山西省運城市垣曲縣古城中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

山西省運城市垣曲縣古城中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題的敘述：①若p：?x＞0，x2﹣x+1＞0，則￢p：?x0≤0，x02﹣x0+1≤0；②三角形三邊的比是3：5：7，則最大內(nèi)角為π；③若?=?，則=；④ac2＜bc2是a＜b的充分不必要條件，其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)命題的否定的定義可知①錯誤；首先根據(jù)三角形大邊對大角的性質(zhì)，確定長度為7的邊所對的角最大，再使用余弦定理求出該角即可判斷②正確；將原式移項變形得到，根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知此時有三種可能，故③錯誤；若ac2＜bc2，則a＜b，但反之不成立，故④正確．【解答】解：對于①：根據(jù)命題的否定的定義可知，￢p：?x0≤0，x02﹣x0+1≤0，故①錯誤；對于②：根據(jù)三角形大邊對大角的性質(zhì)，7所對的角最大，再由余弦定理，得cosα=，故，即最大內(nèi)角為π，故②正確；對于③：若，則，此時，，或，有三種可能，故③錯誤；對于④：若ac2＜bc2，則a＜b，故ac2＜bc2是a＜b的充分條件；當(dāng)a=﹣2，b=3，c=0時，a＜b，但ac2＜bc2不成立．所以ac2＜bc2是a＜b的充分不必要條件，故④正確；綜上可知，真命題的個數(shù)為2個，故選：B．【點評】本題考查了命題的否定，余弦定理，向量的數(shù)量積以及不等式的基本性質(zhì)，屬于知識的簡單綜合應(yīng)用．2.在如圖所示的正方體中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點，

則異面直線AC和MN所成的角為（

）

A．30°

B．45°

C．90° D．60°

參考答案：D略3.已知，是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列命題正確的是（）A.若，垂直于同一平面，則與平行B.若，平行于同一平面，則與平行C.若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線D.若，不平行，則與不可能垂直于同一平面參考答案：D由，若，垂直于同一平面，則，可以相交、平行，故不正確；由，若，平行于同一平面，則，可以平行、重合、相交、異面，故不正確；由，若，不平行，但平面內(nèi)會存在平行于的直線，如平面中平行于，交線的直線；由項，其逆否命題為“若與垂直于同一平面，則，平行”是真命題，故項正確.所以選D.考點：1.直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用.4.拋物線的準線方程是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B5.如右圖為一個幾何體的三視圖，其中俯視圖為正三角形，A1B1=2，AA1=4，則該幾何體的表面積為（

）A．6+

B．24+2

C．24+

D．32參考答案：B6.不等式的解集為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A7.曲線與直線與直線所圍成的封閉圖形的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D聯(lián)立曲線與兩條直線的方程組成的方程組可得三個交點分別為，結(jié)合圖形可得封閉圖形的面積為，應(yīng)選答案D。

8.若過點P（1，）的直線l與圓x2+y2=1有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]參考答案：D【考點】直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】綜合題；分類討論；演繹法；直線與圓．【分析】根據(jù)直線的斜率分兩種情況，直線l的斜率不存在時求出直線l的方程，即可判斷出答案；直線l的斜率存在時，由點斜式設(shè)出直線l的方程，根據(jù)直線和圓有公共點的條件：圓心到直線的距離小于或等于半徑，列出不等式求出斜率k的范圍，可得傾斜角的范圍．【解答】解：①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程是x=1，此時直線l與圓相交，滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+=0，∵直線l和圓有公共點，∴圓心到直線的距離小于或等于半徑，則≤1，解得k≥，∴直線l的傾斜角的取值范圍是[，]，故選：D．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的點斜式方程，點到直線的距離公式等，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，以及化簡能力．9.若函數(shù)在x=0處的切線與圓相離，則與圓的位置關(guān)系是：A．在圓外

B．在圓內(nèi)

C．在圓上

D．不能確定參考答案：C10.用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度參考答案：B【考點】R9：反證法與放縮法．【分析】一些正面詞語的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個”的否定：“至少有兩個”；“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；“是至多有n個”的否定：“至少有n+1個”；“任意的”的否定：“某個”；“任意兩個”的否定：“某兩個”；“所有的”的否定：“某些”．【解答】解：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定，“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；即“三內(nèi)角都大于60度”．故選B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了了解高三學(xué)生的身體狀況．抽取了部分男生的體重，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1︰2︰3，第2小組的頻數(shù)為12，則抽取的男生人數(shù)是

▲

．參考答案：48略12.已知不等式組的解集是不等式的解集的子集，則實數(shù)的取值范圍是_____________.參考答案：略13.一個廣告氣球某一時刻被一束平行光線投射到水平地面上的影子是一個橢圓，橢圓的離心率為，則該時刻這平行光線對于水平平面的入射角為________。參考答案：錯解：答。錯誤原因是概念不清，入射角應(yīng)是光線與法線的夾角，正確答案為：。14.一個非負整數(shù)的有序數(shù)對(x,y)，如果在做x與y的加法時不用進位，則稱(x,y)為“中國夢數(shù)對”，x+y稱為“中國夢數(shù)對”(x,y)的和，則和為2018的“中國夢數(shù)對”的個數(shù)有____________（注：用數(shù)字作答）.參考答案：54【分析】設(shè)，，分別列舉出滿足條件的自然數(shù)對、、、，然后利用分步乘法計數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，根據(jù)題意得，其中、、、均為自然數(shù)，滿足條件的自然數(shù)對有：、、，共3對；滿足條件的自然數(shù)對只有；滿足條件自然數(shù)對有：、，共2對；滿足條件的自然數(shù)對有：、、、、、、、、，共9對.由分步乘法計數(shù)原理可知，和為2018的“中國夢數(shù)對”的個數(shù)為.故答案為：54.【點睛】本題排列組合中的新定義，考查分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.15.若圓與圓有3條公切線，則參考答案：2或略16.在平面直角坐標系中，已知中心在坐標原點的雙曲線經(jīng)過點，且它的右焦點與拋物線的焦點相同，則該雙曲線的標準方程為

．參考答案：；

17.已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，且AB=AD=AA1=1，∠BAA1=∠DAA1=60°，則AC1的長是．參考答案：【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】根據(jù)=++，求模長即可．【解答】解：∵=++，∴||2=12+12+12+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°+2×1×1cos90°=5，∴||=，即A1C的長是．故答案為：．【點評】本題考查了線段長度的求法，解題時應(yīng)利用空間向量的知識求模長，是基礎(chǔ)題目．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分） 已知曲線C1：（為參數(shù)），曲線C2：（t為參數(shù)）．（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數(shù)；（Ⅱ）若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線．寫出的參數(shù)方程．與公共點的個數(shù)和C公共點的個數(shù)是否相同？說明你的理由．參考答案：化為普通方程為：：，：，聯(lián)立消元得，其判別式，所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個公共點，和與公共點個數(shù)相同．…（10分）19.已知函數(shù)（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的極值；（2）若f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）因為當(dāng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0時，函數(shù)有極值，所以當(dāng)a=0時，必須先在定義域中求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，讓導(dǎo)數(shù)等于0，求x的值，得到極值點，在列表判斷極值點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負，根據(jù)所列表，判斷何時有極值．（2）因為當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時，導(dǎo)數(shù)大于0，若f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，則f（x）在區(qū)間上恒大于0，所以只需用（1）中所求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，再判斷所得不等式當(dāng)a為何值時，在區(qū)間上恒大于0即可．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）∵當(dāng)a=0時，f（x）=2x﹣lnx，則∴x，f'（x），f（x）的變化情況如下表x（0，）（，+∞）f'（x）﹣0+f（x）

極小值

∴當(dāng)時，f（x）的極小值為1+ln2，函數(shù)無極大值．（2）由已知，得若a=0，由f'（x）＞0得，顯然不合題意若a≠0∵函數(shù)f（x）區(qū)間是增函數(shù)∴f'（x）≥0對恒成立，即不等式ax2+2x﹣1≥0對恒成立.即恒成立

故而當(dāng)，函數(shù)，∴實數(shù)a的取值范圍為a≥3．【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值以及函數(shù)單調(diào)性，屬于常規(guī)題，必須掌握．20.已知函數(shù)，當(dāng)時，有極大值.（1）求的值；（2）求函數(shù)的極小值.參考答案：解：（1）由

經(jīng)檢驗知，滿足題意。

（2）

令

因為,當(dāng)

略21.（12分）已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常數(shù)，a∈R．（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的極值，并證明f（x）＞g（x）+，x∈（0，e]恒成立；（2）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值為3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由x∈（0，e]和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值，f（x）=x﹣lnx在（0，e]上的最小值為1，由此能夠證明f（x）＞g（x）+．（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由此進行分類討論能推導(dǎo)出存在a=e2．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣=，∵x∈（0，e]，由f′（x）=＞0，得1＜x＜e，∴增區(qū)間（1，e）．由f′（x）＜0，得0＜x＜1．∴減區(qū)間（0，1）．故減區(qū)間（0，1）；增區(qū)間（1，e）．所以，f（x）極小值=f（1）=1．令F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx﹣﹣，求導(dǎo)F′（x）=1﹣﹣=，令H（x）=x2﹣x+lnx﹣1則H′（x）=2x﹣1+=（2x2﹣x+1）＞0易知H（1）=﹣1，故當(dāng)0＜x＜1時，H（x）＜0，即F′（x）＜01＜x＜e時，H（x）＞0，即F′（x）＞0故當(dāng)x=1時F（x）有最小值為F（1）=＞0故對x∈（0，e]有F（x）＞0，∴f（x）＞g（x）+．（2）f′（x）=a﹣=，①當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，e）上是減函數(shù)，∴ae﹣1=3，a=＞0，（舍去）．②當(dāng)0＜a＜時，f（x）=，f（x）在（0，e]上