廣東省梅州市小都中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省梅州市小都中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，△PAB所在的平面和四邊形ABCD所在的平面垂直，且，，AD=4，BC=8，AB=6，，則點(diǎn)P在平面內(nèi)的軌跡是A．圓的一部分 B．一條直線C．一條線段

D．兩條直線

參考答案：A2.在線性回歸模型中，下列說法正確的是(

).A．是一次函數(shù)

B．因變量y是由自變量x唯一確定的C．因變量y除了受自變量x的影響外，可能還受到其它因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生D．隨機(jī)誤差e是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的，可以通過精確計(jì)算避免隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生參考答案：C3.已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為=﹣3+bx，若=17，=4，則b的值為（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1參考答案：A【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】由樣本數(shù)據(jù)可得，=1.7，=0.4，代入可求這組樣本數(shù)據(jù)的回歸直線方程．【解答】解：依題意知，==1.7，==0.4，而直線=﹣3+bx一定經(jīng)過點(diǎn)（，），所以﹣3+b×1.7=0.4，解得b=2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)據(jù)的回歸直線方程，利用回歸直線方程恒過樣本中心點(diǎn)是關(guān)鍵．4.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出s的值為（）A．﹣1B．0C．1D．3參考答案：B考點(diǎn)：條件語句；循環(huán)語句．專題：算法和程序框圖．分析：本題主要考查條件語句與循環(huán)語句的基本應(yīng)用，屬于容易題．解答：解：第一次運(yùn)行程序時(shí)i=1，s=3；第二次運(yùn)行程序時(shí)，i=2，s=2；第三次運(yùn)行程序時(shí)，i=3，s=1；第四次運(yùn)行程序時(shí)，i=4，s=0，此時(shí)執(zhí)行i=i+1后i=5，推出循環(huán)輸出s=0，故選B點(diǎn)評(píng)：涉及循環(huán)語句的問題通?？梢圆捎靡淮螆?zhí)行循環(huán)體的方式解決．5.某幾何體的直觀圖如右圖所示，則該幾何體的側(cè)（左）視圖的面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.已知樣本容量為30，在樣本頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的高的比從左到右依次為，則第2組的頻率和頻數(shù)分別是（

）．

．

．

．

參考答案：A7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．參考答案：D8.已知△ABC中，a=5，b=3，C=120°，則sinA的值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【專題】計(jì)算題．【分析】由C的度數(shù)求出sinC和cosC的值，再由a，b的值，利用余弦定理求出c的值，然后再由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．【解答】解：由a=5，b=3，C=120°，根據(jù)余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=25+9﹣30×（﹣）=49，解得c=7，由正弦定理=得：sinA===．故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．9.閱讀如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（

）A.20 B.3 C.2 D.60

參考答案：A略10.某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x﹣y|的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．【專題】計(jì)算題．【分析】由題意知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2可得到關(guān)于x，y的一個(gè)方程組，解這個(gè)方程組需要用一些技巧，因?yàn)椴灰苯忧蟪鰔、y，只要求出|x﹣y|，利用換元法來解出結(jié)果．【解答】解：由題意這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解這個(gè)方程組需要用一些技巧，因?yàn)椴灰苯忧蟪鰔、y，只要求出|x﹣y|，設(shè)x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)平均數(shù)和方差的綜合題，根據(jù)所給的平均數(shù)和方差，代入方差的公式進(jìn)行整理，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題，可以作為選擇和填空出現(xiàn)．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為．參考答案：a≤2【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】若二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則≤1，解得答案．【解答】解：∵二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1的圖象是開口朝上，且以直線x=為對(duì)稱軸的拋物線，若二次函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣a﹣1在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則≤1，即a≤2，故答案為：a≤2【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．12.已知三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+a的圖象如圖所示，則=_________．參考答案：-613.命題：“若，則”的逆否命題是

參考答案：14.已知，則________.（用含m的式子表示）參考答案：【分析】通過尋找，與特殊角的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式變形即可?！驹斀狻恳?yàn)?，即，所以，所以，所以，?【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式和二倍角公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生分析解決問題的能力。15.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)=___．參考答案：【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方與除法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】z，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．16.兩圓x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的連心線方程為

．參考答案：3x﹣y﹣9=0【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【專題】計(jì)算題；直線與圓．【分析】求出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式，可得方程．【解答】解：兩圓x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圓心坐標(biāo)分別為（2，﹣3），（3，0），∴連心線方程為y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案為：3x﹣y﹣9=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系及其判定，考查直線方程，比較基礎(chǔ)．17.與曲線共焦點(diǎn)并且與曲線共漸近線的雙曲線方程為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，在底面為直角梯形的四棱椎P—ABCD中，AD//BC,?ABC=900,PA?平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2,BC=6.（1）求證：BD?平面PAC；（2）求二面角A—PC—D的正切值；（3）求點(diǎn)D到平面PBC的距離.參考答案：略19.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2的方程為.（Ⅰ）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若A，B分別為曲線C1和C2上的任意點(diǎn)，求的最小值.參考答案：解：（Ⅰ）由，得，代入，得的普通方程.由，得.因?yàn)椋?，所以的直角坐?biāo)方程為.（Ⅱ）因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.可設(shè)點(diǎn)為，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，其中，.由三角函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.

20.（12分）已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=﹣1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知，，求λ1+λ2的值．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；軌跡方程；拋物線的定義；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】解法一：（1）我們可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），由直線l：x=﹣1，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，則Q（﹣1，y），則我們根據(jù)，構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于x，y的方程，化簡(jiǎn)后，即可得到所求曲線的方程；（2）由過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，我們可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，聯(lián)立直線方程后，利用設(shè)而不求的思想，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，易求λ1+λ2的值．解法二：（1）由得，進(jìn)而可得．根據(jù)拋物線的定義，我們易得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，再由直線l（即準(zhǔn)線）方程為：x=﹣1，易得拋物線方程；（2）由已知，，得λ1?λ2＜0．根據(jù)拋物線的定義，可們可以將由已知，，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出λ1+λ2的值．【解答】解：法一：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則Q（﹣1，y），由得：（x+1，0）?（2，﹣y）=（x﹣1，y）?（﹣2，y），化簡(jiǎn)得C：y2=4x．

（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為：x=my+1（m≠0）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），又，聯(lián)立方程組，消去x得：y2﹣4my﹣4=0，∴△=（﹣4m）2+16＞0，故由，得：，，整理得：，，∴===0．法二：（Ⅰ）由得：，∴，∴，∴．所以點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y2=4x．（Ⅱ）由已知，，得λ1?λ2＜0．則：．①過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1，B1，則有：．②由①②得：，即λ1+λ2=0．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．21.(本小題滿分16分)(1)已知，求證：；(2)若，，，且，求證：和中至少有一個(gè)小于2.參考答案：（1）證明：法一：要證

只要證

只要證

即證

即證

即證

即證，顯然成立，所以原不等式成立.…………8分證法二：，又（2）證明：假設(shè)和均大于或等于2，即且因?yàn)樗郧宜运赃@與矛盾.所以和中至少有一個(gè)小于2.………………16分

22.設(shè)是各項(xiàng)均不為零的（）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差.（Ⅰ）若,且該數(shù)列前項(xiàng)和最大，求的值；（Ⅱ）若,且將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列，求的值；（Ⅲ）若該數(shù)列中有一項(xiàng)是，則數(shù)列中是否存在不同三項(xiàng)（按原來的順序）為等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由.

參考答案：（Ⅰ）解法一：由已知得∴

…………3分∵

∴取最大時(shí)的值為30或31.