流體疊加流動(dòng)

7.11簡單的平面勢流對(duì)于復(fù)雜的勢流，我們還可以采用一種較簡單的方法：選擇幾個(gè)簡單的無旋流動(dòng)進(jìn)行疊加復(fù)合求解。因此本節(jié)先介紹勢流疊加原理，然后介紹幾種基本的平面勢流。一、勢流疊加原理平面不可壓縮勢流速度勢和流函數(shù)均滿足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程是線性齊次方程，所以它的解具有可疊加性，即兩個(gè)（多個(gè)）解的和或差仍是該方程的解?？紤]勢函數(shù)分別為和的兩個(gè)有勢流動(dòng)，則每一流動(dòng)均滿足拉普拉斯方程，即兩方程相加得或者正是由于解的這種可疊加性，才啟發(fā)我們對(duì)于比較復(fù)雜的流動(dòng)，如果能選擇幾個(gè)簡單的勢流的解進(jìn)行疊加，并使疊加后滿足的邊界條件與給定邊界條件吻合，那么這個(gè)疊加后的解就是所要求的比較復(fù)雜流動(dòng)解。類似可以證明流函數(shù)也滿足疊加原理。對(duì)勢函數(shù)φ關(guān)于x取偏導(dǎo)數(shù)，即對(duì)勢函數(shù)φ關(guān)于y取偏導(dǎo)數(shù)，即于是有結(jié)論：幾個(gè)無旋流動(dòng)的速度勢及流函數(shù)的代數(shù)和等于新的無旋流動(dòng)的速度勢函數(shù)和流函數(shù)，新的無旋流動(dòng)的速度是這些無旋流動(dòng)速度的矢量和。二、幾種簡單的勢流流動(dòng)定義:流速的大小和方向沿流線不變的流動(dòng)為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。1均勻等速流動(dòng)（平行流）

如，其中就是這樣的流動(dòng)由于積分得由于積分得積分常數(shù)對(duì)流動(dòng)計(jì)算無影響，故取0uxyoφ1ψ1φ2φ3ψ2ψ3顯然，等勢線等流線是相互垂直的兩簇直線由于流場中各點(diǎn)速度相同，流動(dòng)無旋，故處處有流場中總勢能保持不變，若是水平面上的均勻等速流，重力可忽略不計(jì)，則p=常數(shù)，即壓強(qiáng)在流場中處處相等。2點(diǎn)源和點(diǎn)匯點(diǎn)源：流體從某點(diǎn)向四周呈直線均勻徑向流出的流動(dòng)，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)。點(diǎn)匯：流體從四周往某點(diǎn)呈直線均勻徑向流入的流動(dòng)，這個(gè)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)。點(diǎn)源點(diǎn)匯顯然，不管是點(diǎn)源還是點(diǎn)匯，都只有徑向流速vr根據(jù)流體連續(xù)性條件，流體通過任一單位長度圓柱面流出或流入的流量均相等，即得到對(duì)于源流，流速與半徑同向，取正號(hào)；對(duì)于匯流，流速與半徑反向，取負(fù)號(hào)。求點(diǎn)源或點(diǎn)匯的速度勢函數(shù)和流函數(shù)對(duì)上面兩式積分，并令積分常數(shù)等于零，得到：等勢線是半徑不同的圓，流線是通過原點(diǎn)極角不同的射線。注：當(dāng)r=0時(shí)，速度勢函數(shù)和速度無窮大，源點(diǎn)和匯點(diǎn)是流動(dòng)的奇點(diǎn)，因此，速度勢函數(shù)和速度只有在源點(diǎn)或匯點(diǎn)以外才有意義。若Oxy平面是水平面，對(duì)半徑r處和無窮遠(yuǎn)處列伯努利方程將速度值代入后由知壓強(qiáng)隨半徑的減小而降低。零壓強(qiáng)處上述各式的實(shí)際適用范圍為：r>r0，這是因?yàn)榻^對(duì)壓強(qiáng)只能接近0還不能達(dá)到0。3點(diǎn)渦若二維渦流的渦束半徑rb→0，則渦束變成一條渦線，平面上的渦核區(qū)縮為一點(diǎn)，稱渦點(diǎn)，這樣的流動(dòng)稱為自由渦流或點(diǎn)渦，如圖所示渦點(diǎn)以外的速度分布仍為：求點(diǎn)渦的速度勢函數(shù)和流函數(shù)對(duì)上面兩式積分，并令積分常數(shù)等于零，得到：等勢線是的線，流線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓。渦點(diǎn)以外的勢流區(qū)壓強(qiáng)分布仍為零壓強(qiáng)處上述各式的實(shí)際適用范圍為r>r0.介紹以上幾種簡單的平面勢流，重要的不是它們能代表怎樣的實(shí)際流動(dòng)，而是它們是勢流的基本單元；把幾種基本單元組合在一起，可以形成許多有重要意義的復(fù)雜流動(dòng)。7.12平面勢流的疊加流動(dòng)1點(diǎn)匯和點(diǎn)渦——螺旋流位于坐標(biāo)原點(diǎn)的匯流和勢渦疊加，根據(jù)點(diǎn)匯和點(diǎn)渦的速度勢函數(shù)和流函數(shù)的表達(dá)式，可得組合流動(dòng)的速度勢和流函數(shù)為點(diǎn)匯點(diǎn)渦螺旋流令以上兩式等于常數(shù)，可得到等勢線和流線分別為等勢線和流線為相互正交的對(duì)數(shù)螺旋線簇，稱為螺旋流。點(diǎn)匯+點(diǎn)渦→陰螺旋流點(diǎn)源+點(diǎn)渦→陽螺旋流螺旋流示意圖其速度分布為壓強(qiáng)分布為旋風(fēng)燃燒室、離心式除塵器、離心式噴油嘴等裝置，由于流體沿圓周切向流入，從中心流出，類似上述螺旋流；離心式泵、風(fēng)機(jī)外殼中的流體，由葉輪旋轉(zhuǎn)流入，沿外殼切向流出，則類似于源流與點(diǎn)渦的疊加生成的螺旋流。2源流和匯流疊加——偶極流將源點(diǎn)設(shè)于A點(diǎn)（-a,0），匯點(diǎn)于B點(diǎn)（a,0），強(qiáng)度都為qV，點(diǎn)匯點(diǎn)源組合流動(dòng)速度勢函數(shù)和流函數(shù)為P(x,y)θBθAθPrArB上式推導(dǎo)利用了動(dòng)點(diǎn)P至源點(diǎn)A匯點(diǎn)B兩條連線的夾角，在流線上時(shí)，即流線是經(jīng)過源點(diǎn)和匯點(diǎn)的圓線簇若在2a逐漸縮小時(shí)，強(qiáng)度q逐漸增強(qiáng)，當(dāng)2a減小到零時(shí)，q應(yīng)增加到無窮大，以使保持一個(gè)有限值即，在這一極限狀態(tài)下的流動(dòng)稱為偶極子流，M是偶極矩，方向從點(diǎn)源到點(diǎn)匯。當(dāng)ε為微量時(shí)，由前面導(dǎo)出的源、匯疊加形式的速度勢和流函數(shù)的形式可獲得偶極子流的速度勢和流函數(shù)即令即等勢線是圓心為半徑為且與y軸圓點(diǎn)相切的圓簇。即流線是圓心為半徑為且與x軸圓點(diǎn)相切的圓簇。偶極子流示意圖偶極流的速度場為極坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式當(dāng)r趨于無窮大速度V趨于0，而在偶極子中心處速度趨于無窮大。偶極子流的壓強(qiáng)為圓柱體繞流設(shè)有一速度為的均勻流，從與圓柱體垂直的方向繞過一半徑為r0的無限長圓柱體，這樣的流動(dòng)看成是平面流動(dòng)。均勻流繞過圓柱體時(shí)，由于受到圓柱的阻擋，繞過柱體附近的流體質(zhì)點(diǎn)受到擾動(dòng)，偏離原來的直線路徑，而離柱體越遠(yuǎn)，擾動(dòng)越小，在無窮遠(yuǎn)的地方，完全不受擾動(dòng)，作均勻流動(dòng)。圓柱體繞流可以分為兩種情況。

一圓柱體無環(huán)量繞流二圓柱體有環(huán)量繞流繞無窮長圓柱的流動(dòng)7.13圓柱體無環(huán)量繞流由均勻流和偶極子流疊加而成的平面流動(dòng)。1.勢函數(shù)和流函數(shù)均勻流和偶極子流速的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為根據(jù)勢流疊加原理，均勻流和偶極子流疊加形成的新流動(dòng)的速度勢和流函數(shù)，在極坐標(biāo)下為直角坐標(biāo)下的速度勢函數(shù)和流函數(shù)令即得到零流線方程為零流線是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑的圓周和x軸，零流線到A處分成兩股，沿上下兩個(gè)半圓周流到B點(diǎn)，又重新匯合。將代入勢函數(shù)和流函數(shù)方程中，那么均勻流繞過圓柱體無環(huán)量繞流的勢函數(shù)和流函數(shù)可以寫成均勻流繞過圓柱體無環(huán)量的流動(dòng)2．速度分布流場中任意一點(diǎn)P（x，y）的速度分量為這說明在無窮遠(yuǎn)處流動(dòng)變成均勻流。在極坐標(biāo)系中，速度分量為沿包圍圓柱體的圓形周線的速度環(huán)量為均勻流繞過圓柱體的平面流動(dòng)的速度環(huán)量等于零，故稱為圓柱體無環(huán)量繞流。在圓柱面上，速度分布為說明，流體沿圓柱表面只有切向速度，沒有徑向速度，符合流體既不穿入又不脫離圓柱面的實(shí)際情況。在圓柱面上速度是按照正弦曲線分布的，在（B點(diǎn)）和

（A點(diǎn)）處

A、B二點(diǎn)是分流點(diǎn)，也稱為駐點(diǎn)。在處，達(dá)到最大值，即等于無窮遠(yuǎn)處來流速度的2倍。3.壓力分布圓柱面上任意點(diǎn)的壓力，可以由Bernoulli方程計(jì)算將圓柱表面的速度分布代入上式得到如采用壓力系數(shù)來表示，根據(jù)Bernoulli方程定義將ｐ代入上式，得到用Ｃｐ表示流體作用于物體表面上的壓力是無量綱量，與圓柱體半徑、均勻流速度無關(guān)，只與表面位置有關(guān)。壓強(qiáng)系數(shù)沿圓柱面的分布4.合力從壓力分布看出，在圓柱面上壓力對(duì)稱于ｘ軸、ｙ軸，那么柱面上合力等于０。流體作用在圓柱體上的總壓力分解成ｘ、ｙ方向上的分力Ｆｘ、Ｆｙ，分別為與來流平行和垂直的作用力，稱為流體作用在柱體上的阻力Ｄ和升力Ｌ。有理想流體的均勻流繞過圓柱體的無環(huán)量繞流中，圓柱體不受阻力和升力作用。事實(shí)上，實(shí)際流體由于粘性作用，繞過圓柱產(chǎn)生摩擦力，而且在圓柱繞流后面部分形成脫流和尾跡，流動(dòng)圖形和理想流體繞流截然不同。就是說，在實(shí)際流體繞流圓柱體中，會(huì)產(chǎn)生阻力。7.14圓柱體有環(huán)流在前面無環(huán)量繞流基礎(chǔ)上，讓圓柱體以等角速度繞其軸心旋轉(zhuǎn)，形成有環(huán)量繞流。1.勢函數(shù)和流函數(shù)有環(huán)量繞流是由均勻流、偶極子流、點(diǎn)渦疊加而成，疊加后的速度勢和流函數(shù)分別為2.速度分布流場中任一點(diǎn)P(r,θ)處的速度為當(dāng)時(shí)即的圓周是一條流線，圓柱面上速度分布為這說明流體與圓柱體沒有分離現(xiàn)象，只有沿著圓周切線方向的速度。當(dāng)時(shí)說明在遠(yuǎn)離圓柱體處流體為均勻流。當(dāng)點(diǎn)渦的強(qiáng)度時(shí)，在圓柱體的上部環(huán)流的速度方向與均勻流的速度方向相同，而在下部則相反。疊加的結(jié)果在上部速度增高，而在下部速度降低，這樣就破壞了流線關(guān)于x軸的對(duì)稱性，使駐點(diǎn)A和B離開了x軸，向下移動(dòng)。為了確定駐點(diǎn)的位置，令柱面速度，得到駐點(diǎn)的位置角為若則，圓柱面上的兩個(gè)駐點(diǎn)左右對(duì)稱，并位于第三和第四象限內(nèi)，且A、B兩駐點(diǎn)隨值的增加而向下移動(dòng)，并互相靠攏。若兩個(gè)駐點(diǎn)重合成一點(diǎn)，并位于圓柱面最下端。若，則，圓柱面上不存在駐點(diǎn)，駐點(diǎn)脫離圓柱面沿y軸向下移到某一位置。流場中任一點(diǎn)P(r,θ)處的速度，得到兩個(gè)位于y軸上的駐點(diǎn)，一個(gè)在圓柱體內(nèi)，另一個(gè)在圓柱體外。事實(shí)上，只有一個(gè)在圓柱體外的自由駐點(diǎn)A，全流場由經(jīng)過駐點(diǎn)A的閉合流線劃分為內(nèi)、外兩個(gè)區(qū)域，外部區(qū)域是均勻流繞過圓柱體有環(huán)量的流動(dòng)，在閉合流線和圓柱面之間的內(nèi)部區(qū)域自成閉合環(huán)流，但流線不是圓形的。如果疊加的點(diǎn)渦強(qiáng)度，駐點(diǎn)的位置與上面討論的情況正好相差180°。由此可見，駐點(diǎn)的位置不簡單取決于:而取決于顯然，有環(huán)量的繞圓流動(dòng)其左右仍是對(duì)稱的，但上下已不對(duì)稱了，因此在垂直于來流的y方向合力就不會(huì)為零。垂直于來流方向的空氣動(dòng)力分力稱為升力，可以通過沿圓柱表面壓強(qiáng)積分（利用伯努利方程將壓強(qiáng)表為速度分布后積分求得），或者利用動(dòng)量方程求出合力。3.壓力分布將圓柱面上的速度分布代入Bernoulli方程，得到4.合力圓柱體上取一微元線段，單位長度上圓柱體所受到的力，力沿x和y軸方向上的分量為沿整個(gè)圓柱面進(jìn)行積分得到將圓柱面壓強(qiáng)公式代入上式，得到說明圓柱有環(huán)量繞流的阻力為零。