數(shù)學(xué)選修2-1 第二章 231 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練第二章考點(diǎn)一考點(diǎn)二2.32.3.1知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二考點(diǎn)三2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程我海軍“馬鞍山”艦和“千島湖”艦組成第四批護(hù)航編隊(duì)遠(yuǎn)赴亞丁灣，在索馬里海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)．某日“馬鞍山”艦哨兵監(jiān)聽到附近海域有快艇的馬達(dá)聲，與“馬鞍山”艦相距1600m的“千島湖”艦，3s后也監(jiān)聽到了該馬達(dá)聲(聲速為340m/s)．問題1：“千島湖”艦比“馬鞍山”艦距離快艇遠(yuǎn)多少米？提示：340×3＝1020（米）．問題2：若把“馬鞍艦山”和“千島湖”艦看成兩個(gè)定點(diǎn)A，B，快艇看成動(dòng)點(diǎn)M，M滿足什么條件？提示：|MB|－|MA|＝1020.雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的

等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這

叫做雙曲線的焦點(diǎn)，

叫做雙曲線的焦距．差的絕對(duì)值兩個(gè)定點(diǎn)兩焦點(diǎn)間的距離在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．問題1：若動(dòng)點(diǎn)M滿足||MA|－|MB||＝4，則M的軌跡方程是什么？問題2：若動(dòng)點(diǎn)M滿足||MC|－|MD||＝4，則點(diǎn)M的軌跡方程呢？焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0，b>0)

(a>0，b>0)焦點(diǎn)坐標(biāo)

a，b，c的關(guān)系c2＝

F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a2＋b21．雙曲線定義的理解

(1)定義中的常數(shù)是“差的絕對(duì)值”，“絕對(duì)值”這一條件不可忽略.若沒有絕對(duì)值，表示的只是雙曲線的一支．①若|PF1|－|PF2|＝2a(a>0)，曲線只表示雙曲線靠近F2的一支．②若|PF1|－|PF2|＝－2a(a>0)，曲線只表示雙曲線靠近F1的一支．

(2)若|F1F2|＝2a，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不再是雙曲線，而是兩條射線．

(3)若|F1F2|<2a，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．[思路點(diǎn)撥]

解答本題可分情況設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程組，求得a，b，c，從而得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程;也可以設(shè)成mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，可避免討論并簡(jiǎn)化運(yùn)算．[一點(diǎn)通]

求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟:答案：A[思路點(diǎn)撥]根據(jù)雙曲線的定義和勾股定理分別列出關(guān)于|PF1|，|PF2|的方程，求得|PF1|，|PF2|或|PF1|·|PF2|即可．[一點(diǎn)通]

利用雙曲線的定義解決與焦點(diǎn)有關(guān)的問題，一是要注意定義條件||PF1|－|PF2||＝2a的變形的使用，特別是與|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|間的關(guān)系；二是要與三角形知識(shí)相結(jié)合，如勾股定理、余弦定理、正弦定理等，同時(shí)要注意整體思想的應(yīng)用．解析：雙曲線中a2＝16，a＝4,2a＝8.由雙曲線定義知||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.答案：B4．已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且與圓C2：(x－

3)2＋y2＝1內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是________．[例3]

已知方程kx2＋y2＝4，其中k為實(shí)數(shù)，對(duì)于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型．

[思路點(diǎn)撥]

解答本題可依據(jù)所學(xué)的各種曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式的系數(shù)應(yīng)滿足的條件進(jìn)行分類討論．[一點(diǎn)通]解決這類題的基本方法是分類討論，在分類討論的過程中應(yīng)做到不重不漏，選擇適當(dāng)?shù)姆纸琰c(diǎn)．在討論過程中應(yīng)說出該方程表示的是哪種曲線及其特征．答案：C6．當(dāng)0°≤α≤180°時(shí)，方程x2cosα