工程力學(xué)-第9章

彎曲剛度問題第9章返回總目錄基本概念梁的剛度設(shè)計(jì)結(jié)論與討論小撓度微分方程及其積分返回總目錄第9章

彎曲剛度問題

梁在彎矩作用下發(fā)生彎曲變形。如果在彈性范圍內(nèi)加載，梁的軸線在梁彎曲后變成一連續(xù)光滑曲線。這一連續(xù)光滑曲線稱為彈性曲線（elasticcurve），或撓度曲線（deflectioncurve），簡(jiǎn)稱彈性線或撓曲線?；靖拍罡鶕?jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點(diǎn)的曲率與這一點(diǎn)處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：

基本概念梁的撓度與轉(zhuǎn)角基本概念梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：

橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection），用w表示；

變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角（slope）用表示；基本概念

橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度w相比為高階小量，故通常不予考慮。

梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：基本概念在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系：

在小變形條件下，撓曲線較為平坦，即很小，因而上式中tan。于是有w＝w（x），稱為撓度方程（deflectionequation）。基本概念梁的位移與約束密切相關(guān)基本概念三種承受彎曲的梁

AB段各橫截面都受有相同的彎矩（M＝Fa）作用。三種情形下，AB段梁的曲率（1／）處處對(duì)應(yīng)相等，因而撓度曲線具有相同的形狀。但是，在三種情形下，由于約束的不同，梁的位移則不完全相同。對(duì)于沒有約束的梁，因?yàn)槠湓诳臻g的位置不確定，故無從確定其位移。

基本概念小撓度微分方程及其積分第9章

彎曲剛度問題

返回首頁返回總目錄力學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式小撓度微分方程及其積分小撓度情形下彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)號(hào)與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。1小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分采用向下的w坐標(biāo)系，有對(duì)于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對(duì)x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：

其中C、D為積分常數(shù)。

小撓度微分方程及其積分積分常數(shù)的確定約束條件與連續(xù)條件小撓度微分方程及其積分積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等于零：w=0;

連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：w=0，θ＝0。小撓度微分方程及其積分例題1求：加力點(diǎn)B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。已知：簡(jiǎn)支梁受力如圖示。FP、EI、l均為已知。小撓度微分方程及其積分解：1．

確定梁約束力因?yàn)锽處作用有集中力FP，所以需要分為AB和BC兩段建立彎矩方程。首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示。2．

分段建立梁的彎矩方程在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在0～l/4范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端A處的約束力3FP/4；而確定梁在l/4～l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力3FP/4和荷載FP。小撓度微分方程及其積分AB段

解：2．

分段建立梁的彎矩方程BC段

于是，AB和BC兩段的彎矩方程分別為

小撓度微分方程及其積分解：3．

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分小撓度微分方程及其積分解：3．

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分積分后，得

其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定確定。小撓度微分方程及其積分解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因?yàn)?，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等:

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2小撓度微分方程及其積分解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=0小撓度微分方程及其積分解：5．

確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：

AB段

BC段

據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為

小撓度微分方程及其積分確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微分方程微分方程的積分利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié)分段寫出彎矩方程小撓度微分方程及其積分梁的剛度設(shè)計(jì)第9章

彎曲剛度問題

返回首頁返回總目錄剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則剛度設(shè)計(jì)舉例梁的剛度設(shè)計(jì)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則梁的剛度設(shè)計(jì)對(duì)于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會(huì)影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會(huì)影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過大會(huì)影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過大會(huì)增加軸承的磨損等等。

梁的剛度設(shè)計(jì)對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則(criterionforstiffnessdesign)：

上述二式中w和分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對(duì)于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。梁的剛度設(shè)計(jì)剛度設(shè)計(jì)舉例梁的剛度設(shè)計(jì)已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角θ=0.5°。試：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。

解：根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計(jì)算。

B梁的剛度設(shè)計(jì)解：根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計(jì)算。

1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為B梁的剛度設(shè)計(jì)1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為B2．根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，

梁的剛度設(shè)計(jì)B2．根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，

其中，的單位為rad（弧度），而θ的單位為（°）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑

梁的剛度設(shè)計(jì)結(jié)論與討論第9章

彎曲剛度問題

返回首頁返回總目錄結(jié)論與討論關(guān)于變形和位移的相依關(guān)系二梁的受力(包括載荷與約束力)是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的相依關(guān)系。結(jié)論與討論

BC段有沒有變形？有沒有位移？沒有變形為什么會(huì)有位移？FPABC總體變形是微段變形累加的結(jié)果;

有位移不一定有變形。結(jié)論與討論關(guān)于梁的連續(xù)光滑曲線

結(jié)論與討論

由M的方向確定軸線的凹凸性;

由約束性質(zhì)及連續(xù)光滑性確定撓曲線的大致形狀及位置。

結(jié)論與討論試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀

結(jié)論與討論

結(jié)論與討論試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀

結(jié)論與討論

結(jié)論與討論試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀

結(jié)論與討論

結(jié)論與討論提高剛度的途徑結(jié)論與討論提高梁的剛度主要是指減小梁的彈性位移。而彈性位移不僅與載荷有關(guān)，而且與桿長(zhǎng)和梁的彎曲剛度（EI）有關(guān)。對(duì)于梁，其長(zhǎng)度對(duì)彈性位移影響較大，例如對(duì)于集中力作用的情形，撓度與梁長(zhǎng)的三次方量級(jí)成比例；轉(zhuǎn)角則與梁長(zhǎng)的二次方量級(jí)成比例。因此減小彈性位移除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩I外，主要是減小梁的長(zhǎng)度l，當(dāng)梁的長(zhǎng)度無法減小時(shí)，則可增加中間支座。例如在車床上加工較長(zhǎng)的工件時(shí)，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤與尾