2022-2023學年天津市南開中學高二年級上冊學期期末結課練習數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年天津市南開中學高二上學期期末結課練習數(shù)學試題一、單選題1．在數(shù)列中，，若為等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差中項求解即可．【詳解】解：由為等差數(shù)列得，解得.故選：A2．已知空間向量，，，若，則（

）A．2 B． C．14 D．【答案】C【分析】利用空間向量平行的性質即可.【詳解】因為空間向量，，，如果，則，所以，解得，所以，故選：C.3．兩個正數(shù)與的等比中項為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)等比中項的定義，即求出結果．【詳解】設它們等比中項為，則，所以．故選：C【點睛】本題主要考查等比中項公式的應用，屬于基礎題．4．在雙曲線中，虛軸長為6，且雙曲線與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將橢圓方程化成標準方程求出其焦點坐標，再根據(jù)雙曲線虛軸長度為6，即可求得雙曲線的標準方程.【詳解】橢圓的標準方程為；易得橢圓焦點坐標為，又因為雙曲線與橢圓有公共焦點，所以雙曲線的焦點在軸上，且，由雙曲線虛軸長為6可知，所以；所以，雙曲線的標準方程為.故選：B.5．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，且點到雙曲線的漸近線的距離為4，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題易得，知，雙曲線焦點在軸上，漸近線方程為，又由點到雙曲線的漸近線的距離為4，得，即可解決.【詳解】由題知，拋物線開口向右，，所以焦點為，因為焦點與雙曲線的一個焦點重合，所以，且雙曲線焦點在軸上，漸近線方程為，即，因為點到雙曲線的漸近線的距離為4，即，所以，所以雙曲線的方程為，故選：C6．在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．6 B．16 C．24 D．60【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標和的性質即可求的值,根據(jù)通項公式計算即可得出結果.【詳解】由等差數(shù)列的性質：,而.故選：C.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質，考查計算能力，屬于簡單題.7．在數(shù)列中，，，則前2022項和的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到該數(shù)列周期，根據(jù)進行轉化即可求和.【詳解】因為，所以，，，，，…，所以該數(shù)列的周期是3，又因為，，所以.故選：C8．如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，，分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設分別是的中點，連接，則，由于是等邊三角形，所以，根據(jù)直三棱柱的性質可知，平面平面，且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以.根據(jù)根據(jù)直三棱柱的性質可知，平面，所以平面，平面，所以，由此以為原點，建立空間直角坐標系如下圖所示，設，則，所以，設異面直線與所成角為，則.故選：A9．唐代詩人李欣的是古從軍行開頭兩句說“百日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學故事“將軍飲馬”的問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從出發(fā)，河岸線所在直線方程，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點關于直線對稱點的求解方法可求得點關于直線的對稱點，將問題轉化為點和圓上的點連線的最小值的求解，利用點和圓心之間的距離減圓的半徑可得結果.【詳解】設點關于直線的對稱點為，則，的中點為，，解得：，，要使從點到軍營總路程最短，即為點到軍營最短的距離，即為點和圓上的點連線的最小值，從點到軍營最短總路程為點和圓心之間的距離減圓的半徑，“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：B.10．已知點是拋物線與雙曲線的一個交點，若拋物線的焦點為，且，則點到雙曲線兩條漸近線的距離之和為（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】求出的坐標，代入雙曲線方程求出，然后求解雙曲線的漸近線方程．【詳解】解：拋物線的焦點為，且，可得，則，點是拋物線與雙曲線一個交點，，可得，解得：，則漸近線方程為：，不妨令，則點到這兩條漸近線的距離之和為：.故選：A．【點睛】本題考查拋物線和雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．二、填空題11．若拋物線經(jīng)過點，則其準線方程是___________.【答案】【分析】把已知點坐標代入求得后可得準線方程．【詳解】由拋物線經(jīng)過點，則，即，又拋物線的焦點在軸負半軸，故準線方程為．故答案為：．12．已知傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線的焦點交拋物線于A、B兩點，并且，則______．【答案】##【分析】根據(jù)拋物線的定義，結合正弦函數(shù)的定義進行求解即可.【詳解】若角為銳角，如圖，設A、B兩點在準線上的射影分別為C、D．過B作于則有，設，則．由勾股定理可知：則．若角為鈍角，由對稱性可知，故答案為：．13．在和之間插入個正數(shù)，使這個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的這個正數(shù)的積為_____.【答案】【分析】結合等比數(shù)列的性質直接求解即可.【詳解】由題意得，等比數(shù)列由項，且.根據(jù)等比數(shù)列性質有，所以插入的這個正數(shù)的積為.故答案為:14．已知直線與圓：交于、兩點，則的面積為______.【答案】2【分析】用已知直線方程和圓方程聯(lián)立，可以求出交點，再分析三角形的形狀，即可求出三角形的面積.【詳解】由圓C方程：可得：；即圓心C的坐標為（0，-1），半徑r=2；聯(lián)立方程得交點，如下圖：可知軸，∴是以為直角的直角三角形，，故答案為：2.15．在正方體中，點為線段的中點．設點在線段不與重合）上，直線與平面所成的角為，則的最大值是______．【答案】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算計算直線與平面成角正弦值，根據(jù)的表達式判斷最大值即可．【詳解】解：如圖建系，不妨設正方體的棱長，,0,，,0,，,2,，,0,，,2,，設平面的法向量為，所以，令，所以，又,1,，設,0,，則,，所以,,，故，當時，等號成立，所以的最大值是.故答案為：．16．已知正項等比數(shù)列，其前項和為，滿足，．若不等式對一切正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，求出等比數(shù)列的通項公式，進而得到該等比數(shù)列的前項和，把不等式整理成，根據(jù)，分離參數(shù)，可得對一切正整數(shù)成立，然后研究的最小值，即可得到答案.【詳解】因為，，設等比數(shù)列公比為，可得，所以．不等式化為，所以對一切正整數(shù)成立，，當且僅當，即時等號成立，所以．故答案為：三、解答題17．已知橢圓的右焦點為，上頂點為，離心率為，且過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線與橢圓有唯一的公共點，與軸的正半軸交于點，過與垂直的直線交軸于點.若，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）通過通徑和離心率聯(lián)立方程可得；（2）分別計算出的坐標，再根據(jù)直線與橢圓相切求出之間的關系式，代入可求得,進而求出直線方程.【詳解】（1），則過的垂線為，聯(lián)立橢圓方程得：弦長=又，聯(lián)立解之得：所以，橢圓的標準方程為（2）由（1）知，將直線與橢圓聯(lián)立整理得：相切代入解得：解之：【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．18．已知數(shù)列中，，，，數(shù)列的前n項和為Sn.(1)求的通項公式；(2)已知，（i）求數(shù)列前n項和Tn；（ii）證明：當時，.【答案】(1)(2)（i）Tn；（ii）證明見解析【分析】（1）由已知得出數(shù)列的奇數(shù)項構成的數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項構成的數(shù)列是首項為2，公差為4的等差數(shù)列.分別求出通項公式，合并可得的通項公式；（2）（i）由奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和可得，從而得出，由裂項相消法求得和；（ii）求出，由不等式的性質放縮為（時等號成立）