2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-21.7定積分的簡單應(yīng)用1.7.1含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。7定積分的簡單應(yīng)用1.7。1定積分在幾何中的應(yīng)用［學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．會(huì)應(yīng)用定積分求兩條或多條曲線圍成的圖形的面積．2．在解決問題的過程中，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法，加深對定積分的幾何意義的理解．［知識(shí)鏈接]1．怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積？答求由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上下限，用定積分來表示面積，然后計(jì)算定積分即可．2．當(dāng)f（x）<0時(shí)，f(x）與x軸所圍圖形的面積怎樣表示？答如圖，因?yàn)榍吿菪紊线吔绾瘮?shù)為g(x）＝0，下邊界函數(shù)為f（x)，所以S＝eq\i\in（a，b，）（0－f(x)）dx＝－eq\i\in(a,b，）f(x)dx.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引］曲邊梯形面積的表達(dá)式(1）當(dāng)x∈［a，b]時(shí)，若f(x）〉0，由直線x＝a,x＝b（a≠b），y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積S＝eq\i\in(a,b，）f（x)dx.(2)當(dāng)x∈［a，b］時(shí)，若f（x)<0,由直線x＝a，x＝b(a≠b）,y＝0和曲線y＝f（x)圍成的曲邊梯形的面積S＝－eq\i\in（a，b,)f（x）dx。(3）（如圖）當(dāng)x∈［a，b］時(shí)，若f(x)>g(x)>0時(shí)，由直線x＝a，x＝b（a≠b)和曲線y＝f（x）,y＝g（x）圍成的平面圖形的面積S＝eq\i\in（a,b,)［f（x）－g（x）］dx.要點(diǎn)一不分割型圖形面積的求解例1求由拋物線y＝x2－4與直線y＝－x＋2所圍成圖形的面積．解由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝x2－4，,y＝－x＋2，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－3,，y＝5)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,,y＝0，)）所以直線y＝－x＋2與拋物線y＝x2－4的交點(diǎn)為（－3，5）和（2,0），設(shè)所求圖形面積為S，根據(jù)圖形可得S＝eq\i\in(,2，）－3[(－x＋2)－(x2－4)］dx＝eq\i\in(,2，）－3(－x2－x＋6)dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，3)x3－\f(1，2)x2＋6x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,－3)）＝eq\f（22,3)－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(27，2)））＝eq\f（125,6)。規(guī)律方法不分割型圖形面積的求解步驟：(1)準(zhǔn)確求出曲線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；（2）在坐標(biāo)系中畫出由曲線圍成的平面區(qū)域；（3）根據(jù)圖形寫出能表示平面區(qū)域面積的定積分;(4)計(jì)算得所求面積．跟蹤演練1求由曲線y＝2x－x2,y＝2x2－4x所圍成的圖形的面積．解由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝2x－x2,，y＝2x2－4x，））得x1＝0，x2＝2。由圖可知，所求圖形的面積為S＝eq\i\in(0,2,）［（2x－x2）－（2x2－4x)］dx＝eq\i\in（0，2,)（－3x2＋6x)dx＝（－x3＋3x2)eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（2，0)）＝4。要點(diǎn)二分割型圖形面積的求解例2求由曲線y＝eq\r(x），y＝2－x，y＝－eq\f（1,3）x所圍成圖形的面積．解法一畫出草圖，如圖所示．解方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝\r（x)，,x＋y＝2，））eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r（x)，，y＝－\f（1,3)x,）)及eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,,y＝－\f(1，3)x，))得交點(diǎn)分別為（1，1)，（0，0），(3，－1)．所以S＝eq\i\in（0，1，)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r（x）－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1，3)x）)))dx＋eq\i\in（1，3，)eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(2－x－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1,3）x））））dx＝eq\i\in（0，1，）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（x）＋\f（1,3）x））dx＋eq\i\in（1，3，)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2－\f(2，3）x))dx＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2，3)x\f（3,2）＋\f（1，6)x2））eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(1,0)）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1，3)x2）)eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(3，1)）＝eq\f(5，6)＋6－eq\f(1,3)×9－2＋eq\f（1,3)＝eq\f（13,6).法二若選積分變量為y，則三個(gè)函數(shù)分別為x＝y(tǒng)2，x＝2－y,x＝－3y。因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為（1，1），(0,0)，(3，－1）．所以S＝eq\i\in（，0,)－1［(2－y)－（－3y）]dy＋eq\i\in(,1,)0［（2－y)－y2］dy＝eq\i\in（，0,）－1(2＋2y)dy＋eq\i\in（，1,）0(2－y－y2)dy＝（2y＋y2）eq\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（0,－1)）＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2y－\f（1,2）y2－\f(1，3)y3))eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（1，0))＝－（－2＋1)＋2－eq\f(1，2）－eq\f(1，3)＝eq\f（13，6).規(guī)律方法由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)間段內(nèi)位于上方或下方的函數(shù)有所變化時(shí)，可通過解方程組求出曲線的不同的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以將積分區(qū)間進(jìn)行細(xì)化區(qū)間段，然后根據(jù)圖象對各個(gè)區(qū)間段分別求面積進(jìn)而求和，在每個(gè)區(qū)段上被積函數(shù)均是由上減下;若積分變量選取x運(yùn)算較為復(fù)雜，可以選y為積分變量，同時(shí)更改積分的上下限．跟蹤演練2計(jì)算由曲線y2＝x，y＝x3所圍成圖形的面積S.解作出曲線y2＝x,y＝x3的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝x，,y＝x3，))得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x＝0及x＝1.因此,所求圖形的面積為S＝eq\i\in(0,1,)eq\r(x)dx－eq\i\in(0,1,）x3dx＝eq\f(2，3)xeq\f（3,2)eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(1,0))－eq\f（1，4)x4eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(1，0)）＝eq\f(2，3)－eq\f(1,4）＝eq\f（5,12).要點(diǎn)三定積分的綜合應(yīng)用例3設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x）＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′（x)＝2x＋2.（1）求y＝f（x）的表達(dá)式；(2)求y＝f（x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積．解（1)設(shè)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），則f′(x）＝2ax＋b。又f′（x)＝2x＋2,所以a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c。又方程f(x)＝0有兩個(gè)相等實(shí)根,即x2＋2x＋c＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，所以Δ＝4－4c＝0,即c＝1。故f（x)＝x2＋2x(2）畫函數(shù)y＝f（x)的圖象如圖．由圖象知所求面積為S＝eq\i\in(，0,)－1（x2＋2x＋1）dx＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,3）x3＋x2＋x))eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(0,－1））＝eq\f(1,3）.規(guī)律方法由定積分求平面區(qū)域面積的方法求不規(guī)則圖形的面積是一種基本的運(yùn)算技能．在這種題型中往往與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的最值、不等式等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行融合．跟蹤演練3在曲線y＝x2(x≥0）上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為eq\f(1，12）,試求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過切點(diǎn)A的切線方程．解設(shè)切點(diǎn)A(x0,xeq\o\al（2,0）)，切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2x0.∴切線方程為y－xeq\o\al（2,0)＝2x0（x－x0）．令y＝0，得x＝eq\f（x0,2）,∴S＝∫eq\f(x0，2)0x2dx＋∫x0eq\f（x0,2)[x2－（2x0x－xeq\o\al（2，0)）]dx＝eq\f(1,12）xeq\o\al（3，0）.∴eq\f(1，12)xeq\o\al（3,0）＝eq\f(1，12），x0＝1。∴切點(diǎn)為(1，1),切線方程為y＝2x－1。1．在下面所給圖形的面積S及相應(yīng)表達(dá)式中，正確的有（)S＝eq\i\in(b,a，)[f（x)－g(x）］dxS＝eq\i\in（0,8,)（2eq\r（2x)－2x＋8)dx① ②S＝eq\i\in(1，4，）f(x)dx－eq\i\in(4，7，)f（x)dxS＝eq\i\in（0,a,）［g（x）－f(x)］dx＋eq\i\in(a，b,)[f(x)－g(x)］dx③④A．①③ B．②③C．①④ D．③④答案D解析①應(yīng)是S＝eq\i\in（a，b,）[f（x)－g（x）］dx，②應(yīng)是S＝eq\i\in(0,8,）2eq\r(2x)dx－eq\i\in（4,8，）（2x－8)dx,③和④正確．故選D。2．曲線y＝cosx（0≤x≤eq\f（3,2）π）與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積是（）A．2 B．3C．eq\f(5，2） D．4答案B解析S＝∫eq\f(π,2）0cosxdx－∫eq\f(3π，2)eq\f(π，2)cosxdx＝sinxeq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(\o（\s\up7（)，\s\do5(））))\f(π,2)0－sinx））eq\f(3π，2）eq\f（π,2)＝sineq\f（π,2)－sin0－sineq\f(3π,2）＋sineq\f（π,2)＝1－0＋1＋1＝3。3．由曲線y＝x2與直線y＝2x所圍成的平面圖形的面積為________．答案eq\f(4,3)解析解方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝2x，，y＝x2）)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0，,y＝0,))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2，,y＝4。))∴曲線y＝x2與直線y＝2x交點(diǎn)為(2，4)，(0，0）．∴S＝eq\i\in（0，2,)（2x－x2)dx＝eq\b\lc\\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x2－\f(1，3）x3)）））eq\o\al(2，0）＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(8,3)））－0＝eq\f(4,3）。4．由曲線y＝x2＋4與直線y＝5x，x＝0，x＝4所圍成平面圖形的面積是________．答案eq\f(19,3）解析由圖形可得S＝eq\i\in(0，1,）(x2＋4－5x）dx＋eq\i\in(1,4,)(5x－x2－4)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,3）x3＋4x－\f(5，2)x2））)）eq\o\al（1,0)＋eq\b\lc\\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(5,2)x2－\f(1,3)x3－4x））)）eq\o\al(4，1)＝eq\f(1，3）＋4－eq\f(5,2)＋eq\f（5，2)×42－eq\f（1,3）×43－4×4－eq\f(5，2）＋eq\f(1,3)＋4＝eq\f(19，3）.對于簡單圖形的面積求解,我們可直接運(yùn)用定積分的幾何意義,此時(shí)(1）確定積分上、下限，一般為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（2）確定被積函數(shù)，一般是上曲線與下曲線對應(yīng)函數(shù)的差．這樣所求的面積問題就轉(zhuǎn)化為運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分了．注意區(qū)別定積分與利用定積分計(jì)算曲線所圍圖形的面積:定積分可正、可負(fù)或?yàn)榱?而平面圖形的面積總是非負(fù)的。一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．用S表示圖中陰影部分的面積，則S的值是（）A。eq\i\in（a,c，)f(x）dxB.eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\i\in(a，c,）fxdx）)C．eq\i\in(a，b，）f（x)dx＋eq\i\in（b,c，）f(x)dxD.eq\i\in（b,c，)f(x)dx－eq\i\in（a,b,)f（x)dx答案D解析∵x∈［a，b］時(shí)，f(x）〈0，x∈［b，c]時(shí),f(x)>0,∴陰影部分的面積S＝eq\i\in（b,c，)f(x)dx－eq\i\in(a,b，)f(x）dx。2．若y＝f(x)與y＝g(x)是［a，b]上的兩條光滑曲線的方程，則這兩條曲線及直線x＝a，x＝b所圍成的平面區(qū)域的面積為()A.eq\i\in(a,b,）[f（x）－g(x）]dx B．eq\i\in（a，b,）[g（x）－f（x）]dxC．eq\i\in（a，b，）｜f(x)－g(x）｜dx D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（\i\in（a，b，）[fx－gx］dx))答案C解析當(dāng)f（x）＞g（x）時(shí),所求面積為eq\i\in（a，b，）［f（x）－g(x）]dx；當(dāng)f(x）≤g（x）時(shí),所求面積為eq\i\in(a,b，）[g（x）－f（x)］dx.綜上，所求面積為eq\i\in（a，b,)|f（x）－g（x)｜dx.3．由曲線y＝x2－1、直線x＝0、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖）是(）A.eq\i\in(0,2,)(x2－1）dxB.eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\i\in(0,2,)x2－1dx))C．eq\i\in(0，2，）｜x2－1｜dxD.eq\i\in（0，1，)(x2－1)dx＋eq\i\in(1，2，)(x2－1)dx答案C解析y＝|x2－1|將x軸下方陰影反折到x軸上方,其定積分為正,故應(yīng)選C.4．（2013·北京卷）直線l過拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于（）A.eq\f（4,3) B．2C．eq\f(8,3) D．eq\f（16\r(2),3)答案C解析拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1），因?yàn)橹本€l過拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，所以直線l的方程為y＝1，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝1，x2＝4y）)，可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為－2,2。所以直線l與拋物線圍成的封閉圖形面積為eq\i\in（,2，）－2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（x2,4)))dx＝eq\b\lc\(\rc\|（\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(1，12)x3）)）)eq\o\al(2，－2）＝eq\f(8，3).故選C.5．由曲線y＝eq\r(x)與y＝x3所圍成的圖形的面積可用定積分表示為________．答案eq\i\in(0，1,）（eq\r（x)－x3）dx解析畫出y＝eq\r（x）和y＝x3的草圖，所求面積為如圖所示陰影部分的面積，解方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，y＝x3))得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝0及x＝1。因此，所求圖形的面積為S＝eq\i\in(0,1,）（eq\r（x)－x3)dx.6．由兩條曲線y＝x2，y＝eq\f（1，4）x2與直線y＝1圍成平面區(qū)域的面積是________．答案eq\f(4，3）解析如圖,y＝1與y＝x2交點(diǎn)A（1,1)，y＝1與y＝eq\f（x2,4)交點(diǎn)B(2，1），由對稱性可知面積S＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\i\in（0，1，)x2dx＋\i\in（1，2，)dx－\i\in（0，2,)\f(1,4)x2dx)）＝eq\f(4，3）。7．求曲線y＝6－x和y＝eq\r（8x），x＝0圍成圖形的面積．解作出直線y＝6－x，曲線y＝eq\r(8x）的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積．解方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝6－x,y＝\r(8x））)得直線y＝6－x與曲線y＝eq\r（8x）交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4)，直線y＝6－x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)．因此，所求圖形的面積S＝S1＋S2＝eq\i\in（0，2,)eq\r（8x)dx＋eq\i\in(2,6,）（6－x）dx＝eq\r（8）×eq\f(2，3）xeq\f(3,2）eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\o(\s\up7(）,\s\do5(）))）eq\o\al（2,0)eq\b\lc\\rc\|（\a\vs4\al\co1（＋6x－\f(1，2)x2)）eq\o\al（6,2）＝eq\f(16，3)＋eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（6×6－\f（1,2)×62））－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(6×2－\f(1，2)×22）)))＝eq\f(16，3）＋8＝eq\f(40，3）.二、能力提升8．(2013·江西改編)設(shè)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2,x∈[0，1]，,2－x，x∈1,2]，）)則eq\i\in(0,2,)f（x）dx等于（）A.eq\f（3，4) B．eq\f（4,5)C．eq\f（5，6) D．不存在答案C解析數(shù)形結(jié)合，如圖,eq\i\in(0，2，)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in（1,2，)（2－x)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f（1，3)x3))eq\o\al（1，0）＋eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（1，2)x2))）)eq\o\al(2，1）＝eq\f（1，3）＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(4－2－2＋\f(1,2)））＝eq\f(5，6).9．若兩曲線y＝x2與y＝cx3(c〉0）圍成圖形的面積是eq\f(2,3）,則c等于(）A。eq\f(1,3) B．eq\f(1，2)C．1 D．eq\f(2，3)答案B解析由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2,y＝cx3）)得x＝0或x＝eq\f(1，c）。∵0〈x<eq\f（1,c）時(shí)，x2>cx3，∴S＝∫eq\f(1,c)0（x2－cx3）dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,3）x3－\f(1，4)cx4)))）eq\f(1,c)0＝eq\f(1,3c3）－eq\f(1,4c3）＝eq\f（1,12c3)＝eq\f（2，3）.∴c3＝eq\f（1,8).∴c＝eq\f（1,2）。10．從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y），則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為________．答案eq\f(1,3）解析根據(jù)題意得：S陰＝eq\i\in(0，1,）3x2dx＝x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（\o(\s\up7（1)，\s\do5(0))）)＝1，則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為eq\f(S陰,S矩）＝eq\f(1，3×1）＝eq\f(1,3).11．求拋物線y＝－x2＋4x－3及其在點(diǎn)A（1,0)和點(diǎn)B(3，0）處的切線所圍成圖形的面積．解由y′＝－2x＋4得在點(diǎn)A、B處切線的斜率分別為2和－2,則兩直線方程分別為y＝2x－2和y＝－2x＋6，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝2x－2，，y＝－2x＋6,））得兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為C(2，2)，∴S＝S△ABC－eq\i\in(1，3，)f（－x2＋4x－3）dx＝eq\f(1，2)×2×2－eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1,3)x3＋2x2－3x）））)eq\o\al(3，1）＝2－eq\f（4,3)＝eq\f（2,3)。12．設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝x2上，從原點(diǎn)向A(2,4）移動(dòng)，如果直線OP，曲線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記為S1、S2.(1）當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);（2)當(dāng)S1＋S2有最小值時(shí)，求點(diǎn)P