高中數(shù)學(xué)人教A版1直線與圓的位置關(guān)系 本講高效整合

第二講本講高效整合一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖所示，已知AB是半⊙O的直徑，弦AD，BC相交于點(diǎn)P，那么eq\f(CD,AB)＝()A．sin∠BPD B．cos∠BPDC．tan∠BPD D．eq\f(1,tan∠BPD)解析：如右圖所示，連接BD．∴AB是直徑，∴∠ADB＝90°.又∵∠ADC＝∠ABC，∠APB＝∠CPD，∴△APB∽△CPD，∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(PD,PB).在Rt△PDB中，cos∠BPD＝eq\f(PD,PB)，∴eq\f(CD,AB)＝cos∠BPD，故選B．答案：B2．如右圖所示，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，C是eq\x\to(AB)上的一點(diǎn)，已知⊙O半徑為r，PO＝2r，設(shè)∠PAC＋∠PBC＝α，∠APB＝β.則α、β的大小關(guān)系是()A．α＞β B．α＝βC．α＜β D．不能確定解析：連結(jié)OA，則OA⊥PA，又PO＝2r＝2OA，∴∠APO＝30°，∴β＝∠APB＝60°.連結(jié)OB，則∠POA＝∠POB＝60°，又α＝∠PAC＋∠PBC＝eq\f(1,2)∠AOB＝60°，∴α＝β.答案：B3．如圖，已知EF是⊙O的直徑，把∠A為60°的直角三角板ABC的一條直角邊BC放在直線EF上，斜邊AB與⊙O交于點(diǎn)P，點(diǎn)B與點(diǎn)O重合．將三角板ABC沿OE方向平移，使得點(diǎn)B與點(diǎn)E重合為止．設(shè)∠POF＝x°，則x的取值范圍是()A．30≤x≤60 B．30≤x≤90C．30≤x≤120 D．60≤x≤120答案：A4．如圖所示，在⊙O中，AB＝2CD，那么()A．eq\x\to(AB)>2eq\x\to(CD)B．eq\x\to(AB)<2eq\x\to(CD)C．eq\x\to(AB)＝2eq\x\to(CD)D．eq\x\to(AB)與2eq\x\to(CD)的大小關(guān)系不能確定解析：如右圖所示，作eq\x\to(DE)＝eq\x\to(CD)，則eq\x\to(CE)＝2eq\x\to(CD).∵在△CDE中，CD＋DE>CE，∴2CD>CE，∵AB＝2CD，∴AB>CE，∴eq\x\to(AB)>eq\x\to(CE)，即eq\x\to(AB)>2eq\x\to(CD).答案：A5．已知AB是⊙O的直徑，CD⊥AB于P，EF是過點(diǎn)P的弦，已知AB＝10，PA＝2，PE＝5，則CD和EF分別為()A．8和7 B．7和eq\f(41,5)C．7和8 D．8和eq\f(41,5)解析：∵PA·PB＝PC2，∴PC2＝16，PC＝4，∴CD＝8.∵PE·PF＝PC2，∴PF＝eq\f(16,5)，∴EF＝eq\f(16,5)＋5＝eq\f(41,5).答案：D6．如圖，PC與⊙O相切于C點(diǎn)，割線PAB過圓心O，∠P＝40°，則∠ACP等于()A．20° B．25°C．30° D．40°解析：連接OC，∵PC切⊙O于C點(diǎn)，∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°，連接BC，∵OC＝OB，∴∠B＝eq\f(1,2)∠POC＝25°，∴∠ACP＝∠B＝25°.答案：B7．給出下列命題：(1)任一個(gè)三角形一定有一個(gè)外接圓，并且只有一個(gè)外接圓；(2)任一個(gè)圓一定有一個(gè)內(nèi)接三角形，并且只有一個(gè)內(nèi)接三角形；(3)任一個(gè)三角形一定有一個(gè)內(nèi)切圓，并且只有一個(gè)內(nèi)切圓；(4)任一個(gè)圓一定有一個(gè)外切三角形，并且只有一個(gè)外切三角形．其中真命題共有()A．1個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．4個(gè)解析：(1)(3)正確，(2)(4)錯(cuò)誤，故選C．答案：C8．如右圖所示，AB⊥BC，DC⊥BC，BC與以AD為直徑的⊙O相切于點(diǎn)E，AB＝9，CD＝4，則四邊形ABCD的面積為()A．78 B．65C．45 D．37解析：如右圖所示，不妨設(shè)⊙O與AB交于F，分別連接OE、DF.根據(jù)切線的性質(zhì)，可得OE⊥BC．∵OE、AB、CD都是平行的，又∵O是中點(diǎn)，∴r＝OE＝eq\f(1,2)(AB＋CD)＝eq\f(1,2)×(4＋9)＝eq\f(13,2).又∵AF＝AB－CD＝5，在Rt△ADF中，DF＝eq\r(AD2－AF2)＝eq\r(132－25)＝12，∴S＝eq\f(1,2)(AB＋CD)·DE＝eq\f(1,2)×13×12＝78.答案：A9．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，以A為圓心、AC為半徑的圓交AB于F，交BA的延長線于E，CD⊥AB于D，給出四個(gè)等式：①BC2＝BF·BA；②CD2＝AD·AB；③CD2＝DF·DE；④BF·BE＝BD·BA．其中能夠成立的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：①②不正確，由割線定理的推論知③正確，又由BC2＝BE·BF，BC2＝BD·BA，∴BE·BF＝BD·BA，故④正確．答案：B10．如圖，AB、AC、CE都是⊙O的切線，B、D、E為切點(diǎn)，P為eq\x\to(BDE)上一點(diǎn)，若∠A＋∠C＝110°，則∠BPE＝()A．70° B．60°C．55° D．50°解析：連結(jié)BD、DE，則∠ABD＝∠ADB＝90°－eq\f(1,2)∠A，∠CDE＝∠CED＝90°－eq\f(1,2)∠C，∴∠BPE＝180°－∠ADB－∠CDE＝eq\f(1,2)(∠A＋∠C)＝55°，∠BPE＝55°.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)11．如右圖所示，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PA＝是⊙O的直徑，PC與圓⊙O交于點(diǎn)B，PB＝1，則⊙O的半徑r＝________.解析：依題意，△PBA∽△ABC，所以eq\f(PA,2r)＝eq\f(PB,AB)，即r＝eq\f(PA·AB,2PB)＝eq\f(2×\r(22－12),2×1)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)12．在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)O在BC上，以O(shè)為圓心的⊙O分別與AB、AC相切于E、F，若AB＝a，AC＝b，則⊙O的半徑為________.解析：如右圖所示，分別連接OE、OF，則四邊形OEAF是正方形，不妨設(shè)⊙O的半徑為r，則由切線長定理，可得AE＝AF＝r，∵BE＝AB－AE，CF＝AC－AF，∴BE＝a－r，CF＝b－r，∵△BEO與△CFO相似，∴eq\f(BE,OE)＝eq\f(OF,CF)，∴eq\f(a－r,r)＝eq\f(r,b－r)，解得r＝eq\f(ab,a＋b).答案：eq\f(ab,a＋b)13．PA是圓的切線，A是切點(diǎn)，PBC是圓的割線且PB＝eq\f(1,2)BC，那么eq\f(PA,PB)＝________.解析：如圖所示，∵PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝PB·(PB＋2PB)＝3PB2，∴eq\f(PA,PB)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)14．如圖所示，A、B、C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，當(dāng)BC平分∠ABO時(shí)，能得出結(jié)論________.(任寫一個(gè))解析：由OC＝OB，得∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠ABC，∴OC與AB是平行的．答案：OC∥AB三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(12分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝(1)求△ABC內(nèi)切圓的半徑；(2)若移動(dòng)圓心O的位置，使⊙O保持與△ABC的邊AC和邊BC都相切，求r的取值范圍．解析：(1)如圖所示，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F.連接OD、OE、OF、OB，則OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3BC＝4cm，∴AB＝∵OE＝OD，∠C＝90°，∴四邊形CEOD是正方形．∴CD＝DO.∵OB＝OB，OD＝OF，∠ODB＝∠OFB＝90°，∴△ODB≌△OFB．∴BD＝BF.同理，可得AE＝AF.∴AC＋BC－AB＝AE＋EC＋BD＋DC－AF－BF＝EC＋DC＝2OD．∴內(nèi)切圓的半徑r＝OD＝eq\f(AC＋BC－AB,2)＝eq\f(3＋4－5,2)＝1cm.(2)如圖所示，動(dòng)⊙O與AC，BC相切的最大的圓與AC，BC的切點(diǎn)分別是A、D，連接OA、OD，則四邊形AODC是正方形，此時(shí)應(yīng)有OA＝AC＝3∴動(dòng)圓的半徑r的范圍為(0,3]．16．(12分)如圖，AB是半圓O的直徑，過點(diǎn)O作弦AD的垂線交切線AC于點(diǎn)C，OC與半圓O交于點(diǎn)E.連接BE、DE.(1)求證：∠BED＝∠C；(2)若OA＝5，AD＝8，求AC的長．解析：(1)證明：∵AC是⊙O的切線，AB是⊙O直徑，∴AB⊥AC．即∠1＋∠2＝90°.又∵OC⊥AD，∴∠1＋∠C＝90°.∴∠C＝∠2.而∠BED＝∠2，∴∠BED＝∠C．(2)連接BD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(102－82)＝6.∴△OAC∽△BDA．∴OA∶BD＝AC∶DA．即5∶6＝AC∶8.∴AC＝eq\f(20,3).17．(12分)如圖所示，⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O2的切線CF交⊙O1于C，直線CB交⊙O2于D，直線DA交⊙O1于E，連接CE.求證：(1)△CAE是等腰三角形；(2)DA·DE＝CD2－CE2.證明：(1)連接AB，∵CA是⊙O2的切線，∴∠FAD＝∠ABD．又∠ABD＝∠E，∴∠E＝∠FAD＝∠EAC，∴△CAE是等腰三角形．(2)∵CA2＝CB·CD，DA·DE＝BD·DC，∴CA2＋DA·DE＝CB·CD＋BD·DC＝CD2.又∵CA＝CE，∴DA·DE＝CD2－CE2.18．(14分)如右圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O的半徑AO上運(yùn)動(dòng)，PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC＝.(1)當(dāng)CE正好是⊙O的半徑時(shí)，PT＝2，求⊙O的半徑；(2)設(shè)PT2＝y(tǒng)，AC＝x，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)△PTC能不能變?yōu)橐訮C為斜邊的等腰直角三角形？若能，請求出△PTC的面積；若不能，請說明理由．解析：(1)如右圖所示，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合后，即CE恰好為⊙O的半徑，此時(shí)PO＝PC＝，延長PO交⊙O于F，不妨設(shè)該圓的半徑為r，則PE＝PO－r＝－r，PE＝PO＋r＝＋r，根據(jù)切割線定理，可得PT2＝PE·PF，即22＝＋r)－r)，解得r＝.所以⊙O的半徑為.(2)如