高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)模型及其應(yīng)用 高質(zhì)作品

3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例第一課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：(1)通過實(shí)例“汽車的行駛規(guī)律”，理解一次函數(shù)、分段函數(shù)的應(yīng)用，提高學(xué)生的讀圖能力．(2)通過“馬爾薩斯的人口增長(zhǎng)模型”，使學(xué)生學(xué)會(huì)指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用．過程與方法：在實(shí)際問題的解決中，發(fā)展學(xué)生科學(xué)地提出問題、分析問題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)與物理、人類社會(huì)的關(guān)系．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)在社會(huì)生活中的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的興趣和探究素養(yǎng)．重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：分段函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)模型的體驗(yàn)與建立．教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1．(情境導(dǎo)入)在課本第三章的章頭圖中，有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋.1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們幾乎占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75億只．可愛的兔子變得可惡起來，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞人頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．與之相應(yīng)，圖中話道出了其中的意蘊(yùn)：對(duì)于一個(gè)種群的數(shù)量，如果在理想狀態(tài)(如沒有天敵、食物充足等)下，那么它將呈指數(shù)增長(zhǎng)；但在有限制的環(huán)境中，種群數(shù)量一般符合對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型．上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了不同的函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，這一節(jié)我們將進(jìn)一步討論不同函數(shù)模型的應(yīng)用．思路2.(直接導(dǎo)入)上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了不同的函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，這一節(jié)我們將進(jìn)一步討論不同函數(shù)模型的應(yīng)用．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))提出問題(1)我市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同．甲家每張球臺(tái)每小時(shí)5元；乙家按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中30小時(shí)以內(nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元，超過30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí)2元．小張準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí)，也不超過40小時(shí)．設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為g(x)元(15≤x≤40)，試求f(x)和g(x)．(2)A，B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處的D地建一核電站，給A，B兩城供電，為保證城市安全．核電站距城市的距離不得少于10km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ＝.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求定義域．(3)分析以上實(shí)例屬于那種函數(shù)模型．討論結(jié)果：(1)f(x)＝5x(15≤x≤40)；g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(90，15≤x≤30，,2(x－30)＋90，30<x≤40.))(2)y＝5x2＋eq\f(5,2)(100—x)2(10≤x≤90)．(3)分別屬于一次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型、二次函數(shù)模型．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))例1一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時(shí)間的關(guān)系如圖1所示．圖1(1)求圖1中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義；(2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立行駛這段路程時(shí)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s(km)與時(shí)間t(h)的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象．活動(dòng)：學(xué)生先思考討論，再回答．教師可根據(jù)實(shí)際情況，提示引導(dǎo)．圖中橫軸表示時(shí)間，縱軸表示速度，面積為路程；由于每個(gè)時(shí)間段速度不同，汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s(km)與時(shí)間t(h)的函數(shù)為分段函數(shù)．解：(1)陰影部分的面積為50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.陰影部分的面積表示汽車在這5小時(shí)內(nèi)行駛的路程為360km.(2)根據(jù)圖1，有s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50t＋2004，0≤t<1，,80(t－1)＋2054，1≤t<2，,90(t－2)＋2134，2≤t<3，,75(t－3)＋2224，3≤t<4，,65(t－4)＋2299，4≤t≤5.))這個(gè)函數(shù)的圖象如圖2所示．圖2變式訓(xùn)練電信局為了滿足客戶不同需要，設(shè)有A，B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間(分鐘)之間關(guān)系如圖3所示(其中MN∥CD)．(1)分別求出方案A，B應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)表達(dá)式f(x)和g(x)；(2)假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A，B兩種優(yōu)惠方案的？并說明理由．圖3解：(1)兩種優(yōu)惠方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：g(x)＝(2)當(dāng)f(x)＝g(x)時(shí)，eq\f(3,10)x－10＝50，∴x＝200.∴當(dāng)客戶通話時(shí)間為200分鐘時(shí)，兩種方案均可；當(dāng)客戶通話時(shí)間為0≤x＜200分鐘，g(x)＞f(x)，故選擇方案A；當(dāng)客戶通話時(shí)間為x＞200分鐘時(shí)，g(x)＜f(x)，故選方案B.點(diǎn)評(píng)：在解決實(shí)際問題過程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力．另外，本題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫實(shí)際問題的重要模型.例2人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題．認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù)．早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯，1766—1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：y＝y(tǒng)0ert，其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，y0表示t＝0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率．下表是1950～1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)/萬人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率(精確到1)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；(2)如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億？解：(1)設(shè)1951～1959年的人口增長(zhǎng)率分別為r1，r2，r3，…，r9.由55196(1＋r1)＝56300，可得1951年的人口增長(zhǎng)率為r1≈0.同理可得，r2≈0，r3≈9，r4≈0，r5≈7，r6≈3，r7≈6，r8≈2，r9≈4.于是，1951～1959年期間，我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈1.令y0＝55196，則我國(guó)在1950～1959年期間的人口增長(zhǎng)模型為y＝551t，t∈N.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并作出函數(shù)y＝551t(t∈N)的圖象(圖4)．圖4由圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合．(2)將y＝130000代入y＝551t，由計(jì)算器可得t≈.所以，如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國(guó)的人口就已達(dá)到13億．由此可以看到，如果不實(shí)行計(jì)劃生育，而是讓人口自然增長(zhǎng)，今天我國(guó)將面臨難以承受的人口壓力.變式訓(xùn)練一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減．(1)求t年后，這種放射性元素質(zhì)量ω的表達(dá)式；(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來的一半所需的時(shí)間叫做半衰期)．(精確到.已知lg2＝0，lg3＝1)解：(1)最初的質(zhì)量為500g.經(jīng)過1年后，ω＝500(1－10%)＝500×；經(jīng)過2年后，ω＝500×(1－10%)＝500×；由此推知，t年后，ω＝500×.(2)解方程500×＝250，則＝，所以t＝eq\f(lg,lg＝eq\f(－lg2,2lg3－1)≈(年)，即這種放射性元素的半衰期約為年.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))：本節(jié)重點(diǎn)學(xué)習(xí)了函數(shù)模型的實(shí)例應(yīng)用，包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等；另外還應(yīng)關(guān)注函數(shù)、方程、不等式之間的相互關(guān)系．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))：課本習(xí)題3.2A組5,6.課后思考題：某家電企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品的生產(chǎn)方案：準(zhǔn)備每周(按120個(gè)工時(shí)計(jì)算)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱共360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)60臺(tái)．已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：家電名稱空調(diào)彩電冰箱每臺(tái)所需工時(shí)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,4)每臺(tái)產(chǎn)值(千元)432問每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使周產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？(以千元為單位)解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱分別為x臺(tái)、y臺(tái)、z臺(tái)，每周產(chǎn)值為f千元，則f＝4x＋3y＋2z，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝360，,\f(1,2)x＋\f(1,3)y＋\f(1,4)z＝120，,x≥0，y≥0，z≥60，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②,③))由①②可得y＝360－3x