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第三章3.3.一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知函數(shù)f(x)=2x2的圖象上一點(diǎn)(1,2)及附近一點(diǎn)(1+Δx,2+Δy),則eq\f(Δy,Δx)等于()A.4 B.4xC.4+2Δx D.4+2(Δx)2解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-2=2(Δx)2+4Δx.∴eq\f(Δy,Δx)=2Δx+4.答案:C2.一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s=3+t2,則在一小段時(shí)間[2,]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為()A. B.3C.4 D.解析:eq\x\to(v)=eq\f(Δs,Δt)=eq\f(3+-3+22,=eq\f,=.答案:D3.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+3,若f′(1)=3,則a等于()A.2 B.-2C.3 D.-3解析:∵f′(x)=eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(fx+Δx-fx,Δx)=eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(ax+Δx+3-ax+3,Δx)=a,∴f′(1)=a=3.答案:C4.當(dāng)自變量從x0變到x1時(shí),函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)()A.在區(qū)間[x0,x1]上的平均變化率B.在x0處的變化率C.在x1處的導(dǎo)數(shù)D.在區(qū)間[x0,x1]上的導(dǎo)數(shù)解析:根據(jù)平均變化率的定義可知,當(dāng)自變量從x0變到x1時(shí),函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比就是函數(shù)在區(qū)間[x0,x1]上的平均變化率.答案:A二、填空題(每小題5分,共10分)5.若函數(shù)y=2x2-1的圖象上一點(diǎn)(1,1)及其鄰近一點(diǎn)(1+Δx,1+Δy),則eq\f(Δy,Δx)等于________.解析:eq\f(Δy,Δx)=eq\f(21+Δx2-1-1,Δx)=4+2Δx.答案:4+2Δx6.設(shè)f(x)在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo),且f′(x0)=-2,則eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(fx0-fx0-Δx,Δx)等于________.解析:eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(fx0-fx0-Δx,Δx)=eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f[x0+-Δx]-fx0,-Δx)=f′(x0)=-2.答案:-2三、解答題(每小題10分,共20分)7.求函數(shù)y=x2在x=1,2,3附近的平均變化率,取Δx都為eq\f(1,3),哪一點(diǎn)附近平均變化率最大?解析:在x=1附近的平均變化率為k1=eq\f(f1+Δx-f1,Δx)=eq\f(1+Δx2-1,Δx)=2+Δx;在x=2附近的平均變化率為k2=eq\f(f2+Δx-f2,Δx)=eq\f(2+Δx2-22,Δx)=4+Δx;在x=3附近的平均變化率為k3=eq\f(f3+Δx-f3,Δx)=eq\f(3+Δx2-32,Δx)=6+Δx.若Δx=eq\f(1,3),則k1=2+eq\f(1,3)=eq\f(7,3),k2=4+eq\f(1,3)=eq\f(13,3),k3=6+eq\f(1,3)=eq\f(19,3).由于k1<k2<k3,∴在x=3附近的平均變化率最大.8.利用導(dǎo)數(shù)的定義,求出函數(shù)y=x+eq\f(1,x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),并據(jù)此求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù).解析:y′=eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)=eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(x0+Δx+\f(1,x0+Δx)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0+\f(1,x0))),Δx)=eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δx+\f(-Δx,x0x0+Δx),Δx)=eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-\f(1,x0x0+Δx)))=1-eq\f(1,x\o\al(2,0)).從而y′|x=1=1-eq\f(1,12)=0.9.(10分)一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)=at2+1做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)(位移單位:m,時(shí)間單位:s),若該質(zhì)點(diǎn)在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s,求常數(shù)a的值.解析:Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δ
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