信號(hào)分析基礎(chǔ)2課件

第三節(jié)瞬變非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜準(zhǔn)周期信號(hào)：由一系列頻率比為無理數(shù)的正弦波組成，其頻率譜為離散的，但不滿足諧波性.

這種信號(hào)稱為準(zhǔn)周期信號(hào)。

例如：2.瞬變信號(hào)及傅立葉變換：信號(hào)出現(xiàn)的時(shí)間是有限的，或隨時(shí)間趨于無窮信號(hào)是收斂的。在信號(hào)出現(xiàn)的期間，信號(hào)不呈現(xiàn)周期性。非周期信號(hào)是時(shí)間上不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)，一般為時(shí)域有限信號(hào)，具有收斂可積條件，其能量為有限值。如電容的放電過程，對(duì)這種信號(hào)沿時(shí)間軸積分，其積分值存在，它所攜帶的能量也是有限值，故稱能量有限信號(hào)。對(duì)于周期信號(hào)我們可以借助于傅立葉級(jí)數(shù)完成從時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換，而非周期性信號(hào)不具有周期性，不能使用傅立葉級(jí)數(shù)進(jìn)行頻譜分析。我們可以從周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)取T→∞時(shí)的極限入手，對(duì)于周期信號(hào)：

∵頻線間隔：

∴當(dāng)T0→∞時(shí)，Δω→0，成為dw,

nw０變成連續(xù)變量，求和符號(hào)成為積分符號(hào)，上式變?yōu)椋菏街校何覀儗⒅芷诤瘮?shù)的復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)展開與非周期函數(shù)的傅立葉變換相比較，看出兩點(diǎn)不同：1．周期函數(shù)中所包含的頻率成分，是基頻ω0的整倍數(shù)。而非周期函數(shù)中包含了一系列從0到無窮大的所有頻率成分，ω是連續(xù)變量。2．周期函數(shù)的傅立葉系數(shù)Cn反映的是對(duì)應(yīng)頻率成分幅值的大小，而非周期函數(shù)的傅立葉變換F(ω)反映的是單位頻率寬度上的振幅。所以又稱F(ω)為頻譜密度函數(shù)。一般的說，X(ω)是個(gè)復(fù)數(shù)

幅值譜密度

相位譜密度

①幅度頻譜

相位頻譜②例：求矩形脈沖的傅氏變換

解：

小結(jié)１、周期信號(hào)從時(shí)域描述到頻域描述采用的是傅立葉級(jí)數(shù)，非周期信號(hào)從時(shí)域描述轉(zhuǎn)換到頻域描述采用的是傅立葉變換。２、非周期信號(hào)幅值頻譜的量綱是單位頻率寬度上的幅值，在周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)展開式中，函數(shù)ej2πft的系數(shù)幅值｜Cn|具有與原信號(hào)幅值相同的量綱。非周期信號(hào)的表達(dá)式中，函數(shù)ej2πft的系數(shù)是｜X(f)|df，若｜X(f)|可以看成是｜X(f)|df／df，則X(f)的物理意義是非周期信號(hào)單位頻帶寬上的幅值，具有密度的函數(shù)，所以稱F(f)為原信號(hào)的頻譜密度函數(shù)，它的量綱就是信號(hào)的幅值與頻率之比。傅立葉變換的主要性質(zhì)

一個(gè)信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述依靠傅里葉變換來確立彼此一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。熟悉傅里葉變換的主要性質(zhì)，有助于了解信號(hào)在某個(gè)域中的變化和運(yùn)算將在另一域中產(chǎn)生何種相應(yīng)的變化和運(yùn)算關(guān)系，最終有助于對(duì)復(fù)雜工程問題的分析和簡(jiǎn)化計(jì)算工作。（一）奇偶虛實(shí)性如果x(t)為實(shí)偶函數(shù)，則：如果x(t)為實(shí)奇函數(shù)，則：例1求雙邊指數(shù)信號(hào)的頻譜(>0)t解:

例2求奇對(duì)稱指數(shù)信號(hào)的頻譜解:（二）對(duì)稱性以-t代替t得將t與f互換，即得X（t）的傅立葉變換為所以證明：例3求傅立葉變換解：（三）時(shí)間尺度改變特性證明：

若k>1,則波形壓縮，若0<k<1,則波形展寬。若k<0,則波形反折并壓縮或展寬。信號(hào)在時(shí)域壓縮k倍，信號(hào)隨時(shí)間變化加快k倍，所以它包含的頻率分量增加k倍，即頻譜寬了k倍。根據(jù)能量守恒原理，各頻率分量的大小必須減小k倍。性質(zhì)3結(jié)論：信號(hào)x(kt)表示信號(hào)x(t)在時(shí)間上壓縮了k倍，相似的，信號(hào)X(f/k)表示信號(hào)X(f)在頻域中擴(kuò)展了k倍。這一性質(zhì)說明了信號(hào)在時(shí)域中的壓縮導(dǎo)致了在頻域中的頻譜的擴(kuò)展，反之，在時(shí)域中的擴(kuò)展相應(yīng)地導(dǎo)致了頻域中頻譜的壓縮。尺度變換意味著信號(hào)在時(shí)域中越寬，則其頻譜越窄，反之亦然。即信號(hào)與其頻帶寬度成反比。在通信系統(tǒng)中，為了快速傳遞信號(hào)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域壓縮，將以擴(kuò)展頻帶為代價(jià)。（四）時(shí)移和頻移特性時(shí)移特性

很顯然，信號(hào)在時(shí)域平移，相當(dāng)于信號(hào)中各個(gè)頻率成分產(chǎn)生了相移，所以頻譜中應(yīng)反映出相移的大小。例4已知單矩形脈沖,求三脈沖信號(hào)的頻譜解：例5已知信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)如圖所示，試求信號(hào)a(t)=f(t)cosw0t的頻譜函數(shù)。(w0>wM)解：（五）卷積特性兩個(gè)函數(shù)x1(t)與x2(t)的卷積定義為：記作：若：則：積分特性的證明令兩邊求導(dǎo)FT微分特性FT積分特性幾種典型信號(hào)的頻譜公式：頻譜：一、矩形窗函數(shù)的頻譜一個(gè)在時(shí)域有限區(qū)間內(nèi)有值的信號(hào)，其頻譜卻延伸至無限頻率。若在信號(hào)中截取信號(hào)的一段記錄長(zhǎng)度，則相當(dāng)于原信號(hào)和矩形窗函數(shù)之乘積，因而所得頻譜將是原信號(hào)頻域函數(shù)和sinc函數(shù)的卷積，它將是連續(xù)的、頻率無限延伸的頻譜。從其頻譜圖上可以看到，在f=0~±1/T之間的譜峰,幅值最大,稱為主瓣.兩側(cè)其他各譜峰的峰值較低,稱為旁瓣.主瓣寬度為2/T,與時(shí)域窗寬度T成反比.可見時(shí)域窗寬T越大,即截取信號(hào)時(shí)長(zhǎng)越長(zhǎng),主瓣寬度越小.（二）函數(shù)及其頻譜（1）函數(shù)的定義：在時(shí)間內(nèi)激發(fā)一個(gè)矩形脈沖S(t)（或三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖等），其面積為1。當(dāng)

0時(shí)（t）的極限就稱為函數(shù)，記作（t）。函數(shù)也稱為單位脈沖函數(shù)。（t）的特點(diǎn)有：從函數(shù)值極限角度看：從面積（通常也稱其為

函數(shù)的強(qiáng)度）的角度來看：且

---稱之為δ函數(shù)。

用它可描述一些作用時(shí)間極短、但取值極大的物理現(xiàn)象，如云層之間的放電，瞬時(shí)間的沖擊力等。定義中積分等于1，說明其強(qiáng)度為1，若強(qiáng)度為K的脈沖用kδ(t)表示。δ(t)的圖示可用一長(zhǎng)度為一個(gè)單位的線段來表示，線段位于原點(diǎn)，表示當(dāng)時(shí)間t0=0有一沖擊。若線段位于 t=t0點(diǎn)，則可定義δ函數(shù)的延遲為：，積分值仍為1。

2、

函數(shù)及其頻譜（1）

函數(shù)的定義：在時(shí)間內(nèi)激發(fā)一個(gè)矩形脈沖S(t)（或三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖等），其面積為1。當(dāng)

0時(shí)（t）的極限就稱為函數(shù)，記作（t）。

函數(shù)也稱為單位脈沖函數(shù)。（t）的特點(diǎn)有：從函數(shù)值極限角度看：從面積（通常也稱其為

函數(shù)的強(qiáng)度）的角度來看：且

---稱之為δ函數(shù)。

定義中積分等于1，說明其強(qiáng)度為1，若強(qiáng)度為E的脈沖用Eδ(t)表示。δ(t)的圖示可用一長(zhǎng)度為一個(gè)單位的線段來表示，線段位于原點(diǎn)，表示當(dāng)時(shí)間t0=0有一沖擊。若線段位于t=t0點(diǎn)，則可定義δ函數(shù)的延遲為：，積分值仍為1。

（2）函數(shù)的采樣性質(zhì)：如果函數(shù)與某一連續(xù)函數(shù)f(t)相乘，顯然其乘積僅在t=0處為f(0)(t)，其余各點(diǎn)（t0）之乘積均為零。如果函數(shù)與某一連續(xù)函數(shù)f(t)相乘，并在（，－）區(qū)間中積分，則有：對(duì)于有延時(shí)t0的函數(shù)

(t－t0)，則有：由于經(jīng)過此種處理，可將f(t)在任何時(shí)刻的值提取出來，所以稱其為篩選性質(zhì)，或抽樣性質(zhì)。當(dāng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)，采樣的過程及采樣后信號(hào)即可利用此種性質(zhì)來進(jìn)行描述.（3）

函數(shù)的與其他函數(shù)的卷積：任何函數(shù)和函數(shù)

(t)的卷積是一種最簡(jiǎn)單的卷積積分。例如，一個(gè)矩形函數(shù)x(t)與

函數(shù)

(t)的卷積為:x(t)函數(shù)和δ函數(shù)的卷積的結(jié)果，就是在發(fā)生δ函數(shù)的坐標(biāo)位置上簡(jiǎn)單地將x(t)重新構(gòu)圖。（4）函數(shù)的頻譜這說明δ函數(shù)的頻譜密度是常數(shù)1，即δ函數(shù)是各種等強(qiáng)度的各種頻率成分所組成的。1故知時(shí)域的函數(shù)具有無限寬廣的頻譜，而且在所有的頻段上都是等強(qiáng)度的，即頻譜密度在整個(gè)頻率軸上處處為１，這種頻譜常稱為“均勻譜”。由脈沖函數(shù)的定義不難看出，理想的脈沖函數(shù)是不可能實(shí)現(xiàn)的．然而，與脈沖函數(shù)類似，具有很小脈寬的脈沖函數(shù)在實(shí)際生活中卻比比皆是，例如，力學(xué)中瞬間作用的沖擊力，電學(xué)中的脈沖電擊，數(shù)字通訊信號(hào)采樣的抽樣脈沖等等．實(shí)際上，脈沖函數(shù)的概念正是以這些實(shí)際問題為背景引出的．

3、周期函數(shù)的傅立葉變換從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上講，一個(gè)函數(shù)傅立葉變換存在的條件是其在無限區(qū)間內(nèi)滿足絕對(duì)可積條件，即

顯然，周期函數(shù)不滿足上述條件，然而，由于脈沖函數(shù)的引入，在有些情況下絕對(duì)可積并不是傅立葉變換存在的必要條件。比如，直流信號(hào)就不滿足絕對(duì)可積條件，但它的傅立葉變換存在，等于一個(gè)頻域脈沖函數(shù)Eδ(f)。由此可以預(yù)料，周期函數(shù)的傅立葉變換也是存在的。而且由于周期函數(shù)頻譜的離散性，它的傅立葉變換必定由頻域脈沖函數(shù)所組成。

簡(jiǎn)諧函數(shù)的頻譜密度函數(shù)由于正、余弦函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，因此不能直接進(jìn)行傅里葉變換，而需在傅里葉變換時(shí)引如

函數(shù)：例：已知f(t)=cos(4t+π/3),試求其頻譜F(w).解：因?yàn)槔妙l移性質(zhì)可得于是４、周期單位脈沖序列的頻譜等間隔的周期單位脈沖序列常稱為梳狀函數(shù)，并用comb(t,Ts)表示：其頻譜為其FS為周期脈沖序列的頻譜依然是一個(gè)周期脈沖序列，只是周期為1/Ts,脈沖強(qiáng)度為1/Ts第四節(jié)隨機(jī)信號(hào)在工程測(cè)量時(shí)，通常用幅值隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系來測(cè)量，y=f(t)

隨機(jī)信號(hào)：無法用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述，具有不確定性和事先不可預(yù)知性。

雖然這樣，不能用時(shí)間的確定函數(shù)來描述，但都能用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來描述。對(duì)隨機(jī)信號(hào)在有限時(shí)間內(nèi)的觀測(cè)結(jié)果稱之為樣本，所有可能樣本的集合稱之為總體?？傮w描述了一個(gè)隨機(jī)過程。比如：對(duì)每日氣溫的觀測(cè)，地球上溫度的變化，只能以天為單位，或以年為單位來進(jìn)行分析。每天的觀測(cè)構(gòu)成一個(gè)樣本函數(shù)。.隨機(jī)過程及其描述隨機(jī)過程：

總體平均值：

總體自相關(guān)函數(shù)：

由同一試驗(yàn)條件下所有樣本函數(shù)的集合（總體）才能定義一個(gè)物理現(xiàn)象的隨機(jī)過程。t的函數(shù)若ux(t)=ux（常值）,則：

這也就是說，該隨機(jī)過程的觀測(cè)時(shí)間起點(diǎn)可以是任意的，其統(tǒng)計(jì)特性不隨觀測(cè)時(shí)間起點(diǎn)的改變而改變，這樣的隨機(jī)過程稱作平穩(wěn)隨機(jī)過程。（非平穩(wěn)隨機(jī)過程）

若對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的某一個(gè)樣本進(jìn)行分析，可求出該樣本的平均值及自相關(guān)函數(shù)。

k表示第k個(gè)樣本。

若

則稱該過程是各態(tài)歷經(jīng)的。各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程中任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)特征等于該過程的集合平均統(tǒng)計(jì)特征。即任一個(gè)樣本都可把整體的各種可能出現(xiàn)的情況顯示出來。對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程，我們可以在任一時(shí)刻取任意一個(gè)樣本進(jìn)行分析，這就使得信號(hào)的分析處理簡(jiǎn)化了。在一般工程上遇到的隨機(jī)信號(hào)很多具有或近似具有各態(tài)歷經(jīng)性質(zhì)。對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程，可以用三方面進(jìn)行描述。

①幅值域：

,概率密度，聯(lián)合概率密度。

②時(shí)間域：自相關(guān)，互相關(guān)函數(shù)等。二.幅值域描述1．平均值：

――直流分量

③頻率域：自功率譜，互功率譜，相干函數(shù)等。2．方差：

――波動(dòng)程度3．均方值：

――信號(hào)的強(qiáng)度或平均功率4．概率密度函數(shù)：描述某一時(shí)刻隨機(jī)數(shù)據(jù)落在給定區(qū)間的概率。說明：反映了在振幅這個(gè)位置單位振幅內(nèi)的概率，即概率隨振幅的變化率。振幅不同，落在單位振幅內(nèi)的概率不同。x(t)的瞬時(shí)值落在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率是幾種隨機(jī)信號(hào)的概率密度函數(shù)a）正弦信號(hào)（初始相角為隨機(jī)量）b）正弦信號(hào)加隨機(jī)噪聲c）窄帶隨機(jī)信號(hào)d）寬帶隨機(jī)信號(hào)三.樣本函數(shù)、參數(shù)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)采樣誤差實(shí)際上只能從隨機(jī)信號(hào)中截取有限時(shí)間的樣本記錄來計(jì)算出相應(yīng)的特征參數(shù)，并用他