2017-2018版高中數(shù)學第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2.1常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學案版2-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1．2.1常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學習目標1.能利用導(dǎo)數(shù)定義，求幾個常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，領(lǐng)悟求導(dǎo)數(shù)算法的基本思想.2.牢記常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并能應(yīng)用公式求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.掌握函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1）與y＝logax(a＞0,a≠1）的求導(dǎo)公式及應(yīng)用．知識點一冪函數(shù)與一次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思考1由導(dǎo)數(shù)的幾何意義能否確定y＝kx＋b(k≠0）的導(dǎo)數(shù)．思考2根據(jù)x′＝1，（x2）′＝2x，(x－1）′＝－x－2以及（xeq\f(1,2))′＝eq\f（1,2）x－eq\f(1，2)能歸納出冪函數(shù)f(x）＝xn的導(dǎo)數(shù)公式嗎?1．(kx＋b）′＝k（k，b為常數(shù)），特別地,C′＝0(C為常數(shù)）．2．(xα）′＝αxα－1.知識點二基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式思考1計算過程（coseq\f（π，6)）′＝－sineq\f（π，6）＝－eq\f（1,2）正確嗎？思考2如何利用（lnx）′推出（logax）′？原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f（x）＝sinxf′（x）＝______f(x)＝cosxf′(x)＝______f（x）＝ax(a＞0,且a≠1）f′（x)＝______f（x)＝exf′(x)＝exf（x）＝logax（a＞0，且a≠1)f（x）＝eq\f(1,xlna）f（x）＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x）類型一基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)用例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1)y＝eq\r（5，x2）；(2)y＝sin（x＋eq\f（π，2））；（3）y＝2sineq\f（x，2)coseq\f（x，2);(4)y＝logx2－logx.反思與感悟(1）基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式是解決求函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的基本工具，適當變形，恰當選擇公式，準確套用公式是解決此類問題的關(guān)鍵．(2）不能直接求導(dǎo)的函數(shù)，應(yīng)先對原函數(shù)變形化簡,然后再求導(dǎo)運算．跟蹤訓練1求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：（1)y＝xeq\r(x)；(2）y＝2－x;(3）y＝cos2eq\f（x，2)－sin2eq\f（x，2)。類型二利用導(dǎo)數(shù)公式解決切線有關(guān)問題例2(1)已知P，Q為拋物線y＝eq\f(1,2）x2上兩點，點P，Q橫坐標分別為4，－2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的坐標為________．(2）已知兩條曲線y＝sinx，y＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個公共點，使在這一點處兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由．反思與感悟(1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況：①若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導(dǎo)數(shù)．②若已知點不是切點，則應(yīng)先設(shè)出切點,再借助兩點連線的斜率公式進行求解．（2）求過點P與曲線相切的直線方程的三個步驟：跟蹤訓練2已知函數(shù)y＝kx是曲線y＝lnx的一條切線,則k＝________.類型三利用導(dǎo)數(shù)公式求最值問題例3求拋物線y＝x2上的點到直線x－y－2＝0的最短距離．反思與感悟利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可求其圖象在某一點P(x0,y0)處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān)．解題時可先利用圖象分析取最值時的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準確計算．跟蹤訓練3已知直線l：2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A、B兩點，O是坐標原點，試求與直線l平行的拋物線的切線方程,并在弧上求一點P，使△ABP的面積最大．1．下列結(jié)論:(1)若y＝cosx，則y′＝－sinx；（2)若y＝eq\r(x)，則y′＝eq\f(\r（x)，2)；(3)若f（x)＝eq\f(1,x2)，則f′（3）＝－eq\f(2,27）；（4)若y＝ex，則y′＝y(tǒng)。其中正確的結(jié)論有________個．2．已知函數(shù)f（x)＝eq\r(x)，則f′(3）＝________.3．設(shè)正弦曲線y＝sinx上一點P，以點P為切點的切線為直線l,則直線l的傾斜角的范圍是________．4．曲線y＝ex在點(2,e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為________．1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),其關(guān)鍵是牢記和運用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時，能認真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進行聯(lián)想化歸．2．有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo)．如求y＝1－2sin2eq\f（x，2）的導(dǎo)數(shù)．因為y＝1－2sin2eq\f（x,2）＝cosx，所以y′＝(cosx）′＝－sinx.3．對于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一是注意函數(shù)名稱的變化，二是注意函數(shù)符號的變化．提醒：完成作業(yè)1.2。1

答案精析問題導(dǎo)學知識點一思考1由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得:y′＝(kx＋b）′＝k.思考2f′（x）＝（xn)′＝nxn－1.知識點二思考1不正確．因為coseq\f（π,6)＝eq\f（\r(3)，2）為常數(shù),其導(dǎo)數(shù)為0。思考2（logax)′＝（eq\f（lnx,lna))′＝eq\f(1，lna)(lnx）′＝eq\f（1，lna)·eq\f（1，x）＝eq\f（1,x·lna）.cosx－sinxaxlna題型探究例1解（1）y′＝(eq\r（5,x2)）′＝（x)′＝eq\f（2，5)x－1＝eq\f(2，5)x.（2)∵y＝sin（x＋eq\f（π，2））＝cosx，∴y′＝（cosx)′＝－sinx.（3）∵y＝2sineq\f（x，2)coseq\f（x,2）＝sinx，∴y′＝（sinx）′＝cosx。（4）∵y＝logx2－logx＝logx，∴y′＝（logx）′＝eq\f(1，xln\f（1，2)）＝－eq\f（1，xln2)。跟蹤訓練1解(1)y′＝（xeq\r(x）)′＝（x）′＝eq\f(3，2）x.(2）∵y＝2－x＝（eq\f（1,2))x，∴y′＝[(eq\f（1，2）)x]′＝(eq\f(1，2))x·lneq\f（1，2)＝－(eq\f（1,2))xln2.（3）∵y＝cos2eq\f（x,2)－sin2eq\f(x，2）＝cosx，∴y′＝（cosx）′＝－sinx.例2(1）（1,－4)（2)解設(shè)存在一個公共點(x0，y0)使兩曲線的切線垂直，則在點（x0，y0)處的切線斜率分別為k1＝cosx0，k2＝－sinx0，要使兩切線垂直，必須k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，即sin2x0＝2，這是不可能的．∴兩條曲線不存在公共點,使在這一點處的兩條切線互相垂直．跟蹤訓練2eq\f(1,e)例3解設(shè)切點坐標為（x0，xeq\o\al（2,0）),依題意知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線的切點到直線x－y－2＝0的距離最短．∵y′＝（x2）′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2），∴切點坐標為(eq\f（1，2)，eq\f(1,4)），∴所求的最短距離d＝eq\f（\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)－\f(1,4)－2）)，\r（2)）＝eq\f(7\r(2），8)。跟蹤訓練3解設(shè)P（x0，y0）為切點，過點P與AB平行的直線斜率k＝y(tǒng)′＝2x0,∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1.故可得P(1,1）,∴切線方程為2x－y－1＝0.由于直線l:2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A、B兩點,∴｜AB|為定值,要使△ABP的面積最大，只要P到AB的距離最大，故P（1，1）點即為所求弧eq\x\to（AOB)上的