第二章多變量最優(yōu)化

數學建模方法與分析第2章多變量的最優(yōu)化2.1無約束最優(yōu)化最簡單的多變量最優(yōu)化問題是在一個比較好的區(qū)域上求一個可微的多元函數的最大值或最小值。我們在后面會看到，當求最優(yōu)值的區(qū)域比較復雜時，問題就會變得復雜。問題1：一家彩電制造商計劃推出兩種新產品：一種19英寸立體聲彩色電視機，制造商建議零售價為339美元。另一種21英寸立體聲彩色電視機，零售價為399美元。公司付出的成本為19英寸彩店每臺195美元，21英寸彩電每臺225美元，還要加上400000美元的固定成本。在競爭的銷售市場中，每年售出的彩電數量會影響彩電的平均售價。據估計，對每種類型的彩電，每多售出一臺，平均銷售價格會下降1美分。而且19英寸彩電的銷售會影響21英寸彩電的銷售，反之也是如此。據估計，每售出一臺21英寸彩電，19英寸彩電的平均售價會下降0.3美分，而每售出一臺19英寸彩電，21英寸彩電的平均售價會下降0.4美分。問題是：每種彩電應該各生產多少臺？清晰問題：問每種彩電應該各生產多少臺，使得利潤最大化？2.1五步法1.提出問題2.選擇建模方法3.推導模型的數學表達式4.求解模型5.回答問題1.提出問題-變量問題1中的全部變量包括：s=19英寸彩電的售出數量（臺）；t=21英寸彩電的售出數量（臺）；p=19英寸彩電的平均銷售價格（美元/臺）；q=21英寸彩電的平均銷售價格（美元/臺）；C=生產彩電的成本（美元）；R=彩電銷售的收入（美元）；P=彩電銷售的利潤（美元）。1.提出問題-變量問題1中的全部變量包括：s=19英寸彩電的售出數量（臺）；t=21英寸彩電的售出數量（臺）；p=19英寸彩電的平均銷售價格（美元/臺）；q=21英寸彩電的平均銷售價格（美元/臺）；C=生產彩電的成本（美元）；R=彩電銷售的收入（美元）；P=彩電銷售的利潤（美元）。1.提出問題-常量問題1中的全部常量包括：1.兩種彩電的初始定價：339美元和399美元；2.其對應的成本分別為：195美元和225美元；3.每種彩電多銷售一臺，平均售價下降系數a=0.01美元（稱為價格彈性系數），兩種彩電之間的銷售相互影響系數分別為0.004美元和0.003美元；4.固定成本為400000美元。1.提出問題-變量間相互關系確定假設

1：對每種類型的彩電，每多售出一臺，平均銷售價格會下降1美分,用a表示（即價格彈性系數a=0.01美元/臺）。

2：據估計，每售出一臺21英寸彩電，19英寸的彩電平均售價會下降0.3美分，而每售出一臺19英寸的彩電，21英寸彩電的平均售價會下降0.4美分。變量間關系因此，19英寸彩電的銷售價格為：

p=339-a×s-0.003×t，此處a=0.011.提出問題-變量間相互關系確定21英寸彩電的銷售價格為：

q=399-0.01×t-0.004×s因此，總的銷售收入為：

R=p×s+q×t生產成本為：

C=400000+195×s+225×t凈利潤為：

P=R-C因此，原問題轉化為求s≥0和t≥0，使得y=P取得最大值。2.選擇建模方法概述選定的建模方法這個問題我們視為無約束的多變量最優(yōu)化問題。這類問題通常在多元微積分得入門課程中都有介紹。我們這里只給出模型的要點和一般的求解過程。2.選擇建模方法給定定義在n維空間的子集S上的函數。我們要求在集合S上的最大值或最小值。一個定理給出：若在S的某個點內達到極大值或極小值，設在這點可微，則在這個點上。也就是說，在極值點有

（2-1）

據此我們可以在求極大或極小點時，不考慮那些在S內部使的某一個偏導數不為0的點。因此，要求極大或極小點，我們就要求解方程組(2-1)給出的n個未知數、n個方程的聯立方程組。然后我們還要檢查S的邊界上的點,以及那些一個或多個偏導數沒有定義的點。3.推導模型的數學表達式

由上述分析與基本假設，原問題的數學模型如下：4.利用第二步確定的標準過程求解

第四步中的計算有點繁瑣，這種情況下，可以采用計算機代數系統(tǒng)來進行所需的計算。計算機代數系統(tǒng)可以求導數、求積分、解方程組、化簡代數表達式。大多數的軟件還可以進行矩陣運算、畫圖、求解微分方程組。利用計算機代數系統(tǒng)求解問題有幾項優(yōu)點：它可以提高效率，結果更準確。4.利用第二步確定的標準過程求解圖2.2給出了函數P的3維圖象，圖象顯示，y在內部達到最大值；圖2.3給出了P的水平集圖，從中我們可以估計出y的最大值出現在x1=5000,x2=7000附近。函數y是一個拋物面，其最高點為方程組的唯一解。圖2.1彩電問題的利潤y關于19英寸彩電的生產量s和21英寸彩電的生產量t的3維圖象圖2.2彩電問題中關于19英寸彩電的生產量x1和21英寸彩電的生產量x2的利潤函數有的水平集圖5.回答第一步中提出的問題簡單來說，這家公司今年可以通過生產4735臺19英寸彩電和7043臺21英寸彩電來獲得最大利潤，每年獲得的凈利潤為553641美元。

19英寸彩電的每臺平均售價為270.52美元；21英寸彩電的每臺平均售價為309.63美元；生產總支出為2907950美元，相應的利潤率為19%。這些數據顯示有利可圖，因此建議公司推出新產品。2.2靈敏性分析由于在模型中我們假設19英寸彩電的價格彈性系數a=0.01美元/臺，所以應該研究它的微小變化對模型結果的影響。而模型主要求的是生產量以及最大利潤，所以我們只考慮a的微小變化對這兩個的影響.2.2靈敏性分析1）產量對a的靈敏性分析

在模型中我們假設a=0.01美元/臺，將其帶入前面利潤的公式中，我們得到：令y關于x1，x2的偏導數為零，則：

（2-2）2.2靈敏性分析

圖2.3,2.4畫出了x1(a)，x2(a)關于a的曲線圖。由圖上顯示，19英寸彩電的價格彈性系數a的提高，會導致19英寸彩電的最優(yōu)生產量x1的下降，及21英寸彩電的最優(yōu)生產量x2的提高。圖2.5x1關于a的靈敏性曲線圖2.6x2關于a的靈敏性曲線靈敏性分析可以用相對改變量衡量結果對參數的敏感程度。s對a的靈敏性記作,定義為當a=0.01時有：同理可得：

如果19英寸彩電的價格彈性系數在0.01美元/臺的基礎上提高10%，則我們應該將19英寸彩電的生產量在4735臺上縮小11%，21英寸彩電的生產量在7043臺上擴大2.7%。靈敏性分析2）利潤對a的靈敏性分析

19英寸彩電的價格彈性系數的變化會對利潤造成什么影響？直接把（2-2）帶入利潤的表達式，得

（2-3）2.2靈敏性分析圖2.7畫出了y關于a的曲線圖。由圖上顯示，19英寸彩電的價格彈性系數a的提高，會導致利潤的下降。而當a=0.01時有：

說明當19英寸彩電的價格彈性系數a提高10%時，利潤P只減少4%，a的微小變化對模型結果(利潤)的影響很小。圖2.7利潤關于a的靈敏性靈敏性分析在計算dy/da除了前面直接對(2-3)式的單變量求導外，還可以利用多變量函數的鏈式法則：由于在極值點都為零，則有這樣可直接得到dy/da，進而求出.(2-4)式中的：有其實際意義

靈敏性分析導數dy/da中的這一部分代表了最優(yōu)生產量x1和x2的變化對利潤的影響。其和為零說明了生產量的微小變化對利潤幾乎沒有什么影響。從幾何上看，由于y(x1,x2)在極值點是平的，x1和x2的微小變化對y幾乎沒有什么影響。所以19英寸彩電的價格彈性系數10%的提高而導致的最優(yōu)利潤的下降幾乎全部是由售價的改變引起的。因此我們的模型給出的生產量幾乎是最優(yōu)的.靈敏性分析例如：設a=0.01,但實際的價格彈性系數比它高出了10%.我們用原來算出的最優(yōu)生產量(4735,7043),與a=0.011算出的最優(yōu)生產量(4251,7212)相比，我們會少生產出11%的19英寸彩電,而多生產約3%的21英寸彩電.而且利潤也會比最優(yōu)值低4%.

但我們仍采用該模型的結果實際會損失什么呢？采用原來算出的最優(yōu)生產量(4735,7043),會得到利潤為531219美元，而采用現在算出的最優(yōu)生產量(4251,7212)會得到最優(yōu)利潤為533514美元。因此，采用我們模型的結果，雖然現在的生產量與最優(yōu)生產量有相當的差距，但獲得的利潤僅僅比可能的最優(yōu)利潤損失了0.43%。在這意義下，我們的模型顯示了非常好的穩(wěn)健性。2.2拉格朗日乘子本節(jié)我們開始討論具有更復雜結構的最優(yōu)化問題。我們在上一節(jié)開始就提到，當尋找最優(yōu)解的集合變得復雜時，多變量最優(yōu)化問題的求解就會復雜化。在實際問題中，由于存在著對獨立變量的限制條件，是我們不得不考慮這些更復雜的模型。問題2：在問題1中，我們假設公司每年有能力生產任何數量的彩電?，F在我們根據允許的生產能力引入限制條件。公司考慮投產者兩種新產品是由于計劃停止黑白電視機的生產。這樣裝配廠就有了額外的生產能力。這些額外的生產能力就可以用來提高那些現有產品的產量，但公司認為新產品會帶來更高的利潤。據估計，現有的生產能力允許每年可以生產10000臺電視（約每周200臺）。公司有充足的19英寸、21英寸彩色顯像管、底盤及其他標準配件。但現在生產電視所需要的電路板供給不足。此外，19英寸彩電所需要的電路板與21英寸彩電的不同，這是由于其內部的結構造成的。只有進行較大的重新設計才能改變這一點，但公司現在不準備做這項工作。電路板的供應商每年可以提供8000塊21英寸彩電的電路板和5000塊19英寸彩電的電路板。考慮到所有這些情況，彩電公司應該怎樣確定其生產量？清晰問題：問每種彩電應該各生產多少臺，使得利潤最大化？2.1五步法1.提出問題2.選擇建模方法3.推導模型的數學表達式4.求解模型5.回答問題1.提出問題-變量這里涉及的變量和問題１相同：s：19英寸彩電的售出數量（臺）；t：21英寸彩電的售出數量（臺）；p：19英寸彩電的售出價格（美元/臺）；q：21英寸彩電的售出價格（美元/臺）；C：生產彩電的成本（美元）；R：彩電銷售的收入（美元）；P：彩電銷售的利潤（美元）1.提出問題-常量這里涉及的常量同問題１：兩種彩電的初始定價分別為：339美元和399美元；每種彩電的生產成本分別為：195美元和225美元；每種彩電每多銷售一臺，平均售價下降系數a=0.01美元（稱為價格彈性系數）；種彩電之間的銷售相互影響系數分別為0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。1.提出問題-變量間相互關系確定假設1：對每種類型的彩電，每多售出一臺，平均銷售價格會下降1美分。假設２：對于每種類型的彩電，受到生產所需要的電路板的限制，其售出數量有限制

假設３：公司年內的生產能力有上限c=10000臺，即；假設４：據估計，每售出一臺21英寸彩電，19英寸的彩電平均售價會下降0.3美分，而每售出一臺19英寸的彩電，21英寸彩電的平均售價會下降0.4美分。1.提出問題-變量間相互關系確定因此，19英寸彩電的銷售價格為：p=339-a×s-0.03×t，此處a=0.0121英寸彩電的銷售價格為：q=399-0.01×t-0.04×s因此，總的銷售收入為：R=p×s+q×t生產成本為：C=400000+195×s+225×t凈利潤為：P=R-C2.選擇建模方法概述選定的建模方法這個問題的模型為有約束的多變量最優(yōu)化問題，我們利用拉格朗日乘子法來求解。

給定一個函數及一組約束。我們這里假設這些約束可以用k個等式表示：2.選擇建模方法我們的目標是在集合上對求最大值。一個定理保證了在極值點，一定有

這里稱為拉格朗日乘子。定理假設是線性無關向量。為了求出f在集合S上的極大或極小值點，我們要一起求解關于變量和的n個拉格朗日乘子方程2.選擇建模方法及k個約束方程：這里我們還要檢查那些不滿足梯度向量線性無關的異常點3.推導模型的數學表達式

由上述分析與基本假設，原問題的數學模型如下：其中a=0.01.4.求解模型求解方法----Lagrange乘子法

這是一個帶有多個約束條件的多變量最優(yōu)化問題，可以使用Lagrange乘子法求解。

第1步：確定目標函數y(x1,x2)的可行域S目標函數y(x1,x2)的可行域S（見圖2.10）為：圖2.10目標函數的可行域圖4.求解模型第2步：計算

在可行域S的內部，，因此，最大值一定在邊界上達到。第3步：計算邊界上的極大值由于可行域由5條直線圍成，因此需要分別計算y(x1,x2)在每一條邊界線段上的極大值，下面分別計算，重點介紹如何計算y(x1,x2)在直線上的最大值。

4.求解模型（1）y(x1,x2)在約束直線上的極大值此時，需要求解問題其Lagrange乘子方程為，即與約束方程

聯立求解，得到代入目標函數P(s,t)可得極大值為4.求解模型圖2.7給出了可行域以及y(x1,x2)的水平集圖像。水平集y(x1,x2)=C為一簇同心環(huán)，這些環(huán)與可行域相交，水平集y(x1,x2)=532308為最小的環(huán)。這個集合剛剛接觸到可行域S，且與直線在極值點相切。由圖2.7還可以看出，利用Lagrange乘子法在約束直線上找到的臨界點就是y(x1,x2)在整個可行域上的最大值。圖2.11可行域及水平集圖4.求解模型（2）y(x1,x2)在其它約束直線上的極大值采用與（1）類似的方法可以求出在剩余的其它約束直線上對P(s,t)的極大值點，結果如下：直線段：極大值點（5000，5000），極值為515000美元直線段：極大值點（2000，8000），極值為488000美元直線段：極大值點（0，8000），極值為352000美元；直線段：極大值點（5000，0），極值為70000美元。第4步：比較邊界極大值，求出最大值點比較函數y(x1,x2)在區(qū)域S的五段邊界直線上的最大值，可得到y(tǒng)(x1,x2)在區(qū)域上的最大值為532308美元，在點(3846,6154)處取得。5.結果解釋公司為獲得做大利潤應生產3846臺19英寸彩電和6154臺21英寸彩電，從而每年的總生產量為10000臺，這樣的生產量用掉了所有額外的生產能力。能夠供應的電路板的資源限制不是關鍵的。這樣可以得到預計每年532308美元的利潤。2.3靈敏性分析與影子價格我們先討論19英寸彩電的價格彈性系數a的靈敏性，即售出量s,t和利潤P關于a的靈敏性，然后討論最優(yōu)產量s,t，利潤P對可利用生產能力c=10000臺的靈敏性。彈性系數a的靈敏性分析仍利用Lagrange方法來求解該問題。Lagrange乘子方程為

即，

與約束方程聯立求解，得到彈性系數a的靈敏性分析計算可得從而在點s=3846，t=6154,a=0.01處，有將x1,x2代入f(x1,x2)，經過計算可得彈性系數a的靈敏性分析代入數據a=0.01,y(3846,6154)=532308，可得彈性系數a的靈敏性分析我們可以得到：如果19英寸彩電的價格彈性系數a增加，我們要將一部分19英寸彩電的生產量轉為生產21英寸彩電；如果這一系數減少，我們則要多生產一些19英寸的彩電，少生產一些21英寸的彩電。在任一種情況下，只要(x1,x2)落在其他約束直線之間（0.007≤a≤0.022），總是可以生產總量為10000臺的彩電。彈性系數a的靈敏性分析我們可以得出結論：如果19英寸彩電的價格彈性系數a增加，將會導致利潤P下降。（同樣的，與無約束問題相同），而且?guī)缀跛械睦麧檽p失都是由19英寸彩電的銷售價格的降低所導致的。而且通過計算表明，如果a=0.011，即使用s=3846，t=6154來代替由（2.5）式確定的新的最優(yōu)解，也不會有太大的利潤損失。梯度向量

指向目標函數值機利潤增加最快的方向?，F在即使不在最優(yōu)點出，但是從最優(yōu)值點到（3846，6154）的方向