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廣東省惠州市矮陂中學2023年高二數(shù)學文下學期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.設(shè)集合A=,,已知∈B,且B中含有3個元素,則集合B有(
)
A.A個
B.C個
C.A個
D.C個參考答案:B略2.已知函數(shù)f(x)=|x|?ex(x≠0),其中e為自然對數(shù)的底數(shù),關(guān)于x的方程有四個相異實根,則實數(shù)λ的取值范圍是()A. B. C. D.參考答案:D【考點】54:根的存在性及根的個數(shù)判斷.【分析】寫出分段函數(shù),利用導數(shù)研究單調(diào)性和極值,畫出圖形的大致形狀,結(jié)合關(guān)于x的方程有四個相異實根列式求得實數(shù)λ的取值范圍.【解答】解:f(x)=|x|?ex=.當x>0時,由f(x)=x?ex,得f′(x)=ex+x?ex=ex(x+1)>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù);當x<0時,由f(x)=﹣x?ex,得f′(x)=﹣ex﹣x?ex=﹣ex(x+1).當x∈(﹣∞,﹣1)時,f′(x)>0,當x∈(﹣1,0)時,f′(x)<0,∴當x=﹣1時,函數(shù)f(x)取得極大值為f(﹣1)=.作出函數(shù)f(x)=|x|?ex(x≠0)的圖象的大致形狀:令f(x)=t,則方程化為,即t2﹣λt+2=0,要使關(guān)于x的方程有四個相異實根,則方程t2﹣λt+2=0的兩根一個在(0,),一個在()之間.則,解得λ>2e+.∴實數(shù)λ的取值范圍是(2e+,+∞).故選:D.【點評】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷,考查利用導數(shù)求極值,考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法及數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.3.某中學有學生300人,其中一年級120人,二,三年級各90人,現(xiàn)要利用抽樣方法取10人參加某項調(diào)查,考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案,使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時,將學生按一,二,三年級依次統(tǒng)一編號為1,2,…300;使用系統(tǒng)抽樣時,將學生統(tǒng)一編號為1,2,…300,并將整個編號依次分為10段.如果抽得的號碼有下列四種情況:①7,37,67,97,127,157,187,217,247,277;②5,9,100,107,121,180,195,221,265,299;
③11,41,71,101,131,161,191,221,251,281;④31,61,91,121,151,181,211,241,271,300關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中,正確的是()A、①③都可能為分層抽樣
B、②④都不能為分層抽樣C、①④都可能為系統(tǒng)抽樣
D、②③都不能為系統(tǒng)抽樣參考答案:A4.的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a、b、c成等比數(shù)列,且,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B5.定義:如果函數(shù)f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)滿足f'(x1)=,f'(x2)=,則稱函數(shù)f(x)是[a,b]上的“雙中值函數(shù)”,已知函數(shù)f(x)=2x3﹣x2+m是[0,2a]上“雙中值函數(shù)”,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(,) B.(,) C.(,) D.(,1)參考答案:A【考點】函數(shù)與方程的綜合運用.【分析】根據(jù)定義得出=8a2﹣2a,相當于6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0,2a]上有兩個根,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解出a的范圍即可.【解答】解:f(x)=2x3﹣x2+m是[0,2a]上的“雙中值函數(shù)”,∴=8a2﹣2a,∵f'(x)=6x2﹣2x,∴6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0,2a]上有兩個根,令g(x)=6x2﹣2x﹣8a2+2a,∴△=4+24(8a2﹣2a)>0,g(0)>0,g(2a)>0,2a>,∴<a<.故選A.【點評】考查了新定義類型題的解題方法,重點是對新定義性質(zhì)的理解.6.函數(shù)的最小值是(
)A.3
B.4
C.5
D.6參考答案:C7.設(shè)函數(shù)在上可導,其導函數(shù),且函數(shù)在處取得極小值,則函數(shù)的圖象可能是(
)參考答案:C略8.冪函數(shù)y=xm與y=xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,則()A.-1<n<0,<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1
D.n<-1,m>1參考答案:B9.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且,(),若對任意的,恒成立,則實數(shù)的取值范圍為(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:B10.從長度為1,3,5,7,9五條線段中任取三條能構(gòu)成三角形的概率是(
)A、
B、
C、
D、參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若關(guān)于x的不等式的解集為,則實數(shù)m=____________.參考答案:【分析】由不等式2x2﹣3x+a<0的解集為(m,1)可知:x=m,x=1是方程2x2﹣3x+a=0的兩根.根據(jù)韋達定理便可分別求出m和a的值.【詳解】由題意得:1為的根,所以,從而故答案為:【點睛】本題考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.12.平行六面體的所有棱長均為2,,那么二面角的余弦值為____________.參考答案:13.已知雙曲線的準線過橢圓的焦點,且直線與橢圓在第一象限至多只有一個交點,則實數(shù)的取值范圍為____________.參考答案:14.某幾何體的三視圖如圖所示,則它的體積是___________參考答案:15.已知實數(shù)x,y,滿足xy=1,且x>2y>0,則的最小值為.參考答案:4【考點】基本不等式.【專題】不等式的解法及應(yīng)用.【分析】根據(jù)分式中分母的特征,將分子配方,即可拆成基本不等式的形式,從而獲得最小值.【解答】解:∵xy=1,且x>2y>0,∴.當且僅當即x﹣2y=2時,取“=”號,此時,聯(lián)立xy=1,得時,有最小值4.故答案為:4.【點評】1.解決本題的突破口是:平方、拆項,化為基本不等式的形式.應(yīng)學會一些常見的變形技巧.2.利用基本不等式時,應(yīng)注意是否滿足條件“一正,二定,三相等”,否則取不到最值.16.從班委會5名成員中選出3名,分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員,其中甲、乙二人不能擔任文娛委員,則不同的選法共有____________種。(用數(shù)字作答)參考答案:36種略17.若等差數(shù)列{an}中有a6+a9+a12+a15=20,則其前20項和等于
.參考答案:100【考點】等差數(shù)列的前n項和;等差數(shù)列的性質(zhì).【分析】由等差數(shù)列{an}中有a6+a9+a12+a15=20,知a1+a20=10,由此能求出其前20項和.【解答】解:等差數(shù)列{an}中,∵a6+a9+a12+a15=2(a1+a20)=20,∴a1+a20=10,∴=10×10=100.故答案為:100.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分8分)如右圖為一組合幾何體,其底面為正方形,平面,,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求四棱錐的體積;(Ⅲ)求該組合體的表面積.參考答案:19.已知點A(0,﹣6),B(1,﹣5),且D為線段AB的中點.(Ⅰ)求中點D的坐標;(Ⅱ)求線段AB的垂直平分線的方程.參考答案:【考點】待定系數(shù)法求直線方程.【專題】方程思想;綜合法;直線與圓.【分析】(Ⅰ)由已知條件求出AB的中點坐標為(,﹣),(Ⅱ)求出kAB=1,由此能求出線段AB的垂直平分線的方程.【解答】解:(Ⅰ)∵A(0,﹣6),B(1,﹣5),∴AB的中點D坐標為(,﹣),(Ⅱ)kAB==1,∴線段AB的垂直平分線的斜率是﹣1,∴線段AB的垂直平分線的方程為:y+=﹣(x﹣),整理,得x+y+5=0.【點評】本題考查線段AB的垂直平分線的方程的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要注意中點坐標公式和直線與直線垂直的性質(zhì)的合理運用.20.(本小題10分)若函數(shù),當時,函數(shù)有極值.(1)求函數(shù)的解析式;(2)若方程有3個不同的實根,求實數(shù)的取值范圍.參考答案:f′(x)=3ax2-b.(1)由題意得f′(2)=0
f(x)=
解得故f(x)=x3-4x+4.(2)由(1)可得f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),令f′(x)=0,得x=2或x=-2.當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)-因此,當x=-2時,f(x)有極大值,當x=2時,f(x)有極小值-,所以函數(shù)f(x)=x3-4x+4的圖象大致如圖所示.若f(x)=k有3個不同的根,則直線y=k與函數(shù)f(x)的圖象有3個交點,所以
-<k<.21.(10分)已知x,y都是正數(shù).若3x+2y=12,求xy的最大值;
參考答案:解xy=·3x·2y≤2=6.當且僅當即時取“=”號.所以當x=2,y=3時,xy取得最大值6.22.(本題滿分14分)如圖表4,在棱長為1的正方體中,點E是棱上的動點,F(xiàn),G分別是的中點.(1)求證:.(2)當點E是棱上的中點時,求異面直線EF與CG所成角的余弦值.(3)當二面角達到最大時,求其余弦值.參考答案:(1)方法一:F為BD的中點,………………1分又面ABCD,……2分,面……3分面,……4分;方法二:以D為坐標原點,所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系.則,,設(shè).……1分則,…………2分………3分故……………………4分(2)方法一:連接.當點E是棱上的中點時,因為為的中點,由正方體的性質(zhì)知ks5u故或其補角為異面直線EF與CG所成角.…………5分在中,……………6分在中,………7分在中,……8分故,在中,異面直線EF與CG所成角的余弦值為……9分;方法二:………………6分設(shè)異面直線EF與CG所成角為,則……8分異面直線EF與CG所成角的余弦值為………………9分(3)方法一:面,………………10分故為二面角的平面角,……………
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