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文檔簡介

2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象可能是()A. B. C. D.2.在邊長為的菱形中,,沿對角線折成二面角為的四面體(如圖),則此四面體的外接球表面積為()A. B.C. D.3.的圖象如圖所示,,若將的圖象向左平移個單位長度后所得圖象與的圖象重合,則可取的值的是()A. B. C. D.4.已知拋物線上一點到焦點的距離為,分別為拋物線與圓上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.5.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有蒲生一日,長三尺莞生一日,長一尺蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長倍?”意思是:“今有蒲草第天長高尺,蕪草第天長高尺以后,蒲草每天長高前一天的一半,蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍?”你認為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是()(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù),相關(guān)數(shù)據(jù):,)A. B. C. D.6.已知圓:,圓:,點、分別是圓、圓上的動點,為軸上的動點,則的最大值是()A. B.9 C.7 D.7.甲、乙、丙、丁四位同學利用暑假游玩某風景名勝大峽谷,四人各自去景區(qū)的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠古村寨四大景點中的一個,每個景點去一人.已知:①甲不在遠古村寨,也不在百里絕壁;②乙不在原始森林,也不在遠古村寨;③“丙在遠古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件;④丁不在百里絕壁,也不在遠古村寨.若以上語句都正確,則游玩千丈瀑布景點的同學是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.9.己知全集為實數(shù)集R,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|log2x<1},則等于()A.[4,2] B.[4,2) C.(4,2) D.(0,2)10.甲乙丙丁四人中,甲說:我年紀最大,乙說:我年紀最大,丙說:乙年紀最大,丁說:我不是年紀最大的,若這四人中只有一個人說的是真話,則年紀最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁11.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知表示兩條不同的直線,表示兩個不同的平面,且則“”是“”的()條件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若方程的解為,(),則_______;_______.14.在中,,點是邊的中點,則__________,________.15.設(shè)為拋物線的焦點,為上互相不重合的三點,且、、成等差數(shù)列,若線段的垂直平分線與軸交于,則的坐標為_______.16.在的展開式中,項的系數(shù)是__________(用數(shù)字作答).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,,.已知分別是的中點.將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:(1)證明:平面平面(2)求平面與平面所成二面角的大小.18.(12分)如圖,已知四邊形的直角梯形,∥BC,,,,為線段的中點,平面,,為線段上一點(不與端點重合).(1)若,(ⅰ)求證:PC∥平面;(ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;(2)否存在實數(shù)滿足,使得直線與平面所成的角的正弦值為,若存在,確定的值,若不存在,請說明理由.19.(12分)已知,,為正數(shù),且,證明:(1);(2).20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,已知平行于x軸的動直線l交拋物線C:于點P,點F為C的焦點.圓心不在y軸上的圓M與直線l,PF,x軸都相切,設(shè)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)若直線與曲線E相切于點,過Q且垂直于的直線為,直線,分別與y軸相交于點A,當線段AB的長度最小時,求s的值.21.(12分)在中,角的對邊分別為,且.(1)求角的大??;(2)若函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為且,求的值.22.(10分)已知直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的極坐標方程為.(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,并說明曲線的形狀;(2)若直線經(jīng)過點,求直線被曲線截得的線段的長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號,結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為,,該函數(shù)為偶函數(shù),排除B、D選項;當時,,排除C選項.故選:A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象,一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號,結(jié)合排除法得出結(jié)果,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.2、A【解析】

畫圖取的中點M,法一:四邊形的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積;法二:根據(jù),即可求半徑從而求外接球表面積;法三:作出的外接圓直徑,求出和,即可求半徑從而求外接球表面積;【詳解】如圖,取的中點M,和的外接圓半徑為,和的外心,到弦的距離(弦心距)為.法一:四邊形的外接圓直徑,,;法二:,,;法三:作出的外接圓直徑,則,,,,,,,,,.故選:A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積,關(guān)鍵點是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑,方法較多,屬于較易題目.3、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,即可得出函數(shù)的解析式,然后求出變換后的函數(shù)解析式,結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式,即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,,,則,,取,,則,,,可得,當時,.故選:B.【點睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式,同時也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù),考查計算能力,屬于中等題.4、D【解析】

利用拋物線的定義,求得p的值,由利用兩點間距離公式求得,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求得,由取得最小值為,求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點在軸上,準線方程,則點到焦點的距離為,則,所以拋物線方程:,設(shè),圓,圓心為,半徑為1,則,當時,取得最小值,最小值為,故選D.【點睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題,涉及到的知識點有拋物線的定義,點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑,二次函數(shù)的最小值,屬于中檔題目.5、C【解析】

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度,進而可得:,解出即可得出.【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據(jù)題意得:,解得2n=12,∴n21.故選:C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.6、B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對稱點,,故的最大值為,故選B.考點:圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對稱性,求出所求式子的最大值.7、D【解析】

根據(jù)演繹推理進行判斷.【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠古村寨,必有丙同學去了遠古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景點的同學是?。蔬x:D.【點睛】本題考查演繹推理,掌握演繹推理的定義是解題基礎(chǔ).8、C【解析】

由已知畫出可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內(nèi)的點到坐標原點的距離的平方,畫出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點到坐標原點的距離最大,即.故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想以及運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

求解一元二次不等式化簡A,求解對數(shù)不等式化簡B,然后利用補集與交集的運算得答案.【詳解】解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,

∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},

由log2x<1,x>0,得0<x<2,

∴B={x|log2x<1}={x|0<x<2},

則,

∴.

故選:D.【點睛】本題考查了交、并、補集的混合運算,考查了對數(shù)不等式,二次不等式的求法,是基礎(chǔ)題.10、C【解析】

分別假設(shè)甲乙丙丁說的是真話,結(jié)合其他人的說法,看是否只有一個說的是真話,即可求得年紀最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說的是真話,則年紀最大的是甲,那么乙說謊,丙也說謊,而丁說的是真話,而已知只有一個人說的是真話,故甲說的不是真話,年紀最大的不是甲;②假設(shè)乙說的是真話,則年紀最大的是乙,那么甲說謊,丙說真話,丁也說真話,而已知只有一個人說的是真話,故乙說謊,年紀最大的也不是乙;③假設(shè)丙說的是真話,則年紀最大的是乙,所以乙說真話,甲說謊,丁說的是真話,而已知只有一個人說的是真話,故丙在說謊,年紀最大的也不是乙;④假設(shè)丁說的是真話,則年紀最大的不是丁,而已知只有一個人說的是真話,那么甲也說謊,說明甲也不是年紀最大的,同時乙也說謊,說明乙也不是年紀最大的,年紀最大的只有一人,所以只有丙才是年紀最大的,故假設(shè)成立,年紀最大的是丙.綜上所述,年紀最大的是丙故選:C.【點睛】本題考查合情推理,解題時可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說明這種情形不會發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.11、C【解析】

由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,可得有解,令,則,對分類討論,得出時,取得極大值,也即為最大值,進而得出結(jié)論.【詳解】解:由題可知,曲線與有公共點,即方程有解,即有解,令,則,則當時,;當時,,故時,取得極大值,也即為最大值,當趨近于時,趨近于,所以滿足條件.故選:C.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想,考查抽象概括、運算求解等數(shù)學能力,屬于難題.12、B【解析】

根據(jù)充分必要條件的概念進行判斷.【詳解】對于充分性:若,則可以平行,相交,異面,故充分性不成立;若,則可得,必要性成立.故選:B【點睛】本題主要考查空間中線線,線面,面面的位置關(guān)系,以及充要條件的判斷,考查學生綜合運用知識的能力.解決充要條件判斷問題,關(guān)鍵是要弄清楚誰是條件,誰是結(jié)論.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求出在上的對稱軸,依據(jù)對稱性可得的值;由可得,依據(jù)可求出的值.【詳解】解:令,解得因為,所以關(guān)于對稱.則.由,則由可知,,又因為,所以,則,即故答案為:;.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸,考查了誘導公式,考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯點在于沒有正確判斷的取值范圍,導致求出.在求的對稱軸時,常用整體代入法,即令進行求解.14、2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出,利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中,,,可得因為點是邊的中點,所以故答案為:;.【點睛】本題主要考查了三角形的解法,向量的數(shù)量積的應用,考查計算能力,屬于中檔題.15、或【解析】

設(shè)出三點的坐標,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、拋物線的定義進行求解即可.【詳解】拋物線的準線方程為:,設(shè),由拋物線的定義可知:,,,因為、、成等差數(shù)列,所以有,所以,因為線段的垂直平分線與軸交于,所以,因此有,化簡整理得:或.若,由可知;,這與已知矛盾,故舍去;若,所以有,因此.故答案為:或【點睛】本題考查了拋物線的定義的應用,考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了數(shù)學運算能力.16、【解析】的展開式的通項為:.令,得.答案為:-40.點睛:求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項,再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數(shù).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)45°【解析】

(1)設(shè)的中點為,連接,設(shè)的中點為,連接,,從而即為二面角的平面角,,推導出,從而平面,則,即,進而平面,推導四邊形為平行四邊形,從而,平面,由此即可得證.(2)以B為原點,在平面中過B作BE的垂線為x軸,BE為y軸,BA為z軸建立空間直角坐標系,利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】(1)∵是的中點,∴.設(shè)的中點為,連接.設(shè)的中點為,連接,.易證:,,∴即為二面角的平面角.∴,而為的中點.易知,∴為等邊三角形,∴.①∵,,,∴平面.而,∴平面,∴,即.②由①②,,∴平面.∵分別為的中點.∴四邊形為平行四邊形.∴,平面,又平面.∴平面平面.(2)如圖,建立空間直角坐標系,設(shè).則,,,,顯然平面的法向量,設(shè)平面的法向量為,,,∴,∴.,由圖形觀察可知,平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【點睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小,難度一般,通??刹捎脦缀畏椒ê拖蛄糠椒▋煞N進行求解.18、(1)(?。┳C明見解析(ⅱ)(2)存在,【解析】

(1)(i)連接交于點,連接,,依題意易證四邊形為平行四邊形,從而有,,由此能證明PC∥平面(ii)推導出,以為原點建立空間直角坐標系,利用向量法求解;(2)設(shè),求出平面的法向量,利用向量法求解.【詳解】(1)(?。┳C明:連接交于點,連接,,因為為線段的中點,所以,因為,所以因為∥所以四邊形為平行四邊形.所以又因為,所以又因為平面,平面,所以平面.(ⅱ)解:如圖,在平行四邊形中因為,,所以以為原點建立空間直角坐標系則,,,所以,,,平面的法向量為設(shè)平面的法向量為,則,即,取,得,設(shè)平面和平面所成的銳二面角為,則所以銳二面角的余弦值為(2)設(shè)所以,,設(shè)平面的法向量為,則,取,得,因為直線與平面所成的角的正弦值為,所以解得所以存在滿足,使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】此題二查線面平行的證明,考查銳二面角的余弦值的求法,考查滿足線面角的正弦值的點是否存在的判斷與求法,考查空間中線線,線面,面面的位置關(guān)系等知識,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】

(1)利用均值不等式即可求證;(2)利用,結(jié)合,即可證明.【詳解】(1)∵,同理有,,∴.(2)∵,∴.同理有,.∴.【點睛】本題考查利用均值不等式證明不等式,涉及的妙用,屬綜合性中檔題.20、(1),(2).【解析】

根據(jù)題意設(shè),可得PF的方程,根據(jù)距離即可求出;點Q處的切線的斜率存在,由對稱性不妨設(shè),根據(jù)導數(shù)的幾何意義和斜率公式,求,并構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求出函數(shù)的最值.【詳解】因為拋物線C的方程為,所以F的坐標為,設(shè),因為圓M與x軸、直線l都相切,l平行于x軸,所以

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