高中數(shù)學(xué)人教A版1圓錐曲線性質(zhì)的探討 章末綜合測(cè)評(píng)

章末綜合測(cè)評(píng)(一)(時(shí)間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖1，已知DE∥BC，EF∥AB，現(xiàn)得到下列式子：圖1①eq\f(AE,EC)＝eq\f(BF,FC)；②eq\f(AD,BF)＝eq\f(AB,BC)；③eq\f(EF,AB)＝eq\f(DE,BC)；④eq\f(CE,CF)＝eq\f(EA,BF).其中正確式子的個(gè)數(shù)有()A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)【解析】由平行線分線段成比例定理知，①②④正確．故選B.【答案】B2．如圖2，DE∥BC，S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8，則AD∶DB的值為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370024】圖2A．1∶4 B．1∶3C．1∶2 D．1∶5【解析】由S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8，得S△ADE∶S△ABC＝1∶9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2＝eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(1,9)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，∴AD∶DB＝1∶2.【答案】C3．如圖3所示，將△ABC的高AD三等分，過每一分點(diǎn)作底面平行線，這樣把三角形分成三部分，則這三部分的面積為S1，S2，S3，則S1∶S2∶S3等于()圖3A．1∶2∶3 B．2∶3∶4C．1∶3∶5 D．3∶5∶7【解析】如圖所示，E，F(xiàn)分別為△ABC高AD的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)E作BC的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)F作BC的平行線交AB，AC于點(diǎn)G，H.△AMN∽△ABC，eq\f(S△AMN,S△ABC)＝eq\f(1,9)，∴S1＝eq\f(1,9)S△ABC.又△AGH∽△ABC，eq\f(S△AGH,S△ABC)＝eq\f(4,9)，S△AGH＝S1＋S2，∴S1＋S2＝eq\f(4,9)S△ABC，∴S2＝eq\f(3,9)S△ABC，∴S3＝eq\f(5,9)S△ABC，∴S1∶S2∶S3＝1∶3∶5，故選C.【答案】C4．如圖4，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，BD＝3CE，DE交BC于F，則DF∶FE等于()圖4A．5∶2 B．2∶1C．3∶1 D．4∶1【解析】過D作DG∥AC，交BC于G，則DG＝DB＝3CE，即CE∶DG＝1∶3.易知△DFG∽△EFC，∴DF∶FE＝DG∶CE，所以DF∶FE＝3∶1.【答案】C5．如圖5所示，梯形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，則下列四個(gè)結(jié)論：圖5①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；④S△AOD＝S△BOC.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正確．由①知，eq\f(DC,AB)＝eq\f(OC,OA).S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正確．∵S△ADC＝S△BCD，∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，∴S△AOD＝S△BOC，④正確．故①③④正確．【答案】C6．如圖6所示，鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1m，長(zhǎng)臂長(zhǎng)16m，當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí)，長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高()圖6A．m B．mC．8m D．10.5m【解析】本題是一個(gè)實(shí)際問題，可抽象為如下數(shù)學(xué)問題：如圖，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1m，OB＝16m，高CE＝m，求高DF.由相似三角形的性質(zhì)可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝∶DF，解得DF＝8m.【答案】C7．如圖7所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，則AE的長(zhǎng)為()圖7A．4cm B．5cmC．6cm D．7cm【解析】∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA.∴S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5，∴AB2∶DB2＝1∶5，∴AB∶DB＝1∶eq\r(5).設(shè)AB＝k，DB＝eq\r(5)k，則AD＝2k.∵S矩形＝40cm2，∴k·2k＝40，∴k＝2eq\r(5)，∴BD＝eq\r(5)k＝10，AD＝4eq\r(5)，S△ABD＝eq\f(1,2)BD·AE＝20，即eq\f(1,2)×10·AE＝20，∴AE＝4cm.【答案】A8．如圖8，把△ABC沿AB邊平移到△A′B′C′的位置，它們的重疊部分(即圖中的陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB＝eq\r(2)，則此三角形移動(dòng)的距離AA′是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370025】圖8\r(2)－1 \f(\r(2),2)C．1 \f(1,2)【解析】由題意可知，陰影部分與△ABC相似，且等于△ABC面積的eq\f(1,2)，∴A′B∶AB＝eq\r(\f(1,2))＝1∶eq\r(2).又∵AB＝eq\r(2)，∴A′B＝1，∴AA′＝eq\r(2)－1.【答案】A9．如圖9所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，CD⊥AB于D，則BD∶AD＝()圖9\f(1,3) \f(1,4)\f(2,3) \f(2,5)【解析】設(shè)CD＝eq\r(3)，則AD＝3，BD＝1，∴eq\f(BD,AD)＝eq\f(1,3).【答案】A10．已知圓的直徑AB＝13，C為圓上一點(diǎn)，過C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，則AD的長(zhǎng)為()A．8 B．9C．10 D．11【解析】如圖，連接AC，CB.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.設(shè)AD＝x，∵CD⊥AB于D，由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.【答案】B11.某社區(qū)計(jì)劃在一塊上、下底邊長(zhǎng)分別是10米，20米的梯形空地上種植花木(如圖10所示)，他們想在△AMD和△BMC地帶種植單價(jià)為10元/米2的太陽花，當(dāng)△AMD地帶種滿花后，已經(jīng)花了500元，請(qǐng)你預(yù)算一下，若繼續(xù)在△BMC地帶種植同樣的太陽花，還需資金()圖10A．500元 B．1500元C．1800元 D．2000元【解析】在梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AMD∽△BMC，AD＝10m，BC＝20m，eq\f(S△AMD,S△BMC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,20)))2＝eq\f(1,4)，∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)，∴S△BMC＝200m2，則還需要資金200×10＝2000(元)．【答案】D12．如圖11所示，將一個(gè)矩形紙片BADC沿AD和BC的中點(diǎn)連線EF對(duì)折，要使矩形AEFB與原矩形相似，則原矩形的長(zhǎng)與寬的比應(yīng)為()圖11A．1∶eq\r(2) B．1∶eq\r(3)\r(2)∶1 \r(3)∶1【解析】∵矩形AEFB∽矩形ABCD，∴BF∶AB＝AB∶AD.∵BF＝eq\f(1,2)AD，∴AB2＝eq\f(1,2)AD2，∴AD∶AB＝eq\r(2)∶1.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填在題中橫線上)13．如圖12，已知DE∥BC，且BF∶EF＝4∶3，則AC∶AE＝________.圖12【解析】∵DE∥BC，∴eq\f(BC,DE)＝eq\f(BF,EF)，同理eq\f(AC,AE)＝eq\f(BC,DE)，∴eq\f(AC,AE)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(BF,EF)＝eq\f(4,3).【答案】4∶314．如圖13，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB等于________米.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370026】圖13【解析】如圖，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB.∴△GCD∽△ABD，∴eq\f(DC,DB)＝eq\f(GC,AB).設(shè)BC＝x，則eq\f(1,x＋1)＝eq\f,AB)，同理，得eq\f(2,x＋5)＝eq\f,AB).∴eq\f(1,x＋1)＝eq\f(2,x＋5)，∴x＝3，∴eq\f(1,3＋1)＝eq\f,AB)，∴AB＝6(米)．【答案】615．如圖14所示，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，BE是AC邊上的中線，且AD，BE交于點(diǎn)G，那么eq\f(S△BDG,S△ABC)＝________.圖14【解析】∵AD，BE是△ABC的中線，且AD交BE于G，∴G是△ABC的重心，∴eq\f(DG,AD)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(S△BDG,S△ABD)＝eq\f(1,3)，又∵D為BC的中點(diǎn)，∴eq\f(S△ABD,S△ABC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(S△BDG,S△ABC)＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)16．如圖15，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝3，BE⊥AC，垂足為E，則DE＝________.圖15【解析】法一：因?yàn)锳B＝eq\r(3)，BC＝3，所以AC＝eq\r(32＋\r(3)2)＝2eq\r(3)，tan∠BAC＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，所以∠BAC＝eq\f(π,3).在Rt△BAE中，AE＝ABcoseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，則CE＝2eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).在△ECD中，DE2＝CE2＋CD2－2CE·CDcos∠ECD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))2＋(eq\r(3))2－2×eq\f(3\r(3),2)×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(21,4)，故DE＝eq\f(\r(21),2).法二：如圖，作EM⊥AB交AB于點(diǎn)M，作EN⊥AD交AD于點(diǎn)N.因?yàn)锳B＝eq\r(3)，BC＝3，所以tan∠BAC＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，則∠BAC＝eq\f(π,3)，AE＝ABcoseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，NE＝AM＝AEcoseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4)，AN＝ME＝AEsineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4)，ND＝3－eq\f(3,4)＝eq\f(9,4).在Rt△DNE中，DE＝eq\r(NE2＋ND2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))2)＝eq\f(\r(21),2).【答案】eq\f(\r(21),2)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如圖16，點(diǎn)E是四邊形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn)，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.圖16(1)求證：BE·AD＝CD·AE；(2)根據(jù)圖形的特點(diǎn)，猜想eq\f(BC,DE)可能等于哪兩條線段的比(只寫出圖中一組比即可)？并證明你的猜想．【解】(1)證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠DAC.∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴eq\f(BE,CD)＝eq\f(AE,AD)，即BE·AD＝CD·AE.(2)猜想：eq\f(BC,DE)＝eq\f(AB,AE)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,AD))).證明：∵由(1)△ABE∽△ACD，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(AE,AD)，又∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD，∴eq\f(BC,DE)＝eq\f(AB,AE)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,AD))).18．(本小題滿分12分)如圖17，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P為AB上的一點(diǎn)，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，試求PQ的長(zhǎng)．圖17【解】∵PQ⊥PC，∴∠APQ＋∠BPC＝90°，∴∠APQ＝∠BCP，∴Rt△APQ∽R(shí)t△BCP.∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1，∴eq\f(AP,BC)＝eq\f(AQ,BP)，即AQ＝eq\f(AP·BP,BC)＝eq\f(1×3,4)＝eq\f(3,4)，∴PQ＝eq\r(AQ2＋AP2)＝eq\r(\f(9,16)＋1)＝eq\f(5,4).19．(本小題滿分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC邊上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度數(shù)．【解】(1)當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖(1)，由AD2＝BD·DC，可得△ABD∽△CAD.∴∠BCA＝∠BAD＝65°；(2)當(dāng)AD在△ABC外部時(shí)，如圖(2)，由AD2＝BD·DC，得△ABD∽△CAD，∴∠B＝∠CAD＝25°，∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°.故∠BCA等于65°或115°.20．(本小題滿分12分)如圖18所示，CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線，CE⊥CD，CE＝eq\f(10,3)，連接DE交BC于點(diǎn)F，AC＝4，BC＝3.求證：圖18(1)△ABC∽△EDC；(2)DF＝EF.【證明】(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，則AB＝5.∵D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝CD＝eq\f(1,2)AB＝，∴eq\f(CD,CE)＝eq\f,\f(10,3))＝eq\f(3,4)＝eq\f(BC,AC)，∴△ABC∽△EDC.(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，∴∠CDF＝∠DCF.∴DF＝CF.①由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②由①②，知DF＝EF.21．(本小題滿分12分)已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直線MN是梯形的對(duì)稱軸，P是MN上的一點(diǎn)，直線BP交直線DC于F，交CE于E，且CE∥AB.(1)若點(diǎn)P在梯形內(nèi)部，如圖19(1)．求證：BP2＝PE·PF.(2)若點(diǎn)P在梯形的外部，如圖19(2)，那么(1)的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．(1)(2)圖19【解】(1)證明：連接PC，因?yàn)镸N是梯形ABCD的對(duì)稱軸，所以PB＝PC，∠PBC＝∠PCB.因?yàn)樘菪蜛BCD是等腰梯形，所以∠ABC＝∠DCB，即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，所以∠ABP＝∠DCP.又因?yàn)镃E∥AB，所以∠E＝∠ABP＝∠DCP，而∠CPE＝∠FPC，所以△CPE∽△FPC.所以eq\f(PE,PC)＝eq\f(PC,PF)，即PC2＝PE·PF，又因?yàn)镻C＝BP，所以BP2＝PE·PF.(2)結(jié)論成立．證明如下：連接PC，由對(duì)稱性知PB＝PC，所以∠PBC＝∠PCB.因?yàn)樘菪蜛BCD是等腰梯形，所以∠ABC＝∠DCB，所以∠ABC＋∠PBC＝∠DCB＋∠PCB，即∠ABP＝∠DCP.因?yàn)镃E∥AB，所以∠ABP＋∠PEC＝180°，而∠DCP＋∠PC