高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面向量向量的應(yīng)用 2023版第2章

向量的應(yīng)用1.會用向量方法解決簡單的物理問題及其他的一些實際問題.2.會用向量方法解決某些簡單的幾何問題.(重點、難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理向量的應(yīng)用閱讀教材P91～P92的全部內(nèi)容，完成下列問題.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形，則有eq\o(AB,\s\up18(→))·eq\o(BC,\s\up18(→))＝0.()(2)若eq\o(AB,\s\up18(→))∥eq\o(CD,\s\up18(→))，則直線AB與CD平行.()(3)在物體的運動過程中，力越大，做功越多.()【解析】(1)可能eq\o(AC,\s\up18(→))·eq\o(CB,\s\up18(→))＝0或eq\o(BA,\s\up18(→))·eq\o(AC,\s\up18(→))＝0，故錯誤.(2)eq\o(AB,\s\up18(→))∥eq\o(CD,\s\up18(→))，AB，CD亦可能在一條直線上，故錯誤.(3)W＝F·s＝|F|·|s|cosθ，故錯誤.【答案】(1)×(2)×(3)×[小組合作型]向量在物理中的應(yīng)用如圖2-5-1所示，在重300N的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，求當(dāng)整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，兩根繩子拉力的大小.圖2-5-1【精彩點撥】解決本題的關(guān)鍵是把力的問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決，注意力的合成可以用平行四邊形法則，也可用三角形法則.【自主解答】如圖，作平行四邊形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.|eq\o(OA,\s\up18(→))|＝|eq\o(OC,\s\up18(→))|cos30°＝300×eq\f(\r(3),2)＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(OB,\s\up18(→))|＝|eq\o(OC,\s\up18(→))|sin30°＝eq\f(1,2)×300＝150(N).故與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3)N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.1.解力向量題時，依據(jù)題意對物體進行受力分析，通過向量加法的平行四邊形法則對力進行分解和合成.2.解題時要明確各個力之間的關(guān)系及它們各自在題目中的地位，借助于圖形，將物理量之間的關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)模型.[再練一題]1.已知兩恒力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點，使之由點A(20,15)移動到點B(7,0).(1)求F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點所做的功；(2)求F1，F(xiàn)2的合力F對質(zhì)點所做的功.【解】(1)eq\o(AB,\s\up18(→))＝(－13，－15)，W1＝F1·eq\o(AB,\s\up18(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up18(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).∴力F1，F(xiàn)2對質(zhì)點所做的功分別為－99J和－3J.(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up18(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up18(→))＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J).∴合力F對質(zhì)點所做的功為－102J.向量在平面幾何中的應(yīng)用如圖2-5-2所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.【導(dǎo)學(xué)號：48582116】圖2-5-2【精彩點撥】法一：選取基底，并證明eq\o(DE,\s\up18(→))·eq\o(AF,\s\up18(→))＝0.法二：建立平面直角坐標(biāo)系證明eq\o(AF,\s\up18(→))·eq\o(DE,\s\up18(→))＝0.【自主解答】法一：設(shè)eq\o(AD,\s\up18(→))＝a，eq\o(AB,\s\up18(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up18(→))＝eq\o(DA,\s\up18(→))＋eq\o(AE,\s\up18(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up18(→))＝eq\o(AB,\s\up18(→))＋eq\o(BF,\s\up18(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up18(→))·eq\o(DE,\s\up18(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0，故eq\o(AF,\s\up18(→))⊥eq\o(DE,\s\up18(→))，即AF⊥DE.法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，eq\o(AF,\s\up18(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up18(→))＝(1，－2).因為eq\o(AF,\s\up18(→))·eq\o(DE,\s\up18(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up18(→))⊥eq\o(DE,\s\up18(→))，即AF⊥DE.用向量法證明平面幾何問題的方法，有兩種常見思路：(1)向量的線性運算法：eq\x(選取基底)→eq\x(把待證問題用基底線性表示)→eq\x(利用向量的線性運算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系)→eq\x(把向量問題幾何化)(2)向量的坐標(biāo)運算法：eq\x(建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系)→eq\x(把相關(guān)量坐標(biāo)向量化)→eq\x(利用向量的坐標(biāo)運算找相應(yīng)關(guān)系)→eq\x(把向量問題幾何化)但比較以上兩種方法，易于知道，如果題目建系比較方便，坐標(biāo)法更好用.[再練一題]2.如圖2-5-3，已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|eq\o(OA,\s\up18(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up18(→))|2＝|eq\o(OB,\s\up18(→))|2＋|eq\o(CA,\s\up18(→))|2＝|eq\o(OC,\s\up18(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up18(→))|2，求證：O為△ABC的垂心.圖2-5-3【證明】設(shè)eq\o(OA,\s\up18(→))＝a，eq\o(OB,\s\up18(→))＝b，eq\o(OC,\s\up18(→))＝c，則eq\o(BC,\s\up18(→))＝c－b，eq\o(CA,\s\up18(→))＝a－c，eq\o(AB,\s\up18(→))＝b－a，由題設(shè)：|eq\o(OA,\s\up18(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up18(→))|2＝|eq\o(OB,\s\up18(→))|2＋|eq\o(CA,\s\up18(→))|2＝|eq\o(OC,\s\up18(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up18(→))|2，化簡：a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2，得c·b＝a·c＝b·a，從而eq\o(AB,\s\up18(→))·eq\o(OC,\s\up18(→))＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝0，∴eq\o(AB,\s\up18(→))⊥eq\o(OC,\s\up18(→)).同理eq\o(BC,\s\up18(→))⊥eq\o(OA,\s\up18(→))，eq\o(CA,\s\up18(→))⊥eq\o(OB,\s\up18(→))，所以O(shè)為△ABC的垂心.[探究共研型]平面向量在解析幾何中的應(yīng)用探究1如何利用向量求經(jīng)過點P0(x0，y0)，且與a＝(1，k)平行的直線l的方程？【提示】設(shè)直線l上任意一點P(x，y)，則eq\o(P0P,\s\up18(→))＝(x－x0，y－y0).由題意可知eq\o(P0P,\s\up18(→))∥a，∴y－y0＝k(x－x0).探究2如何利用向量求經(jīng)過點P0(x0，y0)，且與a＝(1，k)垂直的直線l的方程？【提示】設(shè)直線l上任意一點P(x，y)，則eq\o(P0P,\s\up18(→))＝(x－x0，y－y0).由題意可知eq\o(P0P,\s\up18(→))⊥a，∴(x－x0)＋k(y－y0)＝0.已知△ABC的三個頂點A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點.(1)求直線DE，EF，F(xiàn)D的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在直線方程.【精彩點撥】(1)先求出D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，再借助共線知識求方程，(2)借助數(shù)量積求解.【自主解答】(1)由已知得點D(－1,1)，E(－3，－1)，F(xiàn)(2，－2)，設(shè)M(x，y)是直線DE上任意一點，則eq\o(DM,\s\up18(→))∥eq\o(DE,\s\up18(→)).eq\o(DM,\s\up18(→))＝(x＋1，y－1)，eq\o(DE,\s\up18(→))＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0為直線DE的方程.同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)設(shè)點N(x，y)是CH所在直線上任意一點，則eq\o(CN,\s\up18(→))⊥eq\o(AB,\s\up18(→))，∴eq\o(CN,\s\up18(→))·eq\o(AB,\s\up18(→))＝0.又eq\o(CN,\s\up18(→))＝(x＋6，y－2)，eq\o(AB,\s\up18(→))＝(4,4)，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0為所求直線CH的方程.利用向量法解決解析幾何問題，如有關(guān)平行、共線、垂直、夾角、距離等問題，均可用向量表示或用向量解決，要先將線段看成向量，再利用向量法則進行坐標(biāo)運算，使問題得以解決.[再練一題]3.已知點A(2，－1).(1)求過點A與向量a＝(5,1)平行的直線方程；(2)求過點A與向量a＝(5,1)垂直的直線方程.【解】(1)設(shè)所求直線上任一點P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up18(→))＝(x－2，y＋1).由題意知eq\o(AP,\s\up18(→))∥a，即(x－2)－5(y＋1)＝0，即x－5y－7＝0.故過點A與向量a＝(5,1)平行的直線方程為x－5y－7＝0.(2)設(shè)所求直線上任一點P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up18(→))＝(x－2，y＋1).由題意知，eq\o(AP,\s\up18(→))⊥a，即eq\o(AP,\s\up18(→))·a＝0，即5(x－2)＋(y＋1)＝0，即5x＋y－9＝0.故過點A與向量a＝(5,1)垂直的直線方程為5x＋y－9＝0.1.已知三個力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個力f4，則f4＝________.【解析】由題意知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2).【答案】(1,2)2.飛機以300km/h的速度向上飛行，方向與水平面成30°角，則飛機在水平方向的分速度大小是______km/h.【解析】由速度的分解可知水平方向的分速度大小為300×cos30°＝150eq\r(3)(km/h).【答案】150eq\r(3)3.在OA為邊，OB為對角線的矩形中，eq\o(OA,\s\up18(→))＝(－3,1)，eq\o(OB,\s\up18(→))＝(－2，k)，則實數(shù)k＝________.【導(dǎo)學(xué)號：48582117】【解析】如圖所示，由于eq\o(OA,\s\up18(→))＝(－3,1)，eq\o(OB,\s\up18(→))＝(－2，k)，所以eq\o(AB,\s\up18(→))＝eq\o(OB,\s\up18(→))－eq\o(OA,\s\up18(→))＝(1，k－1).在矩形中，由eq\o(OA,\s\up18(→))⊥eq\o(AB,\s\up18(→))得eq\o(OA,\s\up18(→))·eq\o(AB,\s\up18(→))＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.【答案】44.過點A(3，－2)且垂直于向量n＝(5，－3)的直線方程是________.【解析】設(shè)P(x，y)為直線上的任意一點，∴eq\o(AP,\s\up18(→))＝(x－3，y＋2)，eq\o(AP,\s\up18(→))⊥n，∴5(x－3)－3(y＋2)＝0，即5x－3y－21＝0.【答案】5x－3y－21＝05.如圖2-5-4，已知AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上任一點(不與A，B重合)，求證：∠APB＝90°.(用向量方法證明)圖2-5-4【證明】連結(jié)OP，設(shè)向量eq\o(OA,\s\up18(→))＝a，