2020年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷

第10頁（共10頁）2020年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）﹣3的相反數(shù)是（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣2．（3分）下列各式中，計算正確的是（）A．a(chǎn)3+a2＝a5 B．a(chǎn)3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5 D．a(chǎn)2?a3＝a53．（3分）2019年12月12日，國務(wù)院新聞辦公室發(fā)布，南水北調(diào)工程全面通水5周年來，直接受益人口超過1.2億人，其中1.2億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．1.2×108 B．1.2×107 C．1.2×109 D．1.2×10﹣84．（3分）下列各式中正確的是（）A．﹣|﹣2|＝2 B．＝±2 C．＝3 D．30＝15．（3分）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．趙爽弦圖 B．科克曲線 C．笛卡爾心形線 D．斐波那契螺旋線6．（3分）要使分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠07．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD8．（3分）下列不是三棱柱展開圖的是（）A． B． C． D．9．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．10．（3分）反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點（2，1），則下列說法錯誤的是（）A．k＝2 B．函數(shù)圖象分布在第一、三象限 C．當x＞0時，y隨x的增大而增大 D．當x＞0時，y隨x的增大而減小11．（3分）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為x米，則根據(jù)題意，列方程為（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣2x）＝60012．（3分）如圖1，在平面直角坐標系中，?ABCD在第一象限，且BC∥x軸．直線y＝x從原點O出發(fā)沿x軸正方向平移，在平移過程中，直線被?ABCD截得的線段長度n與直線在x軸上平移的距離m的函數(shù)圖象如圖2所示．那么?ABCD的面積為（）A．3 B．3 C．6 D．6二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分．）13．（3分）因式分解：a2+a＝．14．（3分）計算：﹣x＝．15．（3分）已知一個n邊形的每一個外角都為30°，則n等于．16．（3分）一副三角板如圖擺放，且AB∥CD，則∠1的度數(shù)為．17．（3分）某班有52名學(xué)生，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍少17人，則女生有名．18．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點P1的坐標為（，），將線段OP1繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2；又將線段OP2繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP2的2倍，得到線段OP3；如此下去，得到線段OP4，OP5，…，OPn（n為正整數(shù)），則點P2020的坐標是．三、解答題（木大題共8個小題，19～20題每題6分，21～24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．（6分）化簡：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．20．（6分）一個不透明的盒子里裝有除顏色外其余均相同的2個黑球和n個白球，攪勻后從盒子里隨機摸出一個球，摸到白球的概率為．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，攪勻后隨機從中摸出1個球，放回攪勻，再隨機摸出第2個球，求兩次摸球摸到一個白球和一個黑球的概率．請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明．21．（8分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，過BC的中點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．（1）求證：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度數(shù)．22．（8分）病毒雖無情，人間有大愛．2020年，在湖北省抗擊新冠病毒的戰(zhàn)“疫”中，全國（除湖北省外）共有30個?。▍^(qū)、市）及軍隊的醫(yī)務(wù)人員在黨中央全面部署下，白衣執(zhí)甲，前赴后繼支援湖北?。珖?0個?。▍^(qū)、市）各派出支援武漢的醫(yī)務(wù)人員頻數(shù)分布直方圖（不完整）和扇形統(tǒng)計圖如下：（數(shù)據(jù)分成6組：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根據(jù)以上信息回答問題：（1）補全頻數(shù)分布直方圖．（2）求扇形統(tǒng)計圖中派出人數(shù)大于等于100小于500所占圓心角度數(shù)．據(jù)新華網(wǎng)報道，在支援湖北省的醫(yī)務(wù)人員大軍中，有“90后”也有“00后”，他們是青春的力量，時代的脊梁．小華在收集支援湖北省抗疫宣傳資料時得到這樣一組有關(guān)“90后”醫(yī)務(wù)人員的數(shù)據(jù)：C市派出的1614名醫(yī)護人員中有404人是“90后”；H市派出的338名醫(yī)護人員中有103人是“90后”；B市某醫(yī)院派出的148名醫(yī)護人員中有83人是“90后”．（3）請你根據(jù)小華得到的這些數(shù)據(jù)估計在支援湖北省的全體醫(yī)務(wù)人員（按4.2萬人計）中，“90后”大約有多少萬人？（寫出計算過程，結(jié)果精確到0.1萬人）23．（8分）小華同學(xué)將筆記本電腦水平放置在桌子上，當顯示屏的邊緣線OB與底板的邊緣線OA所在水平線的夾角為120°時，感覺最舒適（如圖①）．側(cè)面示意圖為圖②；使用時為了散熱，他在底板下面墊入散熱架，如圖③，點B、O、C在同一直線上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的長；（2）如圖④，墊入散熱架后，要使顯示屏的邊緣線OB'與水平線的夾角仍保持120°，求點B′到AC的距離．（結(jié)果保留根號）24．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點A和點D的圓，圓心O在線段AB上，⊙O交AB于點E，交AC于點F．（1）判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的長．25．（10分）在平面直角坐標系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象過點（﹣1，0），（2，0）．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）求當﹣2≤x≤1時，y的最大值與最小值的差；（3）一次函數(shù)y＝（2﹣m）x+2﹣m的圖象與二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象交點的橫坐標分別是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范圍．26．（12分）如圖1，平面直角坐標系xOy中，等腰△ABC的底邊BC在x軸上，BC＝8，頂點A在y的正半軸上，OA＝2，一動點E從（3，0）出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB向左運動，到達OB的中點停止．另一動點F從點C出發(fā)，以相同的速度沿CB向左運動，到達點O停止．已知點E、F同時出發(fā)，以EF為邊作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同側(cè)，設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）．（1）當點H落在AC邊上時，求t的值；（2）設(shè)正方形EFGH與△ABC重疊面積為S，請問是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，取AC的中點D，連結(jié)OD，當點E、F開始運動時，點M從點O出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO運動，到達點O停止運動．請問在點E的整個運動過程中，點M可能在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點M在正方形EFGH內(nèi)（含邊界）的時長；若不可能，請說明理由．

2020年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．解：﹣3的相反數(shù)是3．故選：A．2．解：a3與a5不是同類項，它是一個多項式，因此A選項不符合題意；同上可得，選項B不符合題意；（a2）3＝a2×3＝a6，因此選項C不符合題意；a2?a3＝a2+3＝x5，因此選項D符合題意；故選：D．3．解：1.2億＝120000000＝1.2×108．故選：A．4．解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故此選項錯誤；B、＝2，故此選項錯誤；C、≠3，故此選項錯誤；D、30＝1，故此選項正確；故選：D．5．解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：B．6．解：要使分式有意義，則x﹣1≠0，解得：x≠1．故選：B．7．解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項A中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項B中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；∵AB∥DC，AD＝BC，則無法判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故選項C中的條件，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項D中條件可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；故選：C．8．解：A、C、D中間三個長方形能圍成三棱柱的側(cè)面，上、下兩個三角形圍成三棱柱的上、下兩底面，故均能圍成三棱柱，均是三棱柱的表面展開圖．B圍成三棱柱時，兩個三角形重合為同一底面，而另一底面沒有．故B不能圍成三棱柱．故選：B．9．解：，由①得x≤1，由②得x＞﹣2，故不等式組的解集為﹣2＜x≤1，在數(shù)軸上表示為：．故選：C．10．解：∵反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點（2，1），∴1＝，解得，k＝2，故選項A不符合題意；∵k＝2＞0，∴該函數(shù)的圖象在第一、三象限，故選項B不符合題意；當x＞0時，y隨x的增大而減小，故選項C符合題意、選項D不符合題意；故選：C．11．解：依題意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故選：C．12．解：過B作BM⊥AD于點M，分別過B，D作直線y＝x的平行線，交AD于E，如圖1所示，由圖象和題意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AD＝2+1＝3，∵直線BE平行直線y＝x，∴BM＝EM＝，∴平行四邊形ABCD的面積是：AD?BM＝3×＝3．故選：B．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分．）13．解：a2+a＝a（a+1）．故答案為：a（a+1）．14．解：原式＝﹣x＝x+1﹣x＝1．故答案為：1．15．解：∵一個n邊形的每一個外角都為30°，任意多邊形的外角和都是360°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案為：12．16．解：如圖，∵AB∥CD，∠D＝45°，∴∠2＝∠D＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．故答案是：105°．17．解：設(shè)女生有x名，則男生人數(shù)有（2x﹣17）名，依題意有2x﹣17+x＝52，解得x＝23．故女生有23名．故答案為：23．18．解：∵點P1的坐標為（，），將線段OP1繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到線段OP4＝23，OP5＝24…，∴OPn＝2n﹣1，由題意可得出線段每旋轉(zhuǎn)8次旋轉(zhuǎn)一周，∵2020÷8＝252…4，∴點P2020的坐標與點P4的坐標在同一直線上，正好在y軸的負半軸上，∴點P2020的坐標是（0，﹣22019）．故答案為：（0，﹣22019）．三、解答題（木大題共8個小題，19～20題每題6分，21～24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19．解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）＝ab+b2+a2﹣b2＝ab+a2．20．解：（1）由概率的意義可得，＝，解得，n＝1，答：n的值為1；（2）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩次摸球摸到一個白球和一個黑球有4種．∴P（一白一黑）＝，21．（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中點，∴BD＝CD，在△BED與△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．22．解：（1）由直方圖可得，1300≤x＜1700，這一組的頻數(shù)是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，補全的頻數(shù)分布直方圖如右圖所示；（2）360°×＝36°，即扇形統(tǒng)計圖中派出人數(shù)大于等于100小于500所占圓心角度數(shù)是36°；（3）4.2×≈1.2（萬人），答：在支援湖北省的全體醫(yī)務(wù)人員（按4.2萬人計）中，“90后”大約有1.2萬人．23．解：（1）如圖③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC＝OA＝×24＝12（cm）；（2）如圖④，過點B′作B′D⊥AC，垂足為D，過點O作OE⊥B′D，垂足為E，由題意得，OA＝OB′＝24（cm），當顯示屏的邊緣線OB'與水平線的夾角仍保持120°，可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12（cm），又∵OC＝DE＝12（cm），∴B′D＝B′E+DE＝12+12（cm），即：點B′到AC的距離為（12+12）cm．24．解：（1）BC與⊙O相切，理由：連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD為半徑，∴BC是⊙O切線；（2）連接DE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，＝，∴AC＝，∴CD＝＝＝，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC，∴，∴＝，∴BD＝．25．解：（1）由二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象經(jīng)過（﹣1，0）和（2，0）兩點，∴，解得，∴此二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣x﹣2；（2）∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝＝，∴在﹣2≤x≤