2＝36，求橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率．例1求橢圓9x2＋16y2＝144的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．反思與感悟解決此類問題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用a,b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)橢圓方程mx2＋4y2＝4m(m〉0)的離心率為eq\f(1，2)，試求橢圓的長軸長和短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)．類型二求橢圓的離心率命題角度1與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的離心率問題例2設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a>b〉0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，｜AF1｜＝3|BF1|.(1)若｜AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2｜;(2)若cos∠AF2B＝eq\f（3，5)，求橢圓E的離心率．反思與感悟涉及到焦點(diǎn)三角形注意利用橢圓的定義找到a與c的關(guān)系或利用e＝eq\r(1－\f(b2,a2））求解．跟蹤訓(xùn)練2橢圓eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2，b2）＝1（a〉b>0）的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2,以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為________．命題角度2利用a，c的齊次式,求橢圓的離心率(或其取值范圍)例3(1)設(shè)橢圓C：eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a〉b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于________．（2)若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，b2)＝1（a〉b〉0)上存在一點(diǎn)M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn))，則橢圓的離心率e的取值范圍是________．反思與感悟若a,c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a,b，c的關(guān)系式,借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．跟蹤訓(xùn)練3若一個(gè)橢圓的長軸長、短軸長和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是________．類型三利用橢圓的簡單性質(zhì)求方程例4求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為（0，－eq\r（10)）,該點(diǎn)與最近的焦點(diǎn)的距離為eq\r(10)－eq\r(5)；（2）已知橢圓的離心率為e＝eq\f（2,3）,短軸長為8eq\r（5).反思與感悟在求橢圓方程時(shí),要注意根據(jù)題目條件判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而確定方程的形式;若不能確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，則應(yīng)進(jìn)行討論,然后列方程(組）確定a,b，這就是我們常用的待定系數(shù)法．跟蹤訓(xùn)練4橢圓過點(diǎn)(3，0)，離心率e＝eq\f（\r(6)，3）,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．1．橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是（0,13）,另一個(gè)頂點(diǎn)是(－10，0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（)A．（±13，0) B．(0,±10）C．（0，±13) D．(0,±eq\r(69））2。如圖，已知直線l：x－2y＋2＝0過橢圓的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，則橢圓的離心率為（）A。eq\f(1，5） B.eq\f(2，5）C。eq\f（\r（5），5） D。eq\f(2\r(5),5）3．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且短軸長為2的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是（)A.eq\f（x2，2）＋eq\f（y2，4）＝1 B．x2＋eq\f（y2,6）＝1C。eq\f（x2，6)＋y2＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2，5）＝14．已知點(diǎn)（m，n)在橢圓8x2＋3y2＝24上,則2m＋4的取值范圍是________________．5.求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1）已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上，若其離心率為eq\f(1,3），焦距為8；(2)短軸一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，且焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為eq\r（3).1．已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式,應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式．2．根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)，可以求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系數(shù)法．在橢圓的基本量中，能確定類型的量有焦點(diǎn)、頂點(diǎn),而不能確定類型的量有長軸長、短軸長、離心率e、焦距．3．求橢圓的離心率要注意函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1對于方程C1:令x＝0，得y＝±4,即橢圓與y軸的交點(diǎn)為（0,4）與(0,－4）；令y＝0，得x＝±5，即橢圓與x軸的交點(diǎn)為（5，0）與(－5，0）．同理得C2與y軸的交點(diǎn)為(0，5)與（0，－5），與x軸的交點(diǎn)為(4,0)與(－4,0）．思考2有．問題中兩橢圓都是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，也是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形．思考3C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4;C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5。梳理F1(－c，0)，F(xiàn)2(c,0）F1(0,－c），F(xiàn)2(0，c）|x|≤a，|y｜≤b|x｜≤b，｜y|≤ax軸、y軸和原點(diǎn)(±a,0），(0,±b）（0，±a)，（±b，0)2a2b知識點(diǎn)二思考如圖所示，在Rt△BF2O中,cos∠BF2O＝eq\f（c，a),記e＝eq\f（c，a）,則0<e〈1,e越大，∠BF2O越小，橢圓越扁；e越小，∠BF2O越大，橢圓越圓．梳理（1）離心率（2)(0，1）扁0題型探究例1解已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)＋eq\f（y2，9)＝1，于是a＝4,b＝3，c＝eq\r(16－9）＝eq\r(7），∴橢圓的長軸長和短軸長分別是2a＝8和2b＝6，離心率e＝eq\f（c，a）＝eq\f（\r（7），4）。又知焦點(diǎn)在x軸上，∴兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(－eq\r(7）,0)和F2(eq\r(7)，0），四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A1(－4,0)，A2（4,0)，B1(0，－3）和B2(0，3)．引申探究解把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2，9）＋eq\f（y2,4）＝1，可知此橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且長半軸長a＝3,短半軸長b＝2.又得半焦距c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r（9－4）＝eq\r（5)。所以橢圓的長軸長2a＝6，短軸長2b＝4；兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－eq\r(5）,0）,(eq\r(5），0）．四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（－3，0），（3，0），(0，－2)，（0,2）．離心率e＝eq\f（c,a)＝eq\f（\r（5)，3)。跟蹤訓(xùn)練1解橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\f(x2，4)＋eq\f（y2，m)＝1,且e＝eq\f（1,2）。（1)當(dāng)0<m<4時(shí),長軸長和短軸長分別是4,2eq\r(3），焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－1，0)，F(xiàn)2（1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1（－2,0），A2(2,0)，B1(0，－eq\r(3))，B2（0，eq\r(3）)．(2)當(dāng)m>4時(shí),長軸長和短軸長分別為eq\f（8\r（3),3),4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，－eq\f(2\r(3），3））,F2（0，eq\f(2\r（3)，3）），頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1（0，－eq\f(4\r（3），3)),A2（0，eq\f（4\r（3）,3）），B1（－2,0）,B2（2，0)．例2解(1)由|AF1|＝3｜F1B｜，|AB｜＝4,得|AF1｜＝3，|F1B|＝1。因?yàn)椤鰽BF2的周長為16,所以由橢圓定義可得4a＝16，｜AF1|＋|AF2｜＝2a＝8.故｜AF2|＝2a－|AF1｜＝8－3＝5。(2）設(shè)|F1B|＝k，則k>0，且｜AF1｜＝3k，|AB｜＝4k。由橢圓定義可得|AF2｜＝2a－3k，|BF2｜＝2a－k。在△ABF2中，由余弦定理可得｜AB|2＝|AF2｜2＋｜BF2｜2－2|AF2｜·｜BF2|·cos∠AF2B，即（4k）2＝（2a－3k）2＋（2a－k）2－eq\f（6，5）(2a－3k)·(2a－k)，化簡可得(a＋k）（a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k。于是有｜AF2|＝3k＝|AF1｜,|BF2｜＝5k。因此|BF2|2＝｜F2A｜2＋｜AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2為等腰直角三角形．從而c＝eq\f(\r（2),2）a，所以橢圓E的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)。跟蹤訓(xùn)練2eq\r(3）－1例3（1）eq\f(\r(3),3）解析直線AB：x＝c，代入eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1，得y＝±eq\f(b2，a），∴A（c，eq\f（b2,a）），B(c，－eq\f（b2,a)）．∴kBF1＝eq\f（－\f(b2,a）－0,c－－c）＝eq\f(－\f（b2,a)，2c)＝－eq\f(b2，2ac)，∴直線BF1：y－0＝－eq\f（b2,2ac）(x＋c)，令x＝0，則y＝－eq\f（b2,2a)，∴D(0，－eq\f（b2，2a）），∴kAD＝eq\f(\f（b2，a）＋\f(b2，2a)，c)＝eq\f(3b2，2ac）.由于AD⊥BF1，∴－eq\f(b2，2ac）·eq\f(3b2，2ac)＝－1，∴3b4＝4a2c2,∴eq\r（3)b2＝2ac,即eq\r(3）(a2－c2）＝2ac，∴eq\r（3）e2＋2e－eq\r（3)＝0，∴e＝eq\f（－2±\r（4－4×\r（3)×－\r(3）），2\r（3)）＝eq\f(－2±4,2\r（3)），∵e>0，∴e＝eq\f(－2＋4，2\r(3）)＝eq\f(2,2\r(3）)＝eq\f（\r(3),3）。(2)[eq\f(\r（2)，2），1）解析橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1（a>b〉0),－b≤y≤b.由題意知,以F1F2為直徑的圓至少與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)，則c≥b，即c2≥b2,所以c2≥a2－c2，所以e2≥1－e2，即e2≥eq\f(1，2）。又0<e<1，所以e的取值范圍是［eq\f(\r（2),2），1）．跟蹤訓(xùn)練3eq\f（3，5)解析由題意知2a＋2c＝2（2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝eq\f（3,5)或e＝－1（舍去）．例4解(1)由題意知a＝eq\r(10），a－c＝eq\r（10）－eq\r(5），則c＝eq\r（5)。所以b2＝a2－c2＝5，所以所求橢圓的方程為eq\f（y2,10）＋eq\f(x2，5）＝1.（2)由e＝eq\f(c，a）＝eq\f（2,3），得c＝eq\f(2，3）a,又2b＝8eq\r(5),a2＝b2＋c2,所以a2＝144，b2＝80，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2，144)＋eq\f(y2，80)＝1或eq\f（x2，80）＋eq\f(y2，144)＝1.跟蹤訓(xùn)練4解∵橢圓過點(diǎn)(3，0)，∴點(diǎn)(3,0）為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)．①當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，(3,0)為右頂點(diǎn)，則a＝3,∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6)，3)，∴c＝eq\f（\r(6），3）a＝eq\f(\r(6）,3)×3＝eq\r（6），∴b2＝a2－c2＝32－(eq\r(6)）2＝9－6＝3，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2,9）＋eq\f（y2，3）＝1。②當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，（3,0）為右頂點(diǎn)，則b＝3