2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、填空題1．函數(shù)的定義域?yàn)開____________________．【答案】【分析】由，可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求定義域．【詳解】解：依題意可得，可得，解得，，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：．2．已知向量，若向量，則實(shí)數(shù)_____.【答案】【分析】直接根據(jù)向量平行得到，解得答案.【詳解】向量，由得，所以.故答案為：3．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為_____.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法和除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】，則復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.4．若，則角_____.【答案】【分析】利用反三角函數(shù)解方程即可.【詳解】由于表示上正弦值等于的一個(gè)銳角，且，故.故答案為：.5．在中，，則的形狀為_____.(填“銳角三角形”、“鈍角三角形”或“直角三角形”)【答案】鈍角三角形【分析】利用正弦定理和余弦定理求出，即可得到答案.【詳解】在中，，由正弦定理得，所以，，由余弦定理得，因?yàn)?，所?故的形狀是鈍角三角形.故答案為：鈍角三角形6．已知，，向量在上的投影向量為__.【答案】【分析】直接根據(jù)投影向量的概念計(jì)算得到答案.【詳解】向量在上的投影向量為.故答案為：7．已知兩個(gè)單位向量、的夾角為，若向量，則__.【答案】【分析】計(jì)算，，計(jì)算得到答案.【詳解】由題意得，所以.故答案為：8．已知函數(shù)，且，則__.【答案】0【分析】計(jì)算得到，代入計(jì)算得到答案【詳解】，則.故答案為：9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為__.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換得到，利用余弦定理得到，代入公式計(jì)算得到答案.【詳解】由于，所以，故，即，因?yàn)?，，?由余弦定理得，整理得，所以.故答案為：10．在中，，是的中點(diǎn)，若，在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為____________．【答案】【解析】先判斷是等腰直角三角形，，以所在的直線為軸，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)且，求出和的坐標(biāo)，計(jì)算再求最值即可.【詳解】在中，，，所以，，是等腰直角三角形，，如圖以所在的直線為軸，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)則，所以，所以時(shí)，取得最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷是等腰直角三角形，易于建坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)且，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，即可用坐標(biāo)表示數(shù)量積，再計(jì)算最值.11．定義在區(qū)間上的函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為____.【答案】16【分析】畫出時(shí)的圖像，根據(jù)圖像結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到答案.【詳解】由于，故為偶函數(shù)，因?yàn)橐矠榕己瘮?shù)，故考慮的情況，畫出圖像，如圖所示：共有個(gè)交點(diǎn)，且時(shí)，沒有交點(diǎn)，故共有16個(gè)交點(diǎn).故答案為：1612．已知平面向量滿足，則的最大值是__.【答案】【分析】計(jì)算得到，平方化簡(jiǎn)得到，，計(jì)算得到最值.【詳解】由，得，所以，當(dāng)和共線時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以，又，當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最大值是.故答案為：二、單選題13．下列命題一定成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則是純虛數(shù)D．若且，則且【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可判斷.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，但并不相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則并不是純虛數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)榍遥詾檎龑?shí)數(shù)，則且，故選項(xiàng)正確，故選：.14．已知向量,則下列能使成立的一組向量是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量基本定理，只要不共線即可．【詳解】A中是零向量，與任何向量共線，B中，，D中，，只有C中不共線，根據(jù)平面向量基本定理，存在使得．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，掌握平面向量基本定理是解題基礎(chǔ)．15．若把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位，沿軸向下平移一個(gè)單位，然后再把圖象上各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，得到函數(shù)的圖象，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖象的平移變換求即可.【詳解】函數(shù)的圖象上各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍得到，然后向上平移一個(gè)單位得到，向右平移個(gè)單位得到，所以.故選：D.16．在△中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在△，使得；②存在三角形△，使得∥，則（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】B【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)出坐標(biāo)，利用坐標(biāo)關(guān)系表示出即可判斷.【詳解】不妨設(shè)，，，，，①，，若，∴，∴，滿足條件的明顯存在，∴①成立；②F為AB中點(diǎn)，，與交點(diǎn)即重心，∵為三等分點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴與不共線，即②不成立；故選：B三、解答題17．已知，其中.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】利用同角三角函數(shù)基本公式和正弦的和差公式求值即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，且，，所以，，，所?（2）因?yàn)椋?，所?18．已知平面向量，.（1）當(dāng)為何值時(shí)，與垂直；（2）若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由與的數(shù)量積為可得；（2）由與的數(shù)量積大于0，再去除兩向量同向的情形．【詳解】（1）由已知，，，與垂直，則．解得；（2），，又時(shí)，，兩相向夾角為0，所以且．19．已知向量，，，設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)最小正周期和嚴(yán)格單調(diào)增區(qū)間；(2)求函數(shù)在恒成立，其實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，得到周期，計(jì)算得到單調(diào)區(qū)間.（2）題目轉(zhuǎn)化為在恒成立，根據(jù)范圍計(jì)算函數(shù)的值域得到答案.【詳解】（1），最小正周期為，令，解得，嚴(yán)格單調(diào)增區(qū)間為；（2）在恒成立，得在恒成立，當(dāng)時(shí)，，，，所以.20．圖所示，我國(guó)黃海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島與小島、小島相距都為公里，與小島相距公里（其中為常數(shù)），已知角為鈍角，且．（1）求小島與小島之間的距離；（用表示）（2）求四個(gè)小島所形成的四邊形的面積；（用表示）（3）記為，為，求的值．【答案】（1）公里；（2）平方公里；（3）．【分析】（1）結(jié)合同角得平方關(guān)系求出的值，進(jìn)而在中結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果求出的面積，再在中利用余弦定理求出，進(jìn)而結(jié)合三角形的面積公式求出的面積，進(jìn)而可以求出結(jié)果；（3）在利用余弦定理求出的值，進(jìn)而結(jié)合同角的平方關(guān)系求出的值，然后結(jié)合兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)榻菫殁g角，且，所以，在中，，即，因?yàn)?，解得，所以小島與小島之間的距離公里；（2）由（1）知，所以，因?yàn)?，所以，在中，，即，因?yàn)?，解得，所?所以，所以四個(gè)小島所形成的四邊形的面積為平方公里；（3）在中，，，因此，，則，,所以.21．已知函數(shù)，任取，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，記.（1）求函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱軸方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（3）設(shè)函數(shù)，，其中為參數(shù)，且滿足關(guān)于的不等式有解，若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），()；

（2）.

（3）.【分析】(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的解析式求出它的最小正周期和對(duì)稱軸方程；(2)分類討論、、時(shí)，求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式；(3)根據(jù)的最小正周期求出函數(shù)的最小正周期，研究函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)，求出的解析式，畫出的部分函數(shù)圖像，求出值域，利用不等式求出k的取值范圍，再把“若對(duì)任意，存在，使得成立”轉(zhuǎn)化為“在上的值域是在上的值域的子集”，從而求出k的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的最小正周期為，令，解得對(duì)稱軸為；(2)①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，，所以②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，，所以，③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，；(3)因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為4，所以，所以即函數(shù)的周期為