2017版數(shù)學知識方法篇專題3函數(shù)與導數(shù)第10練含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第10練重應用—-函數(shù)的實際應用[題型分析·高考展望]函數(shù)的實際應用也是高考常考題型,特別是基本函數(shù)模型的應用，在選擇題、填空題、解答題中都會出現(xiàn),多以實際生活、常見的自然現(xiàn)象為背景，較新穎、靈活，解決此類問題時，應從實際問題中分析涉及的數(shù)學知識，從而抽象出基本函數(shù)模型，然后利用基本函數(shù)的性質(zhì)或相應的數(shù)學方法，使問題得以解決.體驗高考1。(2015·課標全國Ⅱ)如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x。將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f（x）,則y＝f(x）的圖象大致為（)答案B解析由已知得,當點P沿著邊BC運動，即0≤x≤eq\f(π，4)時，PA＋PB＝eq\r（4＋tan2x）＋tanx；當點P在CD邊上運動時，即eq\f(π，4)≤x≤eq\f（3π,4）時，PA＋PB＝eq\r（1－\f(1，tanx)2＋1）＋eq\r（1＋\f（1，tanx)2＋1），當x＝eq\f（π,2）時,PA＋PB＝2eq\r(2);當點P在AD邊上運動時，即eq\f（3π,4)≤x≤π時，PA＋PB＝eq\r(tan2x＋4）－tanx。從點P的運動過程可以看出，軌跡關于直線x＝eq\f（π,2)對稱,且f(eq\f（π，4)）＞f(eq\f(π,2）),且軌跡非線型，故選B.2.（2015·四川）某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系y＝ekx＋b(e＝2。718…為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)）。若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是________小時。答案24解析由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（eb＝192，,e22k＋b＝48,）)∴e22k＝eq\f（48,192）＝eq\f（1,4),∴e11k＝eq\f(1，2)，∴x＝33時，y＝e33k＋b＝(e11k）3·eb＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)））3·eb＝eq\f(1,8）×192＝24。3。（2015·上海)如圖,A，B，C三地有直道相通，AB＝5千米,AC＝3千米,BC＝4千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時從A地出發(fā)勻速前往B地,經(jīng)過t小時,他們之間的距離為f(t）（單位：千米)。甲的路線是AB，速度為5千米/小時，乙的路線是ACB，速度為8千米/小時.乙到達B地后原地等待.設t＝t1時乙到達C地.（1)求t1與f（t1)的值；(2）已知警員的對講機的有效通話距離是3千米，當t1≤t≤1時，求f（t）的表達式，并判斷f(t）在［t1，1］上的最大值是否超過3？說明理由.解（1)t1＝eq\f（3,8).記乙到C時甲所在地為D,則AD＝eq\f（15,8）千米.在△ACD中，CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcosA，所以f（t1)＝CD＝eq\f（3，8)eq\r（41）(千米)。(2)甲到達B用時1小時；乙到達C用時eq\f（3，8）小時，從A到B總用時eq\f（7，8）小時.當t1＝eq\f（3，8)≤t≤eq\f(7,8）時，f(t)＝eq\r(7－8t2＋5－5t2－27－8t5－5t·\f（4，5))＝eq\r(25t2－42t＋18)；當eq\f（7，8）≤t≤1時，f（t)＝5－5t,所以f（t)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\r（25t2－42t＋18)，\f（3，8)≤t≤\f(7,8），,5－5t,\f(7,8)＜t≤1。))因為f(t）在eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(3,8)，\f（7,8)）)上的最大值是feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3,8）))＝eq\f(3\r(41），8）,f（t)在eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（7，8)，1))上的最大值是feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(7，8））)＝eq\f（5,8)，所以f（t）在eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(3,8)，1))上的最大值是eq\f(3\r（41),8)，不超過3.4。（2015·江蘇）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2,山區(qū)邊界曲線為C,計劃修建的公路為l.如圖所示,M，N為C的兩個端點，測得點M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1,l2的距離分別為20千米和2。5千米.以l2，l1所在的直線分別為x，y軸,建立平面直角坐標系xOy，假設曲線C符合函數(shù)y＝eq\f（a，x2＋b）（其中a，b為常數(shù)）模型.(1)求a，b的值；（2)設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t。①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t）,并寫出其定義域；②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度。解（1)由題意知,點M，N的坐標分別為(5，40)，（20，2.5)。將其分別代入y＝eq\f（a，x2＋b），得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（a，25＋b）＝40,，\f（a,400＋b)＝2.5,）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1000，,b＝0。）)（2）①由(1)知，y＝eq\f(1000，x2）（5≤x≤20)，則點P的坐標為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（t，\f（1000，t2）)）,設在點P處的切線l分別交x，y軸于A，B點,y′＝－eq\f(2000,x3)，則l的方程為y－eq\f(1000,t2)＝－eq\f（2000,t3）（x－t），由此得Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3t，2)，0）），Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(3000,t2)）).故f（t）＝eq\r（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3t，2)））2＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3000，t2）））2)＝eq\f(3,2）eq\r（t2＋\f（4×106，t4)），t∈［5，20］.②設g（t）＝t2＋eq\f(4×106，t4),則g′(t)＝2t－eq\f(16×106，t5)。令g′（t)＝0,解得t＝10eq\r(2)。當t∈(5，10eq\r(2))時，g′(t)＜0，g（t)是減函數(shù);當t∈（10eq\r（2)，20）時,g′(t）＞0，g（t）是增函數(shù)。從而當t＝10eq\r（2）時，函數(shù)g（t)有極小值，也是最小值,所以g（t）min＝300，此時f（t)min＝15eq\r(3)。答當t＝10eq\r(2）時，公路l的長度最短，最短長度為15eq\r(3)千米.高考必會題型題型一基本函數(shù)模型的應用例1某地上年度電價為0。8元,年用電量為1億千瓦時.本年度計劃將電價調(diào)至0。55元～0.75元之間,經(jīng)測算，若電價調(diào)至x元，則本年度新增用電量y(億千瓦時）與（x－0。4)（元)成反比。又當x＝0.65時，y＝0。8。（1)求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）若每千瓦時電的成本價為0。3元，則電價調(diào)至多少時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20％？［收益＝用電量×（實際電價－成本價)]解(1）∵y與（x－0。4)成反比，∴設y＝eq\f（k，x－0。4）(k≠0).把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0。8＝eq\f（k，0。65－0.4），k＝0.2.∴y＝eq\f（0。2,x－0.4）＝eq\f(1,5x－2），即y與x之間的函數(shù)關系式為y＝eq\f(1,5x－2)。(2）根據(jù)題意，得(1＋eq\f（1,5x－2）)·（x－0。3)＝1×（0.8－0.3)×（1＋20%）。整理,得x2－1.1x＋0.3＝0,解得x1＝0.5，x2＝0。6。經(jīng)檢驗x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根.∵x的取值范圍是0.55～0.75,故x＝0。5不符合題意,應舍去.∴x＝0。6?！喈旊妰r調(diào)至0.6元時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%.點評解決實際應用問題的關鍵在于讀題,讀題必須細心、耐心，從中分析出數(shù)學“元素”，確定該問題涉及的數(shù)學模型，一般程序如下：eq\f（讀題,文字語言）?eq\f(建模,數(shù)學語言）?eq\f（求解，數(shù)學應用）?eq\f（反饋,檢驗作答)。變式訓練1(1)（2015·北京）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況。加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為(）A.6升B.8升C.10升D。12升(2)2015年“五一”期間某商人購進一批家電,每臺進價已按原價a扣去20％，他希望對貨物定一新價，以便每臺按新價讓利25％銷售后，仍可獲得售價20%的純利，則此商人經(jīng)營這種家電的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關系式是______________.答案（1)B（2)y＝eq\f(a，3)x(x∈N＊)解析(1)由表知，汽車行駛路程為35600－35000＝600千米，耗油量為48升，∴每100千米耗油量8升.(2）設每臺新價為b,則售價b(1－25%）,讓利b×25%，由于原價為a,則進價為a(1－20％)，根據(jù)題意,得每件家電利潤為b×（1－25%)×20%＝b×(1－25％）－a（1－20％）,化簡得b＝eq\f(4，3)a。∴y＝b×25％·x＝eq\f（4，3）a×25%×x＝eq\f（a,3）x（x∈N*)，即y＝eq\f(a,3)x（x∈N＊）。題型二分段函數(shù)模型的應用例2已知美國某手機品牌公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元。設公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x）萬美元，且R(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x,0〈x≤40，,\f（7400，x）－\f（40000，x2)，x〉40。)）(1)寫出年利潤W(萬美元)關于年產(chǎn)量x(萬部)的函數(shù)解析式；(2)當年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤。解(1）當0〈x≤40時，W＝xR(x)－（16x＋40)＝－6x2＋384x－40，當x〉40時，W＝xR（x）－（16x＋40）＝－eq\f（40000，x)－16x＋7360。所以W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f（40000,x)－16x＋7360，x〉40.)）(2）①當0<x≤40時，W＝－6（x－32）2＋6104，所以Wmax＝W(32）＝6104；②當x〉40時，W＝－eq\f(40000,x）－16x＋7360，由于eq\f（40000,x)＋16x≥2eq\r（\f（40000,x）×16x）＝1600，當且僅當eq\f(40000，x)＝16x,即x＝50∈(40，＋∞）時，取等號,所以此時W有最大值5760.因為6104＞5760，所以當x＝32時，W取得最大值6104萬元.點評函數(shù)有關應用題的常見類型及解題關鍵(1）常見類型：與函數(shù)有關的應用題，經(jīng)常涉及物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題.(2)解題關鍵：解答這類問題的關鍵是確切地建立相關函數(shù)解析式,然后應用函數(shù)、方程、不等式和導數(shù)的有關知識加以綜合解答.變式訓練2某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費)；超過3km但不超過8km時,超過部分按每千米2。15元收費；超過8km時，超過部分按每千米2。85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元?，F(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________km。答案9解析設出租車行駛xkm時,付費y元，則y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(9,0<x≤3，，8＋2.15x－3＋1，3〈x≤8，，8＋2。15×5＋2.85x－8＋1,x〉8，))由y＝22.6，解得x＝9.高考題型精練1。某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10％)，又經(jīng)歷了n次跌停（每次下跌10%），則該股民這支股票的盈虧情況（不考慮其他費用）為(）A.略有盈利 B。略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損 D.無法判斷盈虧情況答案B解析設該股民購進這支股票的價格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a（1＋10%)n＝a×1。1n元，經(jīng)歷n次跌停后的價格為a×1。1n×（1－10％）n＝a×1。1n×0.9n＝a×（1.1×0.9)n＝0。99n·a〈a，故該股民這支股票略有虧損.2。lg0.09＝－2.9543)（)A。2015年B.2011年C。2016年D。2008年答案B解析設1995年生產(chǎn)總值為a，經(jīng)過x年翻兩番,則a·(1＋9％）x＝4a.∴x＝eq\f（2lg2,lg1。09)≈16.3。某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變,則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t（年)的函數(shù)關系圖象正確的是(）答案A解析前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A，C圖象符合要求,而后3年年產(chǎn)量保持不變，故選A。4。某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤（單位:萬元）為y1＝4.1x－0。1x2，在B地的銷售利潤（單位:萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量（單位:輛）,若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A.10。5萬元 B.11萬元C.43萬元 D。43.025萬元答案C解析設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4。1x－0.1x2＋2（16－x)＝－0。1x2＋2.1x＋32＝－0.1（x－eq\f（21，2）)2＋0.1×eq\f(212,4）＋32。因為x∈［0,16]且x∈N，所以當x＝10或11時,總利潤取得最大值43萬元.5。一個人以6米/秒的速度去追趕停在交通燈前的汽車，當他離汽車25米時交通燈由紅變綠，汽車開始變速直線行駛（汽車與人前進方向相同）,汽車在時間t內(nèi)的路程為s＝eq\f(1,2）t2米，那么此人(）A.可在7秒內(nèi)追上汽車B?？稍?秒內(nèi)追上汽車C.不能追上汽車,但期間最近距離為14米D。不能追上汽車,但期間最近距離為7米答案D解析s＝eq\f(1，2）t2，車與人的間距d＝(s＋25）－6t＝eq\f（1,2）t2－6t＋25＝eq\f(1，2）(t－6)2＋7。當t＝6時，d取得最小值7。6.一塊形狀為直角三角形的鐵皮,兩直角邊長分別為40cm、60cm，現(xiàn)要將它剪成一個矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個角，則矩形的最大面積是________cm2.答案600解析設直角邊為40cm和60cm上的矩形邊長分別為xcm、ycm，則eq\f（40－x，40)＝eq\f(y，60）,解得y＝60－eq\f（3，2)x.矩形的面積S＝xy＝xeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(60－\f(3,2）x））＝－eq\f（3，2）（x－20)2＋600，當x＝20時矩形的面積最大，此時S＝600。7。某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關系為y＝－x2＋18x－25（x∈N*）,則當每臺機器運轉(zhuǎn)________年時，年平均利潤最大，最大值是________萬元。答案58解析由題意知每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為eq\f（y，x)＝18－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(25，x））),而x＞0，故eq\f（y,x)≤18－2eq\r(25）＝8，當且僅當x＝5時,年平均利潤最大,最大值為8萬元。8。一個人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0。3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少。為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0。09mg/mL。那么一個喝了少量酒后的駕駛員,至少經(jīng)過________小時才能開車.（精確到1小時)答案5解析設至少經(jīng)過x小時才能開車,由題意得0。3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0。3，x≥log0。750.3＝eq\f（lg0.3,lg0。75）≈4。2,∴至少經(jīng)過5個小時才能開車.9。商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準則"確定商品銷售價格,即根據(jù)商品的最低銷售限價a,最高銷售限價b(b>a)以及實數(shù)x(0<x〈1)確定實際銷售價格c＝a＋x（b－a).這里，x被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c－a）是（b－c）和(b－a)的等比中項.據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)x的值等于________.答案eq\f（\r(5)－1,2）解析依題意得x＝eq\f(c－a，b－a)，（c－a)2＝（b－c)(b－a),∵b－c＝（b－a）－（c－a)，∴（c－a)2＝(b－a)2－（b－a)(c－a)，兩邊同除以（b－a)2，得x2＋x－1＝0，解得x＝eq\f（－1±\r（5），2)?！?〈x〈1，∴x＝eq\f（\r（5）－1,2）.10.某公司生產(chǎn)的商品A每件售價為5元時，年銷售10萬件.(1）據(jù)市場調(diào)查,若價格每提高1元，銷量相應減少1萬件,要使銷售收入不低于原銷售收入，該商品的銷售價格最多提高多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，公司決定對該商品的生產(chǎn)進行技術革新，將技術革新后生產(chǎn)的商品售價提高到每件x元，公司擬投入eq\f(1，2)(x2＋x)萬元作為技改費用，投入eq\f（x，4)萬元作為宣傳費用.試問：技術革新后生產(chǎn)的該商品銷售量m至少應達到多少萬件時,才可能使技術革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和?解（1）設商品的銷售價格提高a元,則(10－a)（5＋a)≥50，即0≤a≤5,所以商品的價格最多可以提高5元。(2)由題意知改革后的銷售收入為mx萬元，若改革后的銷售收入等于原銷售收入與總投入總和，只需要滿足mx＝eq\f(1,2)(x2＋x）＋eq\f（x，4)＋50(x＞5）,即m＝eq\f(1，2）x＋eq\f（3，4)＋eq\f（50，x)≥2eq\r（\f（1,2）x·\f（50,x））＋eq\f(3,4)＝eq\f(43，4)，當且僅當x＝10時等號成立.故銷售量至少應達到eq\f(43,4）萬件時，才能使改革后的銷售收入等于原銷售收入與總投入之和.11。某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點O的兩條直線段圍成，按設計要求扇環(huán)面的周長為30米,其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角為θ(弧度）.（1）求θ關于x的函數(shù)關系式;(2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米。設花壇的面積與裝飾總費用的比為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并求出x為何值時，y取得最大值？解（1)設扇環(huán)的圓心角為θ,則30＝θ(10＋x）＋2（10－x），所以θ＝eq\f(10＋2x，10＋x)（0＜x＜10）.（2)令t＝17＋x,則y＝eq\f(39,10）－eq\f(1，10）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(t＋\f（324,t)))≤eq